Добавил:

DANiilPESHov Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Краснов Лаплас

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2023

Размер:

7.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1817 18 > Следующая >>>

160

270.

Ответы
Уравнения движения
тх = - е у - kmx,	х(О) = О,
! mfj = -есН:х - kmy,	у(О) = О,
mz = -kmz,	z(O) = О,

х(о) = и,

у(О) = О,

. i(O) = О.

271 . Уравнения движения								х(О) = а, х(О) = О,
		тх = -2 х - р2х,						х(О) = а, х(О) = О,
		{mfj = -2 у - р2					у,	у(О) = О,		у(О) = v0•
272. Уравнен11я движения					0
		{ тх =			0	,		х(О) = о,	х(О) = Vo,
			mfj = -mk2y,					у(О) = а,	у(О) = О,
				x(t) = v0t,				y(t) = а cos kt.
Траектория точки у =			а	cos (::) .
3.	1		1			v'3х + Vзe-z/2 sin v'3
3.	<p(x) = 2 sh x +		2 sin x.
274.	<р(х) =	ez - e-z/2 cos								х	.
275.	3	( 1		276.		2	2		2		)1
	<р(х) = х + 6 х3 •			(		<р(х) =	5e2z + 53 cos х + 5 sin х .
				(		..;;		..;;)

277.1 - 1 х + 3 х2 + 1 е2z - 1 х .

278.16 & & 16 12

279.<р(х) = ie-z + ez + e-z/2 ( cos ..;;х - VJ sin ..;;х) .

280.<р(х) = (ez - e-z + '7 sin v'2x) .<р(х) = 2 + х - ez/2 cos х - V J sin 3 х .<р(х) = -

281 . <р(х) = xez .				282.	<р(х) = ez .			283.	<р(х) =
	<p(x) = ch x - xe-z .				<p(x) =	1
284.				285.		'2 (ch x + cos x) .
286.	<р(х) = х - 6 х	3	.	287.	<р(х) =	2		288.	<р(х) =
						rr sh -v'5х.
	1					v5	2

4 1 cos Vзх.

3 - 3

1 - х.

289. <р(х) = J0(x) , так что jо z J0(x - t)J0(t) dt = sin х.

290.

293.

296		•

297.
298.
<р	(х)
2
299.

300.

301 .

302.

304.

305.

306. 307.

Ответы

161

<p(x) =: l .

291 . <р(х) = е-ж .

292.

<р(х) = 1 + 2х +l x

<р(х) = 2хе"' - х2еж .

294. <р(х) =

295.

х2

<р(х) = l - т ·

(

)

-ж

(

)

(

)

-ж

= е

l - ;х

, <f'2

= 9

+ зхе

- 9

<f't х

<р1(х) = е2ж , <р2

(х) = - е2"' .

3/2ж (

r;;

viJ

уЗ

т v'3

)

- з ,

зе

<р,(х) =

v 3 sin

x + 2 cos

тx

ж (

vГз sin

)

= е

cos

х -

х .

<р2(х) = (

(

2 + х)

< р 1 (х) =

(x + 2) sin x +

(2x + l) cos x

н =

cos x -

sinx.

2 )

<р1 (х) =

vГз

sh х ,

<р2(х) = cos v'Зх - 3 ch х .

Т sin v'Зх -

< р 1 (х)

оо

_ k)2k+3

<р2

(х)

= (1 - х)е-ж .

оо

2k (t _ k)k+З

= 2(1 - х)е-ж ,

x(t) = Е

(2k

' 71(t - k) .

x(t) = Е

(k +

)

303.

71(t - k) .

+ 3).

k=O

(

l)(t - k)k+2

k=O

x(t) =

(t - k) .

(k + 2)!

(t - 2k) .

(- 1 )k

- 2k)k

k +

x(t) = f

+З\

k=O

(k +

(t - k + 2)

x(t) =

(

71(t) +

k00=З

k-l

(t - 3k + 2)q(t - k + 2).

-t + -t2

)

k)k+!

k)k+2

;

x(t) =

(t) +

(t - k) +

71(t - k).

(

+ t + '2

)

(

308.

310.

31 1 .

312.

x(t) = cos t .				309.
u(x, t) = u1	..;7Г			1W'kiе-
		2		•
		2		о
	-z			о
u(x, t) = ae	-z
u(x, t) = ae			V Iiicos
[		-ж		.
u(x, t) = a	е			V 2k sш

u(x, t) = u0 (1

z	2	dz .

(	{fJ
(	-
(A}t - x	2k
(	{(;J

(A}t - xy u; )

- Jо27r;e-z2 dz) .
а	/00			_ t .				Рdp
11"		о	е Р		sш х		k	p + (A}
- -							-	-2--.
			00	-	t	•					2
UJ							{ii		dp
		/
+ ;			о	е	Р	sш xy k p2 +				(A}2

]

•

1 62

Ответы

3 1 3.

314.

u(z, t) =

ди

Д. у. -

дt

2v?rk jо

z	1
z
r=

2д2и

=а -2 ,

дz

		.2
(	)	е- ЩН)"		d .
(	)	1	2	d .
	r	1		r
		(t - r)3		Z 1		1
		(t - r)3		Z 1	ж	1
				ди		= 0, и .,=1 = и, ,
O z l, t > O, иl1=0 = uo, -д						= 0, и .,=1 = и, ,

31 5. Д.

у.

ди

д2и

z > О, t > О,

ul1=0 = u0,

ди

h = const,

дt = а

дz2

дz l ж=О = hulж=O'

u(z, t) = uo

[erf ( 2а ) + eh"'+h2421Erf ( 2azv1 + haVt) ] .

При решении задачи воспользоваться теоремой Эфроса (см.

§ 14).

316.

Д. у.

1 u

=0 = 0,

-8

= O, u(O, t) = O,

-8 2

- , O z

1=0

= 2с 8t2

l, t > O, ui1

дu(l, t)

--а;-

Б ·

sш•

(2k +

(2k +2l1

z, t) =

8Fl

оо

1)k

211}7гz

cos

)1rct

(2k + 1)2

k=O

317. Д.

у.

д2

= d

о z

l , t > о ,

ul1=0 = о,

ди

= о,

дzи2 -

С2

и2

ди(l, t)

дt 11=0

u(O, t) = О, --а;- = О,

11rзс2

00 (-1)

(2k

- 1)1Г

(2k

u(z, t) = р - -

l)(z

l)1rct

2с2

(2k + 1)3

(2k + 1)1rt

. (2k + 1)1rx

Ьх

cos

318. и(х

2zx2 + z3) + -

оо

(2k

t> = --(х3 -

k=O

1)5

gьz4

1r5

4hx(l

ди(х

О)

319. Д. у.

= а

дz2 ,

O x l, t > O,

u(x, O) =

+- х)

= 0,

дt2

дt

u(O, t) = u(l, t) = О,

(2k

u(x, t) =

оо

COS

1)1rat

l)1rx

7 ?;

(2k +

SШ

320.

е-Р .

322. 1 - lеа-р

323.

еР

l -

еР - а

Ответы

163

324	•
327·

329.

331.

334.

336.

еР(еР - cos J)								·
е2Р + 2еР cos 1						+ 1		·
еР		-		2еР			·
		-	еР	-		Ji	·
e(J-k)p
еР l
еР(2 ch 2 - е") sh 2
е2Р - 2еР ch 2 + 1								•
'+2	Р		2	)
е	(е	+ е		)	·
(еР - е2)3					·
(еР - е2)3
'+1	(еР +		е)
е	(еР +		е)	.
(еР - е)			3	.		337.
(еР - е)

340. а +arctg	sina . .
	e ' -cosa

325

sinа

326

еР sh 1

•

+ 1

•

е2Р - 2еР cos а

е'{/>, 2еР ch 1 + t "

328

•

1 еР

еР(еР - cos 2)

ZeP

2 е2Р - 2еР cos2 + 1

332.

еР(4е2"-

3еР

333•

ep-l sin2

(еР -

)

3 +

2Р

Р-1

cos2+e-2

. . .

- 2е

е1{е" + 1)

(еР - J)Э '

338.

( 2

)2 •

339. lna+ln

е Р + 1

е >..,.а

34.1. ln ..

fe2P

2еР cos а + 1

..,.

-еР - 1

·. ·

342.

344•

345.

347.

349.

351.

354.

355.

356.

357.

360.

362.

еР

343. eP[(l + е2Р) cos а - 2еР)

•

(e2P - 2e ' cos a + l)2

еР(е4Р + 2e3' cha - 6е2' + 2еР ch a + 1) sh a

(е2Р - 2еР ch a + 1)3

еР. - е•о

е '(2е3Р - 5е2Р ch а + 4е ' ch

2а - ch а)

346.

(

- -.

- 2еР ch а + J)2

е - e0 + ln еР -

е•

2Р

- 2е

+ l •

348.

е + arctg

sin

е2

е Р

. (

€ + J

. ..

). .

2еР Ch

еР - COS E

1 - е"

J +

arctg

sin 2е

arctg

sin 2

350.

eP. - cos 2е

eP - cos 2

1 , -е

n(n + l)

1 - е"

l - e2(n-J)

352. 1 _ е

- {l _ е)2 •

353.

1 _ е2

•

A/(n) = 3, Аkf(n) == О (k

2, 3, 4, . . .).

Akj(n)

(е4 - e )k (k

1, 2, З, . . .)

A/(n) = 2n, A2/(n) = 2.,

A <f(n) = О (k = 3, 4, . . .)

)

еР

2e(l-k)p

е'(е2Р + 4е

358.

359.

(еР -

1)4

(еР - 1)3 ·

(еР - 1)3

2n - l

n - 1

n(n - 1)(2n - l)

(n - l) sin -

sin 2 -

361.

2-a

-a

2 sin

2 sin 2

n(n - l)(n ' - 2)

363.

(1 - е cos a)(I - е" cos па) +е"+1 sin а sin na

e2 - 2e cos a + 1

164

Ответы

364.	nзn-l . 365. sn - зn . 366. sin n21f . 367.
370.	Второго nорядка.	369•	n(n - 1) еn-2.
370.	Второго nорядка.	371 .	2
			Нулевого nорядка.
372.	Первого nорядка.	373. Третьего nорядка.

1	n + 1
- sin --1f		.
2	2	.

377.

380.

383.

392.

394.

398.

			шr			378. sш. тшr			376. 2"			1	2 sin			1f		379. (- 1 )"
									376. 2"				2 sin		"
1 - 2n12 cos											(n - l)1r					4 .				n	2	- n
																				n	2	- n
			4	".					соs					.						- - .
			4	".		381 .		4n-1 +	15	•	4			.				382.				2
Зn -	1	+ (-2)				381 .		4n-1 +		•	2n-3 - 7(-2)n-3							382.	1 - 2			2
		9				зn-					3					2)			1 - 2
																			(- 1)"
n(n - l)(n 2)					.		3.	384.	n(n - l)(n -								· (- t)'н.
		2			.		3.					6

z+at

--2 ·

u(x, t) = 2 :z-jat

О < :t < а,

<t?1(a) da.

393.

л +(

€

/Т (sin a(l + {)

sin a(l - {} )

t > О.

{ ·

u(x, t) = 72Uo +оо( l -

еаz z1) sin x{ d{,

1 + €

395.

Jо

- € .

О,

ж > а.

Указание.

(

-{-

+·>о

+оо

положив

ахи

- > О

Изпользовать синус-nреобразование

Фурье,

n {

J е-e sin (Цт)

при

то

+оо.

Так как

{

-{- d{

../iJо

е-112 dq,

u(x,

решение

можно представить в виде

u(x, t) = u0 - ../i

2.7i

е-"2 dq = ..u0/i

+оо е-"z dq

= uo etf с (

2ах..Л)

2uo

.....!!-..

2•v'i

Ответы

165

где er f c(x) = 5к ]"z е- 2 dq (другое обозначение - Erf (x)).

399.

+ x )

где erf (у) = 5к jо

и(х, t) =

[

+ erf (

1 -

erf

2aVt

2aVt ) ] ,

е- 2 dq.

+ х

1 - х

400.

sin

•

401 .

О.

с,о(х)

-1

402.

Асимптотически устойчиво.

403. Асимптотически устойчиво.

404.

Неустойчиво.

405. Неустойчиво.

406.

Устойчиво, но не асимптотически.

407. Асимптотически устойчиво.

408.

Неустойчиво.

409.

Неустойчивый фокус.

41 0.

Центр.

41 1 .

Устойчивый фокус.

412. Седло.

41 3.

Неустойчивый узел.

414.

Неустойчивый узел.

415. Устойчивый узел.

416.

Точка (0, О, О)

устойчива.

417. Точка (0, О, О) неустойчива.

41 8.

Асимптотически устойчиво при а <

О.

Во всех остальных случаях не

устойчиво. 41 9.

Асимптотически устойчиво при

а < О

а > 1 ; устойчиво,

но не асимптотически

при

= О

а =

1 ;

неустойчиво при

О < а < 1 .

420.

Неустойчиво при всех

а .

421 .

а О .

422.

- 1/2.

423. Асим

птотически устойчиво при af3 <

1 ; устойчиво,

но не асимптотически при af3 = 1 .

424. Асимлтотически устойчиво при

f3 < а2

(а < О) ;

устойчиво,

но не асим

птотически при: 1)

а = О (f3 < О) ;

f3 = а2

(а < 0) .

425. Асимптотически

устойчиво при

а2

{32 - 2а > О

(а <

1 ) ; устойчиво, но не асимптотически nри:

1) а = 1 (lf31 >

1);+2) а2

{32

- 2а = О (О а <

1) .

426.

Неустойчиво при всех

значениях а

и f 3 .

427. Асимnтотически устойчиво при

а2

{32 - f3 < О; устойчи

а2

{32 - f3 = О

(а

О, f3

0) .

во, но не асимптотически приf3

а+

+ 1

= О;

428.

Устойчиво,

но не асимптотически прИ

асимптотически устойчиво nри всех

остальных значениях а

{3.

430. Асимптотически устойчиво.

429.

Асимптотически устойчиво.

431 . Асимптотически устойчиво.

432.

Устойчиво.

433. Асимптотически устойчиво.

434. Асимптотически устойчиво.

435.

Асимптотически устойчиво.

436. Неустой:чиво.

437.

Неустойчиво.

438. Асимптотически устойчиво.

166		Ответы
439.	Асимптотически устойчиво.	440: Асимптотически устойчиво.
441 . Неустойчива.		442. Устойчива.
443. Неустойчива.		444. Устойчива.
445.	Неустойчива.	446. Неустойчива.
447.	Асимптотически устойчива.	448. Устойчива.
449.	Исследование по первому приближению невозможно. С помощью функции

Ляnунова устанавливаем, что точка (0, О) асимnтотически устойчива. 450. Точ

ка покоя устойчива.

451 . Нулевое решение системы nервого

nриближения

неустойчиво, а для nолной системы оно асимптотически устойчиво.

452.

Если

> О,

Ь >

О, то условие устойчивости имеет вид

cos Т > О, где

Т = ( - 1 )tz0

k1r

= О , 1 , 2, . . .) , z0 = arcsin

460.

Устойчиво.

461 .

Неустойчиво.

462.

Устойчиво.

463.

Неустойчиво.

464.

465. Решение неустойчиво nри любом а : .

При а : > 2 .

466.

При а : >6 .

467.

При любых (а:, { 3 ) и з области

(см.

рис.).

468. При любых (а, {3)

из области

af3 > 3,

а > О, {3 > О (см. рис.).

к ответу 468

Рис.

к ответу 467

а:

Рис.

•к ответу 471

(а,

470.

:к

472

475

к ответу 476

Рис.

ответу

Рис.

ответу

Рис.

469.

Решение неустойчиво nри любых

{3) .

> О, q > 2 .

471 . Все корни в левой nолуплоскости; решение

устойчиво (см. рис.).


		Ответы			1 67
(см. рис.).			два	корня в nравОй; решение неустойчиво
472.	Два корня в левой nолуплоскости,
473. Устойчиво.		474, Устойчиво.
475.	Два корня в прщюй полупл кости; решение неустойчиво (см. рис.).
476.	Устойчиво (см. рис.).	47"!. Устойчиво.			478. Устойчиво.

Рис. к ответу 485

Рис. к ответу 487

487. Чисто мнимые корни; решение неустойчиво (см. рис.). 488. Два корня в nравой nолуплоскости; решение неустойчиво.

489. Два корня в nравой nолуплоскости; решение неусrойчиво (см. рис.}.

		и
о		и
	Рис. к ответу 489

490.	Два корня в правой полуnлоскости; решение неустойчиво.
491 .	1l	\ · пп ш	492.	кD(2, 2)
	D(1, 2)	\ · пп ш
	о		о		492
	Рис.	к отве	Рис.	ответу
		ту 491

168

Ответы

493.

495.

494.

					2	D(З,О)
				D(2,	2
D(З, 0)				D(2,	1)
D(З, 0)					о
Рис. к ответу 493				Рис. к ответу 494
Рис. к ответу 493			1/
11		496.	1/
D(2,	2)1\ f.,"' ь.
	),.D(4, 0)

		Рис. к ответу 495
497.		Тf		;;

	D(l, 2)		11:=1	\i
	0
	D(2,	1)		1} = -l

Рис. к ответу 497

499.

Т/

Рис. к ответу 499

D(2, 1)

Рис. к ответу 496

498.

	D(l, 2)
	Рис.. к ответу 498
500.	Т/		- (1+ )
500.
II	III	11
II	III	11	-	2

IIV D(З, 0)

VII = -1

Рис. к ответу 500

Ответы

501 .	ТJ
	ТJ

D(l, 2)

=к1

Рис. ответу 501

502. ТJ

D(2,	1 )	2	2	D(З,
		О			О)

D(l, 2)	\к			D(2, 1)
D(l, 2)				D(2, 1)
	D(3,	0	)
	Рис.			ответу 502

169

3.	D(l, 2)ТJ
50	D(l, 2)ТJ	D(2, l)
		D(З, 0)
		D(l, 2)
	Рис. к ответу 503

506.

507.

508.

509.

510.

51 1 .

505. f(n) = (- 1 )"(4n2 - 7n + l) .

f(n) =

('7)"[с1

cos

n arctg ) + С2 sin

(

n arctg

)] .

2n1f

(

f(n) = 2,.

С1 + С2 cos

+ Сз sin

3 .

j(n) = (-

(l)"(Ct + C2n) + 2"12

(

Сз cos n41r)+ С4 sin n;

)

= C1(l -

f(n)

-/2)" + C2( l + J2)n - I.

f(n) = 2 · 3" + (- l)"(8n

2) .

f(n) =

+ s.ш

n1r

sin 2(n - 1)

2 tg 2 · cos

т +

2 cos 2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1817 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика

#
07.03.2023298.54 Кб68tablica_originalov_j_izobrazhenij.pdf
#
07.03.2023298.67 Кб72tablica_razlozhenij_funkcij_v_ryady.pdf
#
07.03.202315.45 Кб70visshayamatematikakriteriiekzamen2semestr.docx
#
07.03.202371.22 Кб70Вопросы экзамен 2 сем.pdf
#
07.03.202313.07 Кб67Документ Microsoft Word.docx
#
07.03.20237.03 Mб72Краснов Лаплас.pdf
#
07.03.2023197.88 Кб80Мет_2сем.docx
#
07.03.202316.3 Кб70сайты.docx
#
07.03.2023124.64 Кб69сайты.pdf
#
07.03.202332.58 Кб73Содержание MathProfi.ru 1 курс.xlsx
#
07.03.20238.99 Кб79Фурье занятость.xlsx