ИСиТ / 09.03.02 Интеллектуальные информационные системы и технологии / 2 курс 2 семестр / Алексеев Александр Борисович / Высшая математика / Краснов Лаплас
.pdf
40 |
Глава 1. Операционное исчисление |
|
Пример 5. |
Рассмотрим уравнение бес ля |
|
t2x"(t) + tx'(t) + (t2 - n2)x(t) = О (t > О, n - целое) |
( 10) |
|
и будем искать решение уравненияXt . (10), удовлетворяющее начальным условиям х(О) = Хо , х'(О) =
Пусть x(t) ;d Х (р) . Тогда X J . x'(t) ;d рХ(р) - Хо, x"(t) ;d р2Х(р) - рхо -
Далее, |
2 |
|
|
||
t2x"(t) ;d |
|
|
|||
d |
|
[р2 |
Х(р) - рхо - |
||
d |
2 |
||||
|
|
|
|||
|
р |
|
|
|
|
tx'(t) ;d _ _!![рХ(р) - xoJ = dp
и уравнение ( 1 0) перейдет в следующее:
x
_
. J = |
2 |
2 |
|
d |
Х(р) |
||
2 |
[р |
||
|
dp |
|
|
_!![рХ(р)], |
|||
dp |
|
|
|
],
d22 |
[р2Х(р)) - _!!_ [рХ(р)) +d2X |
) |
|
|
||
dp |
dp |
dp - n2X(p) = О, |
|
|||
или |
d2X(p) |
dX(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(1 + p2) df;2 + 3p |
--;jp + ( 1 - n2)X(p) = О. |
( 1 1 ) |
||||
Для рещения уравнения (11) введем новуЮ независимую переменную и новую |
||||||
искомую функцию формулами |
|
- |
|
|
||
|
р = sh u, |
Х(р) = |
|
z |
. |
|
|
|
|
ch u |
|
|
|
Уравнение (1 1) перейдет при этом в следующее:
|
|
|
d2z |
|
2 |
z |
== О. |
|
|
Его общее рещение |
|
du2 |
- n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поскольку р |
= sh u, получим ch u == JP2+'l Учитывая выражения для sh u |
||||||||
|
|
|
z = C1 en• |
|
C2e |
-n•. |
|||
|
|
|
|
находим |
|
. |
|||
и ch u через показательные функции, . |
|
2 |
|
|
|||||
|
--- |
е" |
|
е-" |
|
|
|||
|
eu |
е |
и |
+ |
= . |
||||
|
|
2 |
= р, |
|
|
|
|
||
откуда так что Для Х(р)
Z
получаем
е |
• = '\f'P2+l + р, |
е-• == - р, |
|||||
= |
Cl (..jp 2 + 1 |
+ p}n |
+ |
С2 |
( |
' \ f ' P 2 + 1 - |
|
|
|
|
p)n. |
||||
|
z |
|
|
( |
|
+ |
p)n |
+ |
C |
( v9 |
- |
|
__ |
|
c. |
#+l |
|
|
+1 p)n |
||||
Х(р) = |
= |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
v9+l |
|
|||||
При n = О из (12) найдем |
|
|
|
|
|||||||
|
ch u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х(р) = |
С1 + С2 |
. |
(с. |
+ C2)Jo(t). |
|
|||||
|
|
|
|
уг.::=г;-; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
р2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
( 12)
Выбирая С1 + С2 = |
|
3. Интеграл Дюамеля |
41 |
|||||
1 , получим решение x(t) |
J0(t) |
бесселеву функцию |
||||||
первого рода порядка нуль. |
|
|
получим решение x(t) = J1(t) |
|||||
|
|
Полагая n = 1 |
и выбирая С1 = О, С2 :::::1 , |
|||||
уравнения (10). |
|
|
|
|
|
1> |
||
Задачи для самостоятельного решения |
|
|||||||
Найти решения уравнений: |
|
|
|
|
||||
232. |
tx" + (2t - J)x' + (t |
l)x = О. |
|
|
|
|||
233. |
tx" + 2х' = О. |
|
О, |
x(O) = l , |
х'(о) |
|
|
|
234. |
x'' + (t + l)x' + tx |
|
|
|||||
235. |
х" + ( t + Ь)х' |
= О, |
х(О) = - 1 , |
х'(О) = О-1(.Ь |
любое действительное |
|||
число). |
|
О, |
z(O) = х1(0) = 1 . |
|
|
|||
236. |
х11 + tx1 - (t + l)z |
|
|
|||||
237. |
х" - tx' + nx |
О, n > О - целое (уравнение Чебышёва-Эрмита): |
||||||
а |
) x(O) = I , x'(O) = O, n |
2k; |
б |
|
|
|
||
|
) x(0) = 0, x'(O) = l , n = 2k + l . |
|||||||
§ 3. Интеграл Дюамеля
Если функция j (t) непрерывна на [О, +оо) , а функция tp(t) непре рывно дифференцируема на [0, +оо) и
|
F(p) ;:: j(t), |
то |
t |
|
F(р)Ф(р) ;:=: 1 |
Ф(р) ;:i tp(t),
J |
(r)tp t |
- |
r) dr. |
( |
|
о
Отсюда по теореме о дифференцировании оригинала
|
Ф р := |
|
t |
|
(t |
r) |
|
. |
|
рF(р) |
j(t)tp(O) |
+ 1о |
|
dr |
|
||||
( ) |
j (r)tp' |
|
|
|
( 1 ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это - так называемая |
формула |
Дюам |
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ел . |
|
|
|
|
|
|
Пусть требуется решить линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами n -ro порЯдка
nри нулевых начальных условиях
х(О) |
' |
(О) = |
х |
. . . = x<n-J)(O)
О.
(3)
42 |
Глава 1. Операционное исчисление |
Допустим, что известно решение=уравнения L[x) 1
с той же левой частью и правой частью, равной единице,
Переходя к операторным уравнениям, |
будем иметь (А |
||
многочлен от р) |
А(р)Х(р) |
= |
p) |
|
|
F( |
|
(4)
при условиях (3).
(р) |
- известный |
|
(5) |
ДЛЯ (2) И |
|
A(p)Xt (p) |
|
|
для (4) . |
Из (5) |
находим Х(р) = |
F(p) |
, |
А(р) |
||||
Х(р) = pXt (p)F(p) . Согласно формуле |
|
|||
= -1
р
а из (6)
(1)
А(р) =
1
pXt
|
|
(6) |
(p) |
, |
откуда |
pXt (p)F(p) j(t)xt (O) + jt f(т)x; (t - т) dт.
о
Учитывая, что х1 (О) = О, получаем
Х(р) = pXt (p)F(p) jt f(т)x; (t - т) dт.
о
Отсюда решение x(t) уравнения (2) при нулевых начальных условиях
будет иметь вид
x(t) = jt f(т)x'1 (t - т) dт,
о
(7)
(8)
(3)
(9)
где Xt (t) - решение задачи (4)-(3) . |
|
|
Пример 1 . Исnользуя формулу Дюамеля, |
решить уравнение nри за- |
|
х11(t) - x(t) |
1 |
х1 |
данных начальных УС!lОвиях |
|
|
|
= --1 + еt · х(О) = (О) = О. |
|
Решение.
Расс
мот |
им в |
с |
р |
|
z'((t) - z
помога е |
ьную |
т л |
z1 (О) |
1 (t) = 1 , |
адачу |
= О. |
з |
|
= z; (О |
|
) |
|
Применяя операционный метод, находим
откуда |
|
z 1 (t) = jо t |
sh т dт = ch t - 1 . |
По фо |
|
|
|
§ 3. Интеграл Дюаме.ля |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рмуле (9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) |
|
t |
l |
sh (t - т) dт |
1 |
t |
t |
l + е1 |
= |
/ + ет |
- l) + sh t · I n --·. |
||||||
|
|
i(e |
|
- te |
2 |
|||
43
С>
Требование, чтобы начальные условия были нулевыми, ЯВЛйется не существенным: nростой заменой искомой функции задачу с иенулевыми начальными условиями можно свести к задаче с нулевыми условиями.
Покажем это на примере дифференциального уравнения 2-ro nорядка.
Пусть ищется решение уравнения
|
( 10) |
удовлетворяющее иенулевым начальным условиям |
|
Положим |
( 1 1) |
y(t) = x(t) - хо - x 1 t. |
|
Тогда |
|
1/(t) = Х1 (t) - Х 1 , у11(t) = Х11(t),
и уравнение (10) преобразуется к ВИдУ
aoy"(t) + a , y'(t) + a2y(t) = J, (t),
где
Далее, в силу ( 11 )
у(О) = х(О) - хо = О, у' (О) = х'(О) - х 1 = О.
Таким образом, nриходим к следующей задаче Коши:
аоу" (t) + а , у' (t) + a2 y(t) = /2 (t),
у(О) = О, у'(О) = О
с нулевыми начальными условиями.
Пример 2. С nомощью формулы Дюзмеля решить следующую задачу
Коши:
жu |
+ 2 |
х, |
+ |
х = |
|
|
|
х(О) = -2,
( |
l |
e-t |
2 |
||
|
+ t) |
|
|
' |
(О) = |
ж |
||
+ t , l.
(12)
( 13)
44 |
Глава l . Операционное -исчисление |
|||||||||||||
Решение. |
Сводим задачу ( 12)-( 13) к задаче с нулевыми начальными усло |
|||||||||||||
виями. Для этоrо полагаем |
|
y(t) = a:(t) + 2 - t. |
|
|
|
|||||||||
Тоrда |
|
|
|
|
|
|
||||||||
y'(t) ::::::x'(t) - 1 , |
y"(t) ::::::x"(t), |
|||||||||||||
|
||||||||||||||
и уравнение (12) nреобразуется в следующее: |
|
|
|
-t |
|
|||||||||
|
у |
|
|
|
2у (t) |
y(t |
|
|
|
|
|
|||
|
|
(t) |
|
) |
::::::1 |
t) |
2 ' |
|||||||
|
|
" |
+ |
, + |
|
|
|
( е |
|
|
||||
rде |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|||||
|
|
|
|
у(О) = О, |
у'(О) = О. |
|
|
|
||||||
Решая последнюю задачу с помощью формулы Дюамеля, найдем |
||||||||||||||
|
|
|
|
у = e-1[t - ln ( ! |
+ |
t)]. |
|
|
||||||
Решение исходной задачи ( 12)-(13) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x(t) = e-1[t - ln ( 1 + t)j - 2 + t. |
1> |
|
Задачи для самостоятельного решения
С помощью формулы Дюамеля найти решения уравнений, удовлетворяющие заданным начальным условиям:
238. |
х" |
- х' |
|
|
e2t |
|
|
х(О) = :t1(0) = О. |
||
= |
( l + etp-t' |
|||||||||
239. |
" |
+ |
|
|
' |
|
-- |
х(О) = Х1(0) = О. |
||
240. |
х |
|
2х + х = 1е+ t ' |
х(О) = х1(0) = О. |
||||||
х/1 |
- х1 |
= -- |
|
|
||||||
|
|
- х1 |
|
|
e2t |
|
|
|
||
|
/1 |
= |
|
l |
, |
|
|
|||
241 . |
|
+ et |
|
х(О) = х1(0) = О. |
||||||
х |
|
|
|
|
2 + е1 |
' |
|
|||
242. |
х 1 |
+ х = |
1 |
l |
|
|
х(О) = х1(0) = О. |
|||
2 + cos t , |
||||||||||
243. |
х11 |
|
|
|
|
|
l |
|
|
х(О) :::::: х=1(0)О. |
+ х = --- |
|
|||||||||
244. |
х11 |
+ х = |
1 + соs Ч , |
х(О) ::::::х1(О) = О. |
||||||
|
х11 |
|
|
|
|
4 + tgЧ ' |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
246. |
- x = th t , |
|
|
х(О) = х1(0) = О. |
||||||
|
|
+ х1 |
= |
|
l |
|
|
|
||
245. |
х |
1 |
+ sin 2t , |
х(О) :::::х1(0) = О. |
||||||
247. |
111 |
+ х |
1 |
|
|
l |
|
, |
х(О) = х1(0) = х11(0) = О. |
|
ж |
|
= --- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 + sin t |
|
|
||
§ 4. Решение систем ЛДУ операционным методом |
45 |
§ 4. Решение систем линейных
дифференциальных уравнений
операционным методом
Решение системы линейных дифференциальных уравнений с nосто янными коэффициентами операционным методом nроизводится no той . же схеме, что и решение одного дифференциального уравнения.
|
Пусть, например, нужно решить систему дифференциальных урав |
||||||||||||
нений второго порядка |
drek |
) |
|
|
|
1 , 2, . . . , n), |
|
||||||
|
n |
|
( |
d2relr. |
|
= /i(t) |
(i |
(1 ) |
|||||
|
2:::au dt2 |
+ Ьir. -;u + Cir.Жk |
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
k=! |
|
const, nри начальных условиях |
|
|
|
|
|
|||||
|
а;с, Ьil:, Cik = |
|
|
ж с(О) = ak, |
ж (О) = f11r.· |
|
|
/;(t), от |
|
(2) |
|||
Обозначая через X r.(p) и F;(p) изображения |
|
и |
системы ( 1 ) |
||||||||||
с учетом (2) nерейдем к операторной системеж с(t) |
|
|
|
||||||||||
n |
2 |
+ |
bikP |
)X |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
L(щr.р |
|
+ C; r. |
n |
c(p) = |
|
|
|
|
|
|
|
||
ko:\ |
|
= F;(p) + L[(а; ср + Ьu,)а,. + a; r./i c) |
|
(i |
1 , 2, . . . , n). |
(3) |
|||||||
|
|
|
|
|
k=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая систему (3) как линейную алгебраическую систему уравнеx c(t)
ний=относительно Х;: (р), найдем Х ;:(р), а затем их оригиналы
(k 1 , 2, . . . , n) . Эти nоследние будут решениями задачи Коши для
системы ( 1 ).
Пример.
Решение.
|
{ re11 = 3(у - х |
+ z), |
||||
Решить систему уравнений |
|
|
|
|||
|
y |
= |
z, |
|
|
|
|
z"ll ::::;-х -у, |
|
|
|
||
;х(О) = ;х1(О) = О, |
= |
- |
l, |
|||
у(О) |
= О, |
0 |
||||
у1( ) |
О. |
|||||
z(O) |
= 1 , |
z1(0) |
= |
|
||
{ |
р Х == |
З(У - Х |
+ Z) , |
|||
Переходя к оnераторной системе, nолучим |
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
р2У + 1 == х - У, |
|
|
|||
p2Z - р == -z,
46 |
Тhава 1. Операционное |
исчисление |
|
|
|||||||
где |
Х(р) ;:: |
|
У(р) ;:: |
|
Z(p) ;:: z(t). |
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
Р шая после |
ж(t), |
|
|
|
y(t), |
|
|
||||
е |
|
|
З(р - J) |
Х(р), У(р) |
и |
Z(p), |
nолучим |
||||
днюю систему относительно |
|
|
|
||||||||
|
Х(р) = р2(р2 + 4) ' |
|
1 |
|
|
|
|||||
|
У(р) _ |
|
З(р - l) |
|
|
|
|
||||
|
|
- р2(р2 |
+ l)(p2 + 4) - р2 + l ' |
|
|
|
|||||
|
|
|
Р_ |
|
|
|
|
|
|
||
|
Z(p) -- р2 + 1 " |
|
|
|
|
|
|
||||
Находя ориmналы для Х |
(р), У(р), Z(p) , nолучаем |
|
|
|
|||||||
|
z(t) = |
( 1 - |
t) |
- |
|
cos 2t + |
|
sin 2t, |
|
|
|
|
x(t) = |
|
l |
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
|
1 . |
|
|
|
||
|
y(t) = 4(1 - t) |
+ 4' cos 2t - |
g sш 2t - cos t, |
|
|||||||
cos t.
Задачи для самостоятельного решения
Решитьсистемы уравнений:
248. |
|
а:,' |
+ 11 |
= |
о, |
|
|||
|
у |
|
|
0, |
|
||||
|
|
|
+ ж = |
|
|
|
|||
249. { ж + ж' = у + е1, |
|||||||||
|
{ |
у + у' |
|
ж + et, |
|||||
250. |
ж' - у' - 2ж + 2у = l 2t, |
||||||||
|
{ |
rc" |
+ 2у' + |
х |
= О, |
||||
251. |
3111 |
- |
З:с' + 2z + у' - у = О, |
||||||
|
|||||||||
|
|
||||||||
|
{ |
-а:=' + а: ,+ у11 - 5у1 + 4у = о, |
|||||||
252. |
а ': |
|
-у |
|
|
|
|||
{ |
у' . = 2ж + 2у, |
||||||||
|
|||||||||
253. |
2а:" - ж' + 9:с - у" - у' - Зу = О, |
||||||||
|
|
2а:" + ж' + 7а: - r/' + у' - 5у = о, |
|||||||
254. |
|
а ': + y' - y = et, |
|||||||
|
|
2ж' + r/ + 2у = cos t, |
|||||||
|
{ ж' |
= -ж + у + z + е1, |
|||||||
255. |
{ |
у' == zа: -+ уу ++ z ++ е4,31, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
||
z'
ж(О) =
ж(О) 
ж(О) =
ж(О) =
ж(О) = z(O) =
ж(О) =
z(O) =
l, у(О) = - 1. у(О) = 1.
у(О) = ж'(О) = О.
х'(о) = у'(о) = о, у(О) = 1.
у(О) :::::1.
z'(o) = l, у(О) = у'(О) = О.
у(О) = О. |
|
у(О) |
z(O) = О. |
256.
257.
258.
259.
260.
261.
262.
263.
264.
265.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
|
§ 4. Решение снетем ЛДУ операционным методом |
|||||||||
·: |
-· - ·· |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
· |
ж(О) = -1, |
у(О) ::::О, |
z(O) = |
1. |
||
|
у = -z - z, |
|
|
||||||||
|
z1 = = -ж - у, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
", y + z, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
{ z: |
= Зz +·-у, |
|
z(O) = О, |
у(О) = l , |
|
z(O) = l. |
|
||||
|
у |
== 3z + z, |
|
|
|
|
|||||
|
:i = Зу - ж, |
|
|
ж(О) = l, |
у(О) = l . |
|
|
|
|||
|
у1 = y + z + eat |
, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•' 2• - • + •. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
у1 |
== z + z, |
|
|
х(О) = 1, |
у(О) = l, |
|
z(O) = О. |
|
||
{ z1 = -3ж + у - 2z, |
|
|
|
|
|
|
|||||
{ |
", -2• - 2у - .,, |
|
у(О) = z(O) = 1. |
|
|
||||||
|
у1 = -2z + у - 2z, |
ж(О) |
|
|
|||||||
|
z1 = 5ж + 2у + 7z, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
••' = -н н н t, |
x(l) |
|
|
|
|
|
||||
{ tz' = ж + у + z |
+ 4, |
= y(l) = z(l) = О. |
|
|
|||||||
|
ty1 = z |
- у + z |
+ t3, |
|
|
|
|||||
{'z' |
+ 4у1 |
|
|
|
х(О) |
у(О) = О. |
|
|
|
||
+ Зу = О, |
|
|
|
||||||||
|
zo = -c:to, |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
х(О) = l, |
х1 (О) = х2(0) . . . = х,.(О) |
||||
|
ж,. = -cz,. + cz,._, , |
|
|
|
|
|
|
||||
{ |
Зж1 + 2ж + у' = l, |
|
|
|
|
|
|
||||
3t•' = 2- + • - ·· |
|
|
|
1. |
|
|
|||||
2ty' = ж + Зу + z , |
ж(I) = y(l) == z(l) = |
|
|
||||||||
6tz1 = -ж + 7у + 5z, |
|
|
|
|
|
||||||
{ |
х' |
- ж - 2у |
t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
-2z + y' - y = t, |
х(О) |
2, |
у(О) = 4. |
|
|
|
||||
47
= О.
266. Электрон вылетает из начала координат с начальной скоростью v0 , напра вленной по оси Ож. Найти закон движения электрона, предполагая, что напря
жениемагнитиогополя Н постояннои направлено перпендикулярнок плоскости жОу.
267. Снаряд вылетает из орудия со скоростью v0 м/с под углом 45• к горизонту. Найти, nренебрегая соnротивлением воздуха, наибольшую высоту, на которую поднимается снаряд, и место его падения.
268. Электрон |
движется в магнитном nоле |
ти траекторию, |
если начальная скорость v0 |
магнитного nоля.
nостоянного напряжения Н. Най образует угол а с направлением
48 |
|
|
|
|
|
|
Глава 1. |
Операционное исчисление |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
269. |
Определить движение тяжелой материальной точки, брошенной с началь |
|||||||||||||||||||||||||||
ной скоростью |
v0 |
под углом |
а |
к горизонту, в среде, сопротивление которой |
||||||||||||||||||||||||
пропорционально первой степени скорости (F |
|
тkv) . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
270. |
Частица массы |
т |
|
с зарядом |
е вылетает из начала координат со скоростью |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||
(и, О, 0) . |
|
На нее действует постоянное магнитное поле |
Н , |
параллельное оси |
||||||||||||||||||||||||
|
z , |
и сопротивление среды |
kтv, |
где |
v |
- скорость частицы. |
Показать, что ее |
|||||||||||||||||||||
координаты в момент времени |
|
равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
kиe-kt |
t |
|
|
|
|
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
х = k--2 +-Л2 |
(ekt |
|
- cos Лt + -k sin Лt), |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
у |
= - |
|
Ли |
|
+ |
|
иe-kt |
|
(Л cos |
Лt + k sin Лt), |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
k2 + Л2 |
|
k2 + Л2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
-те , с - скорость света. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
271 . |
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Частица движется в сопротивляющейся среде, действующей на нее с силой |
||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
где v - скорость частицы, и притягивается к точке (0, О} с силой |
|
|||||||||||||||||||||||||
F |
|
2Лv, |
|
|||||||||||||||||||||||||
(т = 1 ) . |
В точке |
(а, О) |
|
частица обладает скоростью v0 , |
параллельной оси |
tir |
||||||||||||||||||||||
Показать, что при |
|
|
|
|
траектория частицы определяется уравнениями |
|
||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
> Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
х = |
ае-л1 ( cos r..Jt + sin rNt), |
|
|
|
|
|
Оу. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у = |
Vo е-Лt |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
р.2 - Л2 , r |
|
|
|
-"" |
|
|
SШ r..t,J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
|
|
|
- расстояние до движущейся точки от точки (0, 0). |
от оси |
|||||||||||||||||||||||
272. |
МатериальнаяV |
точка А с массой |
т, |
находившаяся на расстоянии |
||||||||||||||||||||||||
|
|
r..J = |
|
|
|
|
|
|
скорость v0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
получила начальную |
, параллельную оси |
|
|
Точка |
А при |
||||||||||||||||||||
тягивается осью |
|
|
с силой |
|
|
прямо пропорциональной расстояниюqот нее; |
||||||||||||||||||||||
коэффициент пропорциональностиF, |
равен |
|
|
Найти уравнения движения и тра |
||||||||||||||||||||||||
Ох, |
|
|
|
|
Ох |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тk2 • |
|
|
|
Ох. |
|
|
|
||||
екторию точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
§ 5. Решение интегральных уравнений
Вольтерра с ядрами специального вида
Интегральным уравнением называется уравнение, содержащее иско
мую функцию nод знаком интеграла. Наnример, решение задачи Коши
у' = f(x, у), у(хо) = Уо,
как известно, сводится к решению"' следующего интегрального уравнения:
у = жjо f(x, у(х)) dx + Уо·
§ 5. Решение интеrральных уравнений Вольтерра |
49 |
Если искомая функция у входит в уравнение линейно, то интегральное уравнение называется линейным.
Уравнение вида |
а:) |
|
ь |
|
(I) |
у( |
/(z) |
К(х, t)y(t) dt |
|||
|
|
+ 1а |
|
|
и Ь - постоянные) называется линейным интегральным уравнением
Ф |
Здесь К(х, t), /(z) заданные функции, |
(аредгольма второго рода. |
у(х) - искомая функция. Функцию К(х, t) называют ядром уравнения ( 1 ) .
Уравнение |
|
|
f(x) + 1аz К(х, t)y(t) dt |
|
|||
|
у(х) |
(2) |
|||||
называют линейным интегральным уравнением Вольтерра второго рода. |
|
||||||
однородными. |
|
(1) |
|
(2) |
f(x) = О, |
|
|
Если в уравнениях |
|
и |
|
|
то уравнения называются |
||
Если искомая функция у(х) входит только под знак интеграла, то имеем соответственно уравнения Фредгольма или Вольтерра первого рода
1а |
|
|
J(x) или |
1а |
= |
J(x) . |
ь |
К(х, t)y(t) dt |
z К(х, t)y(t) dt |
|
|||
Уравнения вида |
!р(х) + 1z К(х - t) P(t) dt = f(x) |
|
|
|||
|
|
|
(3) |
|||
с ядром К(х - t), |
|
о |
|
|
|
|
|
|
зависящим лишь от разности аргументов, представля |
||||
ют собой важный класс уравнений Вольтерра. Они иногда называются
уравнениями типа свертки. |
|
z |
|
|
Пусть имеем интегральное уравнение Вольтерра типа свертки |
|
|||
!J'(x) |
/(х) + 1 К(х - t)!p(t) dt. |
(4) |
||
|
j(x) |
|
К( о |
|
Будем предполагать, что |
|
и |
х) достаточно гладкие функции и име |
|
ют конечный порядок роста при х О. В этом случае и !J'(z) при х О
имеет конечный порядок роста, а значит, может быть найдено изображе |
|||||||
ние функций f , К и |
|
по Лапласу . Пусть Ф(р) !J'(x) , |
F(p) |
f (x) , |
|||
L(p) ;::::К(х). |
Применяя( |
к обеим частям) |
(4) |
иреобразование:= |
Л:=апласа |
||
|
IP |
|
|
|
|
||
и пользуясь формулой свертки (см. § 14, IX), будем иметь |
|
|
|||||
|
|
Ф(р) = F(p) + L(р)Ф(р), |
|
(5) |
|||