Краснов Лаплас

Добавил:

DANiilPESHov Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Находя ори инал для

(t -"- k + 1)k

) , получаем решение

исходного уравнения

x(t) = (1 + t)q(t) + L

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2023

Размер:

7.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

50	IЛава 1. Операционное исчисление

откуда

Ф(р) =

F(p)

1 _ L(p) ,

L(p) # 1 .

(6)

Для Ф(р) находим оригинал so(ж) -решение интегрального
Пример 1 .	ж
	Решить интегральное уравнение
	sо(ж) = cos ж + J (ж - t)so(t) dt.

уравнения (4).

(7)

Решение. Переходя к изображениям и рассматривая интеграл как свертку

функций, получим на основании nравила изображения свертки

(8)

откуда

Ф{р)

р2 + 1

р2 Ф{р),

Ф{р)

(р2 + 1)(р2

- 1)

(9)

Находя оригинал для Ф{р) , nолучим решение интегрального уравнения (7)

<р(ж) =

(соs

ж+ сh ж).

(10)

Задачи для самостоятельного решения

Решить интегральные уравнения:

<р(ж)

(ж - t)2<p(t) dt.

273.

<р(ж) = sinж + 1(ж - t)<p(t) dt.

274.

= ж + i 1

1e -

275.

<р(ж) = ж +

1sin (ж - t)<p(t) dt.

276.

<р(ж) = соs ж +

1<p(t) dt.

<р(ж) =

277.

1cos (ж - t)<p(t) dt.

-z)

278.

<р(ж) = iж

(t) dt.

+ 1 (ж - t)e

279.

<р(ж) =

., о

-" ' +i

1 (ж - t) <p(t) dt.

<р(ж) = ж +

(ж - t)]<p(t) dt

280.

1 [(ж - t) - sin

( 1 1)

§ 5	г	51
§ 5	. Решение инте ральных уравнений Вольтерра

281 . <р(ж) = sin ж + 2 jо" cos (ж - t)<p(t) dt.
282.	<р(ж) = l - 2ж - 4ж2 + Jо " [3 + 6(ж - t) - 4(ж - t)2]<p(t) dt.							cos (ж - t)<p(t) dt
283.	<р(ж) = 1 + 2	о sш2(ж -t)<p(t)dt.		284.	<р(ж) =	е"	- 2 jо	cos (ж - t)<p(t) dt	.
283.	1	/" .		284.		е"	"		.
285.	<р(ж) = l + jо"		(ж - t)3<p(t) dt. 286.		<р(ж) = ж - Jо" sh (ж ..- t)<p(t) dt.
287.	<р(ж) = sh ж - Jо"		ch (ж - t)<p(t) dt.

Аналогично решаются интегральные уравнения Вольтерра первого рода с ядром К(х, t) , зависящимz только от разности х - t , т. е. уравнения

вида

j К(х - t)tp(t) dt = f(x),

где f(x) - известная функция, tp(x) - искомая функция. При этом мы
частям ( 1 1)	F(p)			#	L(p)		:=		Ф(р) :=
предполагаем К(х, х)					О.
Пусть		:=			О.			К(х) ,		tp(x) . Применяя к обеим
Пусть			f(x) ,					К(х) ,		tp(x) . Применяя к обеим
	преобразование Лапласа и используя теорему о свертке, будем
иметь						L(p) · Ф(р) = F(p),
откуда							F(p)
откуда				Ф(р) = L(p),					L(p) # О.
				Ф(р) = L(p),					L(p) # О.

Оригинал для Ф(р) будет решением tp(x) интегральноГо уравнения ( 1 1 ) .

Задачи д л я самостоятельного решения

Решить интегральные уравнения:

288. Jо" e"-1<p(t) dt = ж. 289. Jо" J0(ж - t)tp(t) dt = sin ж.

290.

292.

294.

1о :t	Глава 1. Операционное исчисление
1о :t	cos (х - t)<p(t) dt = sin х .	291 .	1о " e"-1<p(t) dt = sin x.
"			"	2<ж-t)		е"
1о	cos (х - t)<p(t) dt = х + х1 •	293.	1о e	2<ж-t)	<p(t) dt = х1	е"	.
1о:t	ch (х - t)rp(t) dt = sh х.	295.	1о" ch (х - t)<p(t) dt = х .

Указанный метод решения уравнений			(4), ( 1 1)				приложим			также
8		z
к системам интегральных уравнений Вольтерра вида									.. . , s).
<,о;(х) = j;(x) + Lk=l	j K;k(x - t)<,ok(t) dt				(i = 1 , 2,				.. . , s).	( 1 2)
		8
Применяя к обеим частям (о12) преобразование				Лапласа,				получим
Ф;(р) = F;(p) +		Lk=l	(i	=	1 , 2,	. .	.	,	s).
Ф;(р) = F;(p) +		L;k(p)Фk(P)	(i		1 , 2,		.

Решая эту систему уравнений, линейную относительно Ф;(р), найдем

Ф;(р) (i 1 , 2,

)

оригиналы для которых и будут решением исходной

интегральных уравнений

( 1 2).

системы=

Пример 2.

Решить систему интегральных уравнений

ср1(х)

х + Jz

e-<z-t)<,o1(t) dt + Jz

(х - t)<,o2(t) dt,

оz

<,02(х)

1 + J sh (х - t)cp,(t) dt - J ez-t<,o2(t) dt.

Решение

Переходя к изображениям и используя теорему о свертке, полу

чим (Ф1 (р)

;=d

rt'l(x),

Ф2(р)

<р2(х))

Ф1 (р;=d) =

+ -1- Ф1 (р) +

Ф2(р),

р + 1

{ Ф2(р) = - + --Фl (р) -

-Ф2(р),

р2

- 1

р - 1

откуда	р1 + р _ 1	Ф2(р) =
Ф1 (р) =
	р(р - 1 )(р2 + 1) '

рз	_	р
	_

(р - 1)(р +

2 + 1

1)(р2 + 1) .

Находим ориrиналы для Ф 1 (р)

tp 1 (z) =

t ; ' 2 ( x )

Система функций t p 1(x) интеrральных уравнений.

и Ф 2 ( рж) :

l + 2l е + 2l sin z - 23 cos z,

(cos х + ch х ) - sin х .

и t p 2 ( x ) является решением исходной системы

Задачи для самостоятельного решения

Решить следуюшие системы интеrральных уравнений:
				х					"'
t p 1(x) = 1 - 2 J e 2("-t) t p 1 ( t ) dt + j t ; ' 2 ( t ) dt,
296.		о					"		о
t p 2 ( x ) = 4х -				ж			"
t p 2 ( x ) = 4х -		J t p 1 (t ) dt + 4 J (х - t ) t p 2 ( t ) dt.
		о				.,	о
			:t			.,
tp1 (х) = е" + j tp1 (t) dt j e"- 1tp2(t) dt,
297.		о		"'	о				"
t p 2 ( x ) = - х - jо (х t ) t p 1 ( t ) dt + jо <p2(t) dt.
		"				"	( х - t ) t p 2 ( t ) dt,
t p 1 (x) = х + J t p 1 (t ) dt + j							( х - t ) t p 2 ( t ) dt,
298.	о				о		"
t p 2 ( x ) = 1		"					"
t p 2 ( x ) = 1	- j e"'-1 t p 1 (t) dt + j tp2 ( t ) dt.
	Q		"				о
t p 1( x ) = е" -			"				"
t p 1( x ) = е" -		J t p 1 ( t ) dt + 4 J e"-1<p2(t) dt,
299.		о				о			"
		"							"
t;'2 (x ) = l - J e-(z-t) t p , ( t ) dt +								J t ; ' 2 ( t ) dt.
	о			"				о	"
t p 1(x) = 2х - j (х					t ) t p 1 (t) dt + j 1P2(t) dt,
300.		о		ж				"' о
tp2 (x) = -2 - 4 j t p 1(t) dt +							3 J (х - t ) t p 2 ( t ) dt.
				о			о

54		Глава 1. Операционное исчисление
		z	z
301 .	<р1 (ж) = 2 - Jо,.		(ж - t)<p1 (t),.dt - 4 Jо <p2(t) dt,
	<р2(ж) = l - Jо		<р1 (t) dt - Jо (ж - t)cp2(t) dt.
	§ 6.	Дифференциальные уравнения
		с запаздывающим аргументом

В ряде технических задач приходится иметь дело с дифференциаль ными уравнениями, в которые неизвестная функция входит при различ

	x(t) = tp(t, x(t), x(t - т(t))),						(1)
ных значениях аргумента, например:
	x(t) = tp(t, x(t), x(t - т(t)), x(t - т(t))),				(t))).		(2)
	:i:(t) = tp(t, x(t), :i:(t), x(t - т1(t)), :i:(t - т2						(3)
Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями с от
клоняющимися аргументами.		Если		постоянные, то мы имеем так
называемое		разностноеуравнение. Если					> О и старшая
	дифференциально-		т;(t)		уравнение только
производпая входит в дифференциально-разностное						т;

при одном значении аргумента, не меньшем всех других аргументов

функций и производных, входящих в уравнение, то уравнение называет ся дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом.

Пусть дано дИфференциальное уравнение с запаздывающим аргу

x(n)(t) = Ln-1

akx(k)

(t - тk)+ /(t),

(4)

ментом с постоянными коэффициентами:

const,

тk

= const

(О

< +оо) . Возьмем ради простоты

rде

k=O

х (О) = х' (О) = . . . = x<n-I)

(O) = О.

(5)

нулевые начальные условия

t < О.

x(t) = x'(t)

. . . = x(n-l)(t) = О

для

При этом мы полагаем

Применяя к обеим частям=

(4) преобразование Лапласа и пользуясь при

для Х(р) := x(t):

этом теоремой запаздывания (см. § 14), получим операторное уравнение

pnХ(р)

= Ln-1 akpkХ(р)е-тkр + F(p),

rде

F(p) :=:' J(t),

(6)

k=O

§ 6.

откуда

Дифференциальные

Х(р)

уравнения с запаздывающим аргументом

	F p		: --,--
= -------( )			: --,--
рn -	""'п-1	akp
	LJ	kе-rkp
	k=O

(7)

Находя x(t) - оригинал для Х(р) , определяемого формулой (7), получаем

решение уравнения (4), удовлетворяющее начальным условиям (5).

Пример 1. Решить уравнение
x'(t) = x(t - I) + I,	х (О) = О .
	х (О) = О .

Решение.

Переходя к изображениям, nолучим

рХ(р) = Х(р)е-Р + .

+ . . .

откуда

е-2Р

е-р

е пр

Х(р) = -

1 - -

2 (

рр

е р

- е-

-2

Для x(t)

получаем

x(t) = tq(t) + 2i1 (t - 1)2q(t - 1) + . . .

= 2::k

) 1

. . .

(

n+ l

(t - k)k +l

q(t - k).

n-+ l-.

(t - n)

q(t - n) +

k + l)'

(

Задачи для самостоятельного решения

+ . . . )·

Решить следуюшие уравнения:
302.	x" (t) - x(t - J ) = t ,	х(О) = х'(О) = О .
303.	x"(t) - 2x' (t - 1) = t ,	х(О) = х'(о) = о.
304.	x" (t) = 2x' (t - J) - x(t - 2 ) + J ,	х(О) = х'(О) = О.
305.	x" (t) + 2x' (t - 2) + x(t - 4) = t ,	х(О) = х'(О) = О.

Для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, описывающих процесс с последействием, часто встречаются задачи в сле дующей постановке:

найти решение уравнения x(t) для t ;;::t0, причем для всех t to, для

которых значения x(t) влияют на последующие значения решения при t ;;::t0, функция x(t) задается.

56	Глава 1 . Операционное исчисление

Так, например, ставится задача: найти

при t t0 уравнения	f(t, re(t), re(t - т)),	т
re(t)

непрерывное решение re(t)

> О

const,

если дано, что a:(t) lf'(t) для t0 - т t t0 •

Здесь tp(t) заданная непрерывная функция, называемая началь-

ной функцией. Отрезок (t0 т, t0J, на котором задается функция tp(t),

называется начальныммножеством.

Решение линейного уравнения (4) с постоянными коэффициентами и постоянным запаздыванием в случае, когда начальная функция отлична

от тождественного нуля, также можно искать, используя преобразование Лапласа. Покажем это на примере.

Пример 2. Решить уравнение

re'(t) re(t - 1 ) , tp(t) : = l, - l t O.

Решение.

x(t) :=' Х(р),		x'(t) :=' рХ(р) - or(O) = рХ(р)
		00
Применяя к обеим частям исходного уравнения иреобразование1.Лапласа, найдем
рХ(р) - 1 = Jо e-ptx(t - 1) dt.
Делая замену перемен00	ных t - 1 = z , получим

J	e-p(z+l)x(z) dz
-1 о
- 1
-Р J		'
		e-P x(z) dz +

e-P

Jо

e-P•x(z) dz

так как x(z) 1 для - 1 z О. Окончательно

	- 1	= --р
рХ(р)		1- е-Р + е-Рх(р).
Отсюда

§ 7. Решение некоторых задач математической физики

Задачи для самостоятельного решения

Решить следующие уравнения:

306.	x'(t) = x(t - 1),	<p(t) = t,	- 1 t O.
		<p(t) := l ,	1Г
307.	x'(t) = x(t - 1) + t,	<p(t) := l ,	- I t O.
308.	x'(t) + х (t - i) = О,	<p(t) = cos t, - 2 t О.

§ 7. Решение некоторых задач

математической физики

Ограничимся случаем, когда искомая функция и зависит от двух независимых переменных х и t . Переменную х будем рассматривать как пространствеиную координату, переменную t - как время.

Рассмотрим, например, уравнение теплопроводности

	ди		2 д2и		( 1 )
	дt	= а	дх2	+ f (x, t)	( 1 )
( а2	- постоянная).
	Разберем первую краевую задачу для уравнения ( 1):				найти реше

ние и(х, t) дифференциального уравнения ( 1 ) для О х l и t ;;:::О ,

удовлетворяющее начальному условию

u(x, О) = <р(х)

(2)

и краевым условиям

	и(О, t) = 1/JJ(t) ,				u(l , t) = 'Ф2		(t) .
Предположим,	что u(x, t ) ,	2	и(х	, t)		f (x , t )	, рассматриваемые
		д			и
			дх2

функции t , являются оригиналами00. Обозначим через

И(р, х) = j и(х, t)e-pt dt

(3)

как

(4)

изображение функции u(x, t) . Тогда

(5)

58 Dtaвa 1. Операционное исчисление

По nравилу дифференцирования оригиналов nоЛучаем с учетом началь

ного условия (2):		. д	:= pU - <p(z).
		. д
		и		(6)
	что	дt		(6)
	что	'f/J
Предnоложим,		'Ф1(t) и 2(t) являются оригиналами и

'f/J1(t)	:=	Ф1(р),	'f/J2	(t)	:=	Ф2(р).
	:=				:=
Тогда граничные условия (3) дают
U/:e::.o	= Ф1 (р),		U/:e=l			Ф2(р).

(7)

(8)

Таким образом, оnераторный метод nриводит решение задачи (1), (2), (3) к решению обыкновенного дифференциального уравнения

	d2U
а2	dz2 - pU + <p(z) + F(z, р) = О	(9)

nри граничных условиях (8), где F(z, р) := J(z, t). Решая задачу (9), (8) и обращая nолученное решение, найдем функцию u(z, t), являющуюся решением задачи (1), (2), (3). Аналогично решаются и другие краевые

задачи для уравнения колебаний струны

	д2и		2	д2и
	дt2 = а			дж2 + J(z, t),
телеграфного уравнения
д2и	2 д2и			ди
дt2	- с дж2	+ (а + Р) дt + аРи = О

( 10)

(1 1 }

и некоторых других уравнений более общего вида.

Задача. Концы струны z		О и z	l закреnлены жестко.					Началь
	равенством			О)	•		( О		l).
ное отклонение задано			=u(ж,		А sш -1-			ж
		=							> О .
Начальные скорости равны нулю. Найти отклонения						u(ж, t) nри t
						1ГЖ

Решение. Задача сводится к решению дифференциального уравнения

при начальных условиях

дu(:JJ,О)

	дt
и краевых условиях	и(О, t) = u(l, t) = О.
	и(О, t) = u(l, t) = О.

о,

( 12)

(13)

(14)

§ 7. Решение некоторых задач математической физики

Переходя к изображениям, будем иметь

d2U	- р2		U = -рА- sш.			-rz	,
-		-		а2		l
dz2		а2		а2		l
Решая уравнение ( 15), наЙдем
						Ар	.	1/'Ж
U(x, p)					p2 + --a2l2r2 SIП -, •
Учитывая краевые условия (16), наЙдем							•
U(z,		) =	Ар		ш.	1/'Ж	•
	p		r +	a2r2	s	-1
	p			a2r2
				т
Оритиналом для U(z, р) яВJIЯется функция					sin Т11'Х'
u(x, t)			А cos	1/'at	sin Т11'Х'
				-1-

( 15)

которая будет решением nоставленной задачи.										t>
Задачи дпя самостоятельного решения
Решить следующие задачи:
309.	ди			д2и		u(O, t) =	ио,	u(z, О) = О.
	ди			д2хu2			ио,
	-	= k- (х > О, t > 0),
310.	дt			д
				д
	дt	= k дz2			(х > О, t > 0) ,	u(O, t) = О,		u(x, О) = u1.
31 1 .	ди		k	д2и	(х > О, t > 0) ,	u(O, t) = а cos (Uf,			u(z, О)	о.
31 1 .	дt	=		дх2	(х > О, t > 0) ,	u(O, t) = а cos (Uf,			u(z, О)	о.
3 12.	дu			д2u	(х > О, t > 0),	u(O, t) = а sin"-'t,			u(x, O) = О.
3 12.	- = k			-	(х > О, t > 0),	u(O, t) = а sin"-'t,			u(x, O) = О.
	дt			дz2
	дu		k	д2и
313.	-	=	k	-	(z > О, t > 0),	u(O, t) = tp(t), u(z, O) = О.
313.	дt	=		-	(z > О, t > 0),	u(O, t) = tp(t), u(z, O) = О.
	дt			дz2
314.	Найти распределение темnератур в стержне О z l									nри условии, что

nоток теnла не проходит через rраницу z = О; другая rраница z = l сохраняет nостоянную температуру u1; начальная темnература стержня равна tto = const.

31 5. Найти расnределение темnератур в полуоrраниченном стержне, если на ле

вом конце стержня происходит теnлоизлучение в среду с нулевой температурой. Начальная температура стержня u0 = const. ero

31 6. Стержень длины l находится в состоянии покоя, конец z = О закреnлен. В момент времени t = О к свободному концу стержня приложена сила F (на единицу nлощади), наnравленная вдоль стержня. Найти колебание стержня.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика

#
07.03.2023298.54 Кб68tablica_originalov_j_izobrazhenij.pdf
#
07.03.2023298.67 Кб72tablica_razlozhenij_funkcij_v_ryady.pdf
#
07.03.202315.45 Кб70visshayamatematikakriteriiekzamen2semestr.docx
#
07.03.202371.22 Кб70Вопросы экзамен 2 сем.pdf
#
07.03.202313.07 Кб67Документ Microsoft Word.docx
#
07.03.20237.03 Mб72Краснов Лаплас.pdf
#
07.03.2023197.88 Кб80Мет_2сем.docx
#
07.03.202316.3 Кб70сайты.docx
#
07.03.2023124.64 Кб69сайты.pdf
#
07.03.202332.58 Кб73Содержание MathProfi.ru 1 курс.xlsx
#
07.03.20238.99 Кб79Фурье занятость.xlsx