ИСиТ / 09.03.02 Интеллектуальные информационные системы и технологии / 2 курс 2 семестр / Алексеев Александр Борисович / Высшая математика / Краснов Лаплас

60

Глава 1 . Операционное исчисление

3 1 8. Решить уравнение

и д2и

+ Ьх(:т; - l)

д2

7Ji2

=

д:т;2

§

8. Дискретное преобразование Лапласа

Пусть имеем комплекснозначную функцию j(t) действительного

аргумента t, определенную для t О .

1 , 2, . . .) , которую ко­

Рассмотрим последовательность {f(n)} (n

(

называть решетчатой функцией.

ротко будем обозначать просто f n)

и

= О,

дем называть функцию

F*(р)

комплексного аргумента

р = s +

iu, опре­

деляемую равенством

00

F*(p) = 2n.:=O e-npf(n);

(1)

предполагается, что ряд справа сходится.

Функцию f (n) будем называть оригиналом, а F*(p) - ее изображе-

нием и писать

F*(p)

f(n) или f(n)

с-'

F*(p).

Значение

s* , дляс-' которого при

s > s* ряд ( 1) сходится,

а при s < s*

расходится, называется абсциссойсходимости. Функция

F*(p)

Re р =

Re р

=

есть периодическая функция с периодом 21ri, аналитическая в полуплос­

кости

Re р

> s* .

(

)

Если решетчатая функция f n

удовлетворяет условию

1/(n) l

:::;;

(2)

Мe>.on ,

§ 8. Дискретное преобразование Лапласа

61

Пример 1 .

Пользуясь определением; найти изображение функции

f(n) = e

- n

.

Решение. Очевидно, эта функция удовлетворяет условию (2) с .Х0 = 1

находим

М > 1 .

Значит,

(1)

и произвольным

ее изображение существует. По формуле

(3)

t>

1. Свойство линейности.

Для любых комплексных постоянных а и f3

af(n) + f3g(n) ;-: aF* (p) + {ЗG*(р).

Здесь и всюду в дальнейшем j(n)

F*(p), g(n)

G*(p).)

(

Пример 2. Найти изображение:-'функции j(n);-:= sin n .

Решение. П о формулам Эйлера

1 in

1

sin n =

ein - e-in

-in

2i

=

2{

- 2ie

Имеем

.

оЕо

е-пр

e•.n

---1 - e-(p-i) '

e'n _. ,

=

1

е-in

n=O

1

:-' 1

- e-(p+i) .

11. Теоремь1 опережения и запаздывания.

Пусть

f(n)

:-' F*(p)

и

пусть k - целое положительное число. Тогда

J(n + k) :-' ekp [F*(p) -

e-mpf(m)] .

(4)

В а

/(0) =

f(I)

= . . . =

f(k -

1) = О ,

то

ч стности, если

Аналогично,

f(n + k) :-' ekpF*(p).

(5)

f(n - k) :-' e-kpF*(p)

(!(n - k) = О

=

n < k).

(6)

Пример 3.

Найти изображение

Д11Я

"-2

(!(n) =

О

при

n < 2).

функции f(n)

е

Решение. Имеем

---1 -

--

е" :-"

1е 1 -Р =

еР

еР - е .

По теореме заnаздывания из (6) находим

n-

- р

еР

е

2 : •- е 2

еР - е

еР(еР - е)

.

1>

-- =

329.

j(n) = q(n - k).

330.

j(n) = еа(п+З) .

331 .

j(n) = sh 2(n - 1) · q(n - 1) .

332.

j(n) = (n + 2)2 •

§ 8. Дискретное преобразование Лапласа

63

111. Теорема смещения.

Если F*(p)

/(n) , то для любого комплекс-

нога Ро

F*( p -Ро)

(7)

ef'On/(n).

Пример 4. Найти изображение

функции

f(n) = ne2n .

Решение. Имеем

n :-' (1 - е-Р)2 .

По теореме смещения

получаем (р0

=

2)

2n

е-(р-2)

е

n :-' [l - е-(р-2)]2 .

Задачи для самостоятельного решения

Найти изображения следующих функций:

333. /(n) = е-" sin 2n.

334.

f(n) = n2e2" . 335. f(n) = е3" ch n.

IV.

-n:

ДИфференцирование изображ:ени•. Дифференцирование изобра­

жения сводится к умножению оригинала на

{F*(p)} -nf(n),

(8)

64

Глава 1. Операционное исчисление

р

т. е. деление оригинала на

со ответствует интегрированию изобра­

жения в пределах от р до оо.

Замечания. а) При /(0) =f. О

интеграл

в правой части ( 1 1 ) будет рас­

ходящимся и, значит, теорема

об

интегрировании изображения не будет

сnраведлива.

j (t) 1

lim j(t)

б)

Если

'

t

Jt

ТО

!=0

= t-+0

""

= а =f.

О

f n) :-' а

(12)

+

F*(p) dp.

Если для т = 1 , 2, . . .n

р

в)

, k выполнены условия

т. е. деление оригинала на nk соответствует k-кратному интегрированию

изображения от р до

о о .

en - 1 -

Пример 6. Найти изображение решетчатой функции ---­

Решение.

Пусть f(n) =

n.

n

Проверяем выполнимость условий (10)

Имеем

- 1

t-<+0

-f(t) = t-+0

е

1 - t = t-<+0

. --t

)

1 - 1 = о.

lim

t

lim

1

en

lim

( e1

- l

n

t

Находим изображение функции

еР 1

е" 1 - n : - 'еР - е

1)2 "

еР -

(еР -

Тогда

дF*(р, е)

дf(n, e)

(14)

де

де

т. е. производпая по е от изображения есть изображение производной

по е от оригинала. Предполагаем, что все эти производные существуют

и

дf(n, t)

есть оригинал.

д&

Пример 8.

еР

( а - вещественное).

Найти изображение nean

Решение. Имеем е"" ,..--е:Р - еа . Примем ct

в качестве nараметра. На основе

теоремы о дифференцировании по параметру

Отсюда

( )1

,..:

)

ne"".

еР - е" а

(е

""

:;;;:

1>

Задачи дпя самостоятельноrо решения

Найти изображения следующих функций:

345. /(n) = (n + 2} ch an.

343.

f(n) = n cos ctn.

344. f(n) = n2 sh an.

Пример 9.

С помощью интегрирования no параметру найти изобра·

1 - cosen

жение решетчатой функции ----n

Решение. Имеем

Р

sш.

en :-

2

е

sine

ч

.

е Р 2еР е + 1 •

е

в пределах

Интегрируем левую и правую

асти

<

-

cos

от е0 = О до е:

е

е

2Р

о

sin e:nde: ,..о:

eP sincose : de:е + 1 .

J

J

-

2еР

§ 8. Дискретное преобразование Лапласа

67

1 - cos n

1

е2Р - 2еР cos + 1

1>

n

:-' 2

1n

(еР - 1)2

Применяя интегрирование по параметру, найти изображения следующих функ­

346.

e•n - e•on

347.

ch n - ch n

ций:

n

n

348.

sin n

349.

sin ( - 1)n ·

cos ( + 1)n

n

n

Теорема умножения изображений.

Пусть

/1(n) :-' F1"(p),

/2(n) :-' F{(p).

Тогда

n

/I(n - m)/2(m) =

n

F1• · F{

:-' m=OL:

m=OL:

!I(m)/2(n - m).

( 16)

Пример 1 0.

Найти оригинал, соответствующий изображению

•

F*(p)

--,....-----,....-,.,...

-

(

еР

-

)(е2Р

) ·

изображений

е

еР - е-

F*(p)

Решение. Изображение

в виде произведения двух

можно представить1

F,

(р)

=

n'

F;(p)

=

е

'

:-'

e-n.

,

.

n

n

-

n

2

По теореме умножения

n Е

m --е2 - l

--е2 - 1

F*(p)

Е -m n-m

1>

m=O

е

е = е

tn=O

е

2 = е · е

-

е-п .

....

F*(p)

еР

)

е Р

еР

350.

= (еР - 1)(еР - е

.

351 .

F*(p) - ..,.--,...".

•

-

(1

- е-Р)2

еР - l

68

Глава 1. Операционное исчисление

Изображение разностей

Разностью первого порядка решетчатой функции /(n)

называется

величина, обозначаемая символом fl/(n) и определяемая равенством

fl/(n) = /(n + 1) - /(n).

(17)

Разностью второго порядка tl2f(n) называется величина, равная

tl2f(n) = tlf(n + 1) - tlf(n)

( 18)

или, учитывая (17),

tl2f(n) = f(n + 2) - 2/(n + 1) + /(n).

(19)

Вообще, разность k-ro порядка tlkf(n) определяется соотношением

(20)

или

k

(21)

о

tlkf(n) = (- 1)jCtf(n + k - j),

k'

j=O

=

''

(k

'

)

где Cl

' - биномиальные коэффициенты.

J.

1 1 .J .

для

функции /(n) = 2n2 •

Пример

Найти разности

Решение.

По определению

первая разность

Вторая разность

дf(n) = 2(n + 1)2 - 2n2 = 2(2n + 1).

= 4.

!:12f(n)

дf(n + 1 ) - дf(n)

2[2(n + 1 ) + 1 ] - 2(2n

+ 1)

Очевидно, все

разности более высокого порядка равны нулю (сравните с произ­

=

=

[>

водными функции j(t) == 2t2).

354. f(n) = Зn + 2 . 355. j(n) = e2n.

356. j(n) = n2 - n .

Если, в частности,

д_v /(0) = О

(v = О, 1 , . . . , k - 1) или, что экви­

особенно простой вид

.

. =

f(k

-

1) = О ,

(22)

валентно, /(0) = /(1) =

.

то формула

приобретает

д.f(n) = 2n

+

l,

д.2f(n) = 2n

3 - 2n - l = 2,

+