ИСиТ / 09.03.02 Интеллектуальные информационные системы и технологии / 2 курс 2 семестр / Алексеев Александр Борисович / Высшая математика / Высшая математика / tablica_razlozhenij_funkcij_v_ryady
.pdf
Справочный материал к теме «Степенные ряды»
Таблица разложений некоторых функций в степенные ряды
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
e 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1! |
|
|
|
2! |
|
|
3! |
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
n 0 |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Область сходимости ряда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
sin |
|
|
|
|
|
|
|
... ( 1) |
|
2n 1 ... ( 1) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 2n |
1 |
|
||||||
|
|
|
3! |
|
5! |
|
7! |
|
|
|
|
|
|
(2n 1)! |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
(2n 1)! |
|
|
||||||||||||||||||
Область сходимости ряда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
cos 1 |
|
2 |
|
4 |
|
6 |
... |
|
( 1) |
n |
|
2n ... ( 1) |
n |
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2! |
|
4! |
|
6! |
|
|
|
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
n 0 |
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Область сходимости ряда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ln(1 ) |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
... ( 1)n 1 |
|
n |
... ( 1) |
n |
1 |
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||
Ряд сходится при 1 1 или, то же самое, при |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кроме того, в каждом конкретном случае нужно исследовать концы интервала сходимости
– там ряд тоже может сходиться!
Биномиальное разложение:
(1 )k |
1 k |
k(k 1) |
2 |
k(k 1)(k 2) |
3 |
... |
k(k 1)(k 2) ... (k n 1) |
n ... |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2! |
|
3! |
|
|
n! |
|
|||||||
|
k(k 1)(k 2) ... (k n 1) |
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
n |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n 1 |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд сходится при 1 1 |
|
|
|
|
1 . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как и в предыдущем пункте – концы интервала подлежат исследованию!
Распространенные частные случаи биномиального разложения:
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
1 3 5 |
|
|
|
|
|||
|
1 1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
... |
||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 4 |
2 4 6 |
2 4 6 8 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
1 3 5 |
|
|
|
|
|||
|
1 1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
... |
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 4 |
|
2 4 6 |
|
2 4 6 8 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
1 3 |
2 |
|
|
1 3 5 |
|
3 |
|
|
1 3 5 7 |
|
4 |
... |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 |
|
2 4 6 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 6 8 |
|
||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
1 3 |
2 |
|
|
1 3 5 |
|
3 |
|
|
1 3 5 7 |
|
4 |
... |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 4 6 |
|
|
|
2 4 6 8 |
|
|||||||||||
11 2 3 4 5 ...
11 2 3 4 5 ...
©http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!
Справочный материал к теме «Степенные ряды»
arctg |
3 |
|
|
5 |
|
7 |
... ( 1)n |
|
2n |
1 |
... ( 1) |
n |
|
2n 1 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
n 0 |
2n 1 |
|
|
||||||||||||||||
Область сходимости ряда: |
1 1 или, то же самое: |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
1 3 |
|
5 |
|
1 3 5 |
|
7 |
|
1 3 5 7 |
|
|
9 |
|
|
(2n 1)!! 2n 1 |
|
|||||||||||
arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
... |
|||||||
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|
|
|
|
2 4 6 8 |
|
|
|
|
(2n)!! (2n 1) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
5 2 4 6 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
||||||||||||
Область сходимости ряда: 1 1 или, то же самое: |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Поскольку речь идѐт о степенных рядах, то разложения справедливы не только для |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
значения x , но и для других степеннЫх одночленов, таких как x , 2x , |
x2 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5x3 , 3 x , 3 x , 3x4 и т.п. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
При этом в общем случае фактическая область сходимости будет другой! Так, например, при
|
x |
|
разложение функции f (x) arcsin |
x |
сходится к ней на промежутке: |
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
2 |
|
|||
1 |
x |
1 2 x 2 |
|
|||
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|||
Более того, табличный «шаблон» может быть «урезан», типичные примеры:
1)если 
x , то функция f (x) e
x определена только для неотрицательных значений аргумента, и поэтому область сходимости соответствующего ряда: 0 x ;
2)аналогично, если 4
x , то разложение функции f (x) ln(1 4 
x ) сойдѐтся к ней лишь в области 0 x 1.
С дополнительной информацией и практическими задачами по теме можно ознакомиться на уроке http://mathprofi.ru/razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady.html
© http://mathprofi.ru, Емелин А., Высшая математика – просто и доступно!