ИСиТ / 09.03.02 Интеллектуальные информационные системы и технологии / 2 курс 2 семестр / Алексеев Александр Борисович / Высшая математика / Краснов Лаплас

22

Тhава 1.

Операционное исчнрение

-1 (1-2+1 41 -··· + (- 1), . 1

+ ...)

р

р

р

-

Тогда

р2"

00

(-l)"t2"

= cos t,

n=O

(2n)!

/(t) = Е

1>

что совпадает с известным результатом.

функцияПример Бесселя1

нулевого порядка.

/(t) = Jo(t), где J0(t) -

7.

Найти изображение

функции

Решение. Известно, что

00

k

t2k

Jo(t) = ?;

(-1)

(k!)222k.

РассмотримIPI >

функцию

F(p) =

1

Эта

функция однозначна в области

r.=;=::t·2

v

l

+

р

1 , аналитична в окрестности бесконечно удаленной точки и обрашается

в этой точке в нуль. Найдем ее лораиовекое разложение в окрестности бесконечно

удаленной точки по формуле разложения бинома:

2k

1

\(

"

)-l/l

00

(-l) (

)f

l +

1

F(p) = JI"+P2 = р

= ?;

k

00

р2

kf 2

2

2k

2k+

J'

/(t)

=

Jo(t).

( )

p

(k!)222k

будет функция

Согласно первой теореме разложения оригиналом для

F(p)

?;

(-l)kt2k

Таким образом,

Jo(t) :='

т.1-:-:::;.

1>

Пример

1 8.

Вывести

v

1 + р2

рекуррентное соотношение

Jn+l(t) = т2nJn

(t)- Jn-l

(t).

Решение. Известно (см.

задачу 86), что

J,.(t)

;:=:

(v9+1 -

р)"

..jp2

+ 1

Используя теорему об интегрировании изображения, лолучаем

t

-' !""

(..;.;;г+1d- .

J,.(t)

:- р

р)"

р

vfp2 + 1

§ 1.

Нахождение изображений и оригиналов

25

94.

Показать, что

"'

1

L (-1УJ2м

1

sin t.

(t) = 2'

95.

Показать, что

n=O

ос

n=l

Jo(t)+2 LJ2n(t) = 1,

где Jk(t) -функция Бесселя nорядка k.

96.

Показать, что

+оо

Пример 20

Вычислить интеграл /(t)

=

f costu

d

u, t

> О.

.

о

+

Решение.

Для cos tu, рассматриваемого как функция аргумента t, по тео­

реме nодобия имеем

.

р

.

costи :=

-

--

+оо

Поэтому

р2+и2

·j

2

pdu

2 .

f(t) :=

о

2

a2

(р

+u )(

+u )

Подынтеrральная функция, как функция аргумента u, допускает предста­

вление

р

= -

р

1

р

l

2 ·

2

2

a

2

2

·

2

2

+

2

2

·

2

U

у

_

а

+u

р

_

а

а

(р

+u )(

2+u )

р

+u

1

Следовательно,

р

1

=

1

f(t) :=

(

= - ·

- -- arctg-

+ --

· - arctg-

и=+оо

--.

2

2

2

2

t.l)

'11'

р

а

р

р

-

а

а

а

lu

O

2а

р+а

Переходя к функциям-оригиналам,

получим окончательно

j(t) =

t

1>

!:.e-a .

2а

Задачи для самостоятельного решения

00

00

Вычислить интегралы:

О;

б)

f(t) =

du, t > О.

97. а) /(t) =

-- du, t >

J

sin tu

· cos и

u sin tu

J l +u

и

о

2

о

26

Глава 1.

Операционное исчисление

t-+ +0 ,

если

:=

)

и

f(t) и

- оригиналы.

98.

Найти значения функции

!"

ее первых Двух производных при

/(t)

р

1

!'

(t),

(t), /111(t)

р(р2 ++р + 1

Отыскание оригинала по изображению

Для нахождения оригинала /(t) по известному изображению F(p)

применяются Сilедующие приемы:

1. Если F(p) =

есть правильная рациональная дробь, то разла­

гают эту дробь на

сумму простых дробей и находят оригиналы для каждой

простой дроби, используя свойства 1-IX преобразования Лапласа.

Пример.

2 1 .

Найти оригинал

для

функции

F(p) =р(р

-1)(р+ 4).

1

2

Решение.

Разлагаем

F(p) в

А

В

1

р

+

р - 1 +

Cp + D

р(р - 1)(р2 + 4) =

р2 + 4 .

Находя коэффициенты

А, В, С,

D,

р

(17)

1 1

1

получаем

1

1

1

1

l

F(p) = - 4:p + sp -

+ 20 р2

+ 4

- Sp2

+ 4 .

Ориmналы для каждой из простых дробей в правой части

(17)

находятся просто.

Используя свойство линейности,

находим

1

Пример 22.

f(t)

1

1

t

1

= - - + -е

+ - cos 2t - - sin 2t.

1>

F(p) =

4

1

5

20

10

(р2

+ 1)2• Наити оригинал /(t).

оригинала восn В

F(p)

Решение.

данном случае

уже есть простая дробь. Для нахождения

ользуемся теоремой умножения и тем, что

1

:=

sint.

Имеем

р-2--+ 1

-1

t

·

l

l

l

sint.

1[co st - co s(2r - t)] dr = -t cost - - sin(2r - t)lт=t= -t cost - -1

1>

= 2

о

2

4

т=О

2

2

Пример 23.

F(p)

=

е-Р

--. Найти оригинал /(t).

p+l

§ 1 .

Нахождение изображений и оригиналов

'Ц

Решение. Наличие множителя

е-Р указывает на необходимость nрименения

теоремы заnаздывания. Здесь т

1,

1

1

.

е-t

,

nоэтому

р--+

:=

помощью второй теоремы разложения

котора• утверждает,

что

nри определенныхll. С

условиях, наложенных на F(p), оригиналом'

для

служит функция

t

F(p)

j(t) = I:res [F(p)eP ] ,

(pk)

где сумма вычетов берется по всем особым точкам Pll функции F(p).

В частности, если F(p) =

-

робь,

правильная рациональная д

т функци

то оригиналом ее служи

я

j(t)::::f;l

(nc-1

1)! ; k d,rpn-•-l1

[F(p) (p - P.t)nt] '

{18)

где

- полюсы

F(p)

кратности nk

и сумма в формуле (18) берется

по

всем полюсам

Pk

упрощается и при-

Если все по

люсы

простые,

формула ( 18)

F(p).

то

нимает вид

F(p)

F(p) = (р2

1)1• Найти оригинал j(t).

р

Пример 24.

_

Решение. Функци11

имеет nолюсы

р

1 = 1,

р 2 = -1,

каждый второго

порядка. По формуле ( 1 8) F(p)

j(t) = lim [

(рре111)2]'

+ lim

[

(pp pt)2 ]

1 = -12t sh t.

1>

р-+1

+ 1

"

р--1

1

р

Задачи дпя самостоятепьного решения

Для данных изображений найти оригиналы и nостроить их графики:

99.

2е-11

1 00.

) =

е-2Р

F(p) = рз·

F(p

рг·

е-2р

1 02.

е-эр