Добавил:

DANiilPESHov Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Краснов Лаплас

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2023

Размер:

7.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1814 15 16 17 18 > Следующая >>>

Рис. 8

130 Глава 2. Теория устойчивости

(

называется областьюустойчивости, а гиперповерхность, оrраничивающ ее, называется границей области устойчивости. Пусть, наnример, в хара

теристическом уравнении (2) все коэффициенты, кроме двух, скажем,

и а2 , - конкретные числа.

Предположим,

при некотор Iх

•

определенных

значениях а 1

а2

дан

что

(n-k корней

ное уравнение в плоскости корней (т. е.

k корней

в плоскости

имеет k корней, лежащих

•

слева, и (n - k) корней, лежащих справа

от мнимой оси (рис. 7).

•

На плоскости А (плоскость параме

тров а 1 и а2 )

существует кривая, огра

ничивающая такую область (рис. 8), ка

ждая точка которой определяет много

член , также имеющий k корней, лежа

n - k корней, лежащих справа от мнимой оси.

Эту

область

щих слева, иРис. 7

обозначим через D(k, n-k) (k - целое, О k n).

Например, если характеристическое= урав нение имеет tретью степень, т. е. n 3, то в общем случае в пространстве коэффициен тов могут быть указаны области

D(O, 3), D( l , 2), D(2, 1), D(3, 0).

Область D(3, О) и будет областью устойчивости.

Заметим, что некоторые области, в частности D(3, О) , могут отсутствовать.

Разбиение пространства коэффициентов характеристического урав нения на области, соответствующие одz,ному и тому же числу корней,

расположенных в левой полуплоскости называется D-разбиением про странства коэффициентов.

Аналогично можно построить D-разбиение пространства любых па раметров, от которых могут зависеть коэффициенты характеристического

уравнения.

Положим, что в характеристическом уравнении (2) коэффициенты зависят от двух параметров { и 11 (этими параметрами могут быть,

в частности, просто два коэффициента рассматриваемого уравнения) .
Рассмотрим семейство многочленов
f(z, {, 11) = P(z) + 11Q(z) + R(z),	(3)

где ({, 11) - вещественные параметры, а Р, Q, R - известные многочлены

от z с вещественными коэффициентами.

§ 18.

D-разбиения

1 3 1

Задача ставится так:

( . 11)

(плоскость w ) найти область D(n, О)

в плоскости параметров

такую, что для любой точки

D(n, О) многочлен (3) будет иметь все

корни

"1)

что такой области нет.

в левой полуплоскости,

или убедиться,

Построение областей

( .

основано на следующих соОбраже

ниях:

D(k, n-k)

Корни алгебраического уравнения неnрерывно зависят от его ко

эффициентов, т. е. если коэффициенты многочлена

f(z, . 1J)

мало

изменить, то и корни его изменятся мало.

Если точка

'17) лежит на границе области D(k, n-k) , то хотя бы

один корень многочлена

(З)

лежит на мнимой оси, т. е. граница D

( ,

разбиения является образом мнимой оси nлоскости z.

Действительно, если, например, точка

"1) Е D(n, 0) , то много-

член (3) имеет при этом все корни в левой nолуnлоскости.

( ,

Если

лежит вне D(n, 0) , то многочлен (3) имеет хотя бы один

корень в

правой nолуnлоскости.

( . 1J)

71) из области D(n, О) в со

При непрерывном движении точки

седнюю непрерывно меняются корни многочлена

Так как nри

( ,

этом появляется хотя бы один корень в nравой полуnлоскости, то в про

f(z,

{, 1J).

Оу).

цессе изменения

он должен пересечь мнимую ось (ось

Это

будет,

когда точка({, "1)

пересечет границу области D n, О ;

Пусть

( .

"1)

- корень

многочлена /(z

1J)

Равенство

равносильно равенст

, . .

= ж +

(ж, у) +11и2

вам

f(z, . rJ) = О

{ u1

(ж,

у) + uз(ж, у) = О,

(4)

(ж, у) +11v2

(ж, у) + v3(ж,

у) = О,

где

- вещественные и мнимые части многочленов

Р,

R соответственно.

u1и, и2. из

VJ , v2,

vз

'1u.122 1 # О'

Если определитель системы (4)

1.\ = 1

'1.1)

rJ:

система (4) однозначно разрешима относительно и

то

'UJ

(ж, у),

{ {· =

(5)

1J(Ж, у).

Уравнения (5) в точках, где 1.\ # О определяют однозначное отобра

жение плоскости корней многочлена

f(z, . rJ)

на nлоскость параметров

({,

7]) .

Обратное отображение неоднозначно: фиксированной паре значений

( ,

"1)

отвечает, вообще говоря,

корней. Если определИтель системы (4)

1 32

z0 = хо

iy0

Тhава 2.

Теория устойчивости

либо

в точке

обращается в нуль,

то система либо несовместна,

одно уравнение является следствием другого.

В этом последнем случае на плоскости параме1 ров w существует

({,

кУ

z0 =

х0

iy0

целая nрямая,

состоящая из точек

1/), для которых

является корнем многочлена

/(z, { , 'Т/) .

акуЮ точ

(х0 , у0 ) ,

а также

соответствующую ей прямую будем называть исключительнwми.

Найдем на плоскости параметров

те точки, для которых мно

(3)

мнимый корень

гочлен

имеет хотя бы один чисто

({ ,

rJ)

линии,

параметричес

Геометрическое место таких точек состоит из

iy.

кие уравнения которой есть

{ t = {(O, y) ,

(- о о < у < +оо)

(6)

1/ 1!(0, у)

О в уравнениях (5), а также

и которую можно получить,

полагая

отвечающих исключительным точкам оси

из исключительных прямых,

если таковые имеются .

при отображении (5).

Оу (Заметим, что уравнения) (6) дают образ оси

Это геометрическое место точек будем назыОу

линией L .

вать

Линия L разбивает плоскость параметров на некоторое число связ

ных областей.

Каждая из таких областей обладает тем свойством, что для любой

ее точки ({,

rJ)

многочлен

J(z , {,

11)

имеет одно и тоже число корней,

расположенных в левой полуплоскости, т. е. является областью типа
D k n-k) (О k n).
( ,Таким образом, линия L - граница искомого D-разбиения.
Рассмотрим отображение (5) плоскости корней на плоскость пара-
метров						{ { = {(х , у),
						{ { = {(х , у),
Проведем через точку						1/	1/(Х, у).
ную 11.			(хо , Уо) две линии: горизонтальную 1 и вертикаль
Определение. Если направление поворота от l к II сохраняется при
отображении		(5),	то говорят, что отображение сохраняет ориента
ориентацию		(хо,	Уо)		;
цию в точке	(		9			в противном случае - что оно не сохраняет
	(	рис.	9	и		10).
		рис.		и
Если определитель
							щ д'f/
							щ д'f/
						I =	ах ах	> 0
						I =	д{ дrJ	> 0
							ау ду

§ 1 8. D-разбиения

133

у	(:;г·· ·
	хо, Уо)	il
о
о

(х, Уо)

'Г/

6_l	1'
( о• 'Г/о) i

в точке (хо, Уо),

Рис. 9

(хо,

Рис. 10

или

< О

то отображение (5)

в точке

у0)

сохраняет ориентацию.

При

ориентация нарушается. Если

О, то вопрос о сохранении

где

несохранении ориентации решают старшие производные. Можно

совпадает со знаком определителя

D . ,

показать, что знак определителя

D. = 1

v1 .

1 '

и1

и2

так что если D. > О, то отображение с плоскости корней на плоскость

параметров сохраняет ориентацию, если D.

< О, то ориентация меняется.

Рассмотрим опять разбиение плоскости w (плоскость параметров)

на области D(k, n-k) (k n) и обозначим через L границу этих обла
стей. Положительным направлением на L будем считать то, которое
соответствует возрастанию	(начиная с	) при этом кривая L

может состоять из нескольких ветвей, и при полном обходе оси

ее

-оо ;

участки могут проходиться по нескольку раз

(

не более

где

степень

многочлена /(z, {, ' I))J .

n -

Оу

Рассмотрим некоторый участок w1 w2 кри

вой L и предположим, что при полном об

ходе

оси

он

обходится

раз, т. е. что

этому

участку соответствует

участков

Оу

, r )

yjу1';,_

'UJI

(р, =

1 , 2,

. . .

оси

Положим

если направление

совпадает с направле

Оу.

е,..

нием

оси

и yjу';= - 1

- в противном

случае.

Положим также

б,.. =1 ,

если на

Оу,

определитель D.

- 1 - в противном

О,,..

б,.. =

yjy';_

некоторому достаточно

случае. Пусть

точка

w ,

двигаясь непрерывно по

Рис. 1 1

малому пути, пересекает дугу w1 w2 слева направо (рис. 1 1) .

Этому пути

в плоскости z соответствует r путей,

пресекающих отрезки

оси

Если

> О, то соответствуюший путь идет из левой полуплоскости

е,..· б,..

{, 'Г/) = {P(z) + 1JQ(z) + R(z)

yjу';

Оу.

f(z,

правую и много•mен

приобретает на нем один корень с положительной действительной ча

стью и теряет корень с отрицательной действительной частью; в случае

е,..· бр < О - наоборот.

1 34 Глава 2 . Теория устойчивости

Действительно, пусть

> О . Это мо

жет быть в двух случаях:

ер · 6р

1 ,

1 ;

- 1,

-1.

первом случае напра

вление отрезка

ер =

6р =

оси Оу совпадает с по

ер =

6р

ложительным

направлением этой оси

yfy

и сохраняется ориентация

1), т . е . если

(ер =

в плоскости w мы переходим дугу w1w2 слева

(6р =

направо, то и в плоскости

мы переходим

с левой полуплоскости в правую

(

т. е. ось Оу

Рис. 12

пересекаем тоже слева направо, рис. 12).

Во втором случае в ктор yfy направлен в сторону,

противополож-

- 1) . Так как

-1, то ориентация в этом

ную направлению Оу

случае меняется, и при переходе слева направо в плоскости w мы опять

(ер

6р

получаем переход слева направо в плоскости

через ось Оу .

Аналогично рассматривается случай

< О.

кривой L на правую

Итак, при переходе с левой стороны дуги w1w2

сторону многочлен

f(z,

rt)

теряет

ер · 6р

N = е,6, + е262 + . . . + er6r

ТfZ

корней с отрицательной действительной частью.

= z3

Пример Выwеrрадскоrо. Дан многочлен

f(z)

+ 1 .

Найти область D(З, О) .

Решение. Полагая

iy и разделяя действительную и мнимую части,

найдем nараметрические уРавнения кривой

{

L: 2.

{77

1 .

При полном обходе

Это - лежащая в nервом квадранте ветвь гиперболы

2• ,.,

оси Оу (у меняется от -оо до +оо) гипербола описывается два раза, т. е.

nри этом один раз гиnербола nроходится в одном направлении при изменении
ОТ -00 ДО 0.		=	r = у
ОТ -00 ДО 0.	у	уу	х
	€2 = - 1	уу
	о	уу:
	с1 = 1	уу:
	Рис. 13	Рис. 14

При дальнейшем изменении у от О до +оо гиnербола nроходится второй раз,

но уже в противоположном наnравлении. Таким образом, отрезку w1 w2 кривой L

§ 18.

D-разбиения

135

отвечают два отрезка оси Оу: y/yl

и y yi

(рис. I З и 1 4) . Определитель А на оси

Оу равен А = -t/ . Следовательно, 61

= 1 (ибо при

= J

у < 0), а 62 ::: - 1

теряется NJ.1корней .с >

0).

= е 1 6 1 +

е262 = 2.

через

w 1 w2 слева наnраво

(ибо nри

При переходе точки

J.&

nt n\

отрицательной частью, где

начале координат =

= =

Омногочлен f(z) прини-

J ± iv'З

мает вид z3 + J и имеет корни z1

= - z2.3 = ---2 ,

следовательно, область под гиперболойJ ,

есть D(1, 2) .

Область над гиперболой есть область D(З, 0) . В са

мом деле, при переходе из этой области в D(1, 2)

D(l,

многочлен f(z) потерял два корня с отрицательной

вещественной частью и nревратился в многочлен,

имеющий один корень с

отрицательной веществен-

три корня с от

ной частью. Следовательно, в области над гиперболой было

Рис. 15

::::'7

z3 + 3z2

+ Зz + 1

рицательной вещественной частью (рис.

15).

Для проверки можно взять точку

= 3, в которой мно.гочлен принимает вид

и имеет трехкратный корень z = - 1 .

Таким образом, дnя. nостроения17) . D-обласrей nостуnаем так:

J . В многочлене f(z, .

полагаем z = iy, отделяем действительную и мни

мую части и приравниваем их нулю:

О,

{

u 1 (у) + qu2(y) + uз (У)

(у) + f1V2(y) + Vз(У)

(7)

Решая (7) относительно и q, получаем

в пределах от -оо

{

= (у) ,

'1 = '1(У)

параметрические уравнения линии

Строим кривую

на плоскости параметров, изменяя

до +оо, причем если в уравнениях (7) - первая по порядку написания

переменная, а

- вторая, то при построении кривой

система координат 0'1

должна быть

(7)

правой.

определитель системы

и оnределители

Если при некотором значении

2 1

u 1

де =

-и

q =

обращаются в нуль, то при этом значении у одно из уравнений (7) ямяется следствием другого, и для этого значения у nолучаем в плоскости Oq не точку,

аnрямую линию (особая или исключительная прямая). Ее мы также включаем

вграницу D-разбиения.

Если коэффициент nри старшем члене характеристическогооо . уравнения за висит от параметров и · q, то, nриравнивая этот коэффициент нулю, лолучаем уравнение еще одной особой nрямой, соответствующей у =

136			Глава	2 . Т
					еория устойчивости
	Если, наконец, определитель системы (7)					6.	: = О, то границей D-разбиения
служат только особые прямые.
	3.	Выделяем связные области,			на которые		разбивают"nлоскость параме
тров.	4.		и будут области D(k, n-k) (О k n)L.
		Определяем характ
	Это		ер этих областей, т. е. находим k и n - k . Для этого
выбираем в каждой из областей D(k, n-k) по одной точке ({0, 1/о) и исследуем
полученный многочлен f(z, 0 , 1/о)					с числовыми коэффициентами на устойчи

вость с помощью изложенных выше критериев устойчивости РаусаГурвица или
Михайлова (см. §§ 26, 27).							1>
Задачи для самостоятельного решения
Построить D-области для следующих многочленов:
491 . z 3 + {z2 + 1 1z + 6.					492.	z4 + {z 3 + 1 z12 + 4z + l .
493.	z3 + {z2	+ l lz	+ 11·		494.	z3 + (z2 + 2){ + 11Z -	4.

495. z4 + 2z3		+ {z2 + z + Т / ·			496.	z3 + 3z2 + { z + 11·
497.	z3 + {z2	+ (z + l)q + 1 .			498.	z 3 + 11z2 + z + 6 .
499.	z3 + 2z2	+ (z 1) +		'1·	500. z3 + (z2 + z) + z + 21].
501 . {z3 + 3z2 + qz + 1 .					502.	{(z3 + z2) + q(z2 + l) + 2z.
503.	{(z3 - z) + YJ(z2 + z - 1) + 1 .
	§ 1 9.	Устойчивость решений
		разностных уравнений
	1 о . Решение однородньtх линейных разностных уравне

ний С · nостоянными коэффициентами . Пусть имеем разностное
уравнение nорядка k :
		=/=		f (n + k} + a i f(n + k - l} + . . . + akf (n) = О,			(1)
где	ak			f(n) - искомая функция	целочисленного	аргумента;
а 1 ,	• • • ,		О;действительные постоянные.
	• • • ,		-				( 1 )
	Для						( 1 )
		akнахождения нетривиальных (ненулевых) решений уравнения
составляем характеристическое уравнение					+ ak = О.
				.			(2)
				Лk + а 1 Лk- 1 + . . . + аk- 1 Л			(2)
Пусть Л 1 ,			Л2 , . . . , Лk - корни уравнения (2).

§ 19. Устойчивость решений разностных уравнений

1 37

Возможны следующие случаи:

Л1 , Л2, . . . ,

Лk - вещественные и различные.

Общим решением уравнения ( 1)

будет

где с] ' с2, . . . ' ck

J(n) = С1Л + С2Л + . . . + СkЛ/.,

(3)

nроизвольные nостоянные, которые могут быть

определены,

если

заданы начальные условия

f( l ) = !1 ,

. . . '

= !k-1 ·

J(O) = fo ,

J(k - 1)

Корни характеристического уравнения действительные, но среди

различные.

(2),

Л2

= . . . = Лj =

'Х, т. е. Л

них есть кратные. Пусть, наnример, Л1 =

является j -кратным корнем уравнения

а все остальные

k корней

Общим решением уравнения (1) будет

Среди корней характеристического уравнения (2) имеются про

стые комплексные корни. Пусть, например, для определенности

Л1 = а + i{З,

Л2 = а - i{З,

Лз = ' У +iб,

Л4 = ' У -iб,

остальные корни действительные и различные.

Общее решение ( 1) имеет тогда вид

J(n)

= Ct iЛt ln

cos

arg

Лt

) +

IЛ1 In

sin (n arg

Лt

)

+СзiЛзlп cos (n arg Лз) + C4IЛзln sin (n arg Лз) + СsЛ + . . . + CkЛ'k. (5)

4)В случае, если Л1 = а + ifЗ является j -кратным корнем уравне

ния (2) (i ) , то Л2 ""' а - i{З также будет j -кратным корнем и общее

решение ( 1) имеет вид

J(n) = (С1 + C2n + . . . + Ciпi-l) IЛ1In cos (n arg Лt) +

+ (Cj+l + Cj+2n + . . . + G2jnj-J ) IЧn siп (n агg Л1) +

+ C2i+tЛ i+l + . . . + СkЛ/..

(6)

Замечание. Корень Л = О соответствует тривиальному (нулевому) реше нию f(n) = О.

Пример 1 . Найти общее решение уравнения

J(n + 2) + 4J(n + 1) + J(n) = О.

Найти общее решение уравнения

1 38			Dtaвa 2. Теория устойчивости
	Решение.		Составляем характеристическое уравнение
тельно,			л2 + 4Л + 1 = о.			и
		Л1 = -2 - v'З, Л2 = -2 + v'3
Его	корни			различные			действИтельные; следо
			/(n) = С1(-2 - v'З)" + С2(-2 + v'З)".						О.
	Пример 2. Найти общее решение уравнения
	Решение.		f(n + 3) - Зf(n + 2) + 3/(n + 1) - f(n)					=
			Характеристическое уравнение имеет вид
			л3 - зл2 + зл - 1 = о или		(Л - 1 )3 = о.
Отсюда Л1		= Л2 = Л3 = 1 . Общим решением будет
			/(n) ";, (Ct + C2n + Сзn2) • 1"		С1 + C2n + C3n2 •

Пример 3.

f(n + 2) - 2/(n + 1) + 2/(n) = О.

Решение.

имеет nростые

Находим

Характеристическое уравнение
Л2 - 2л + 2 = о
комnлексные корни
л1 = 1 + i,	л2 = 1 - i.
l l ± il = v ',2	arg ( 1 + i) = .

1(n) = Cl2n/2 cos 4n1t + С22nf2 SI•П 4J11t = 2n/2

с. cos 4 + с2 sin 4).

Общее решение имеет вид

(

n1t

Пример 4.

Найти общее решение уравнения

О.

f(n + 4) + 2/(n + 3) + 4/(n + 2) - 2/(n + 1 ) - 5/(n)

Решение.

Составляем характеристическое уравнение

Л4 + 2Л3 + 4Л? - 2Л - 5 = О.

Переnишем его в виде

(Л2 -

l)(Л2

2..\ +

5) = О.

Корнями этого уравнения будут

Здесь

1данно1 ±го уравнVS,ения будет +

2i) = 1t

arc

Общим решением

2il =

arg (- 1

или

= С1

-1)"

+ [С3 cos n(1r - arctg 2)

- arctg 2)}5"'2,

f(n)

С2(

С4 sin n(1r

f(n)

С1

С (- 1)"

+ (- 1)"5"1

[С3 cos (n arctg 2) - С4 sin (n arctg 2)].

+ 2

§ 1 9. Устойчивость решений разностных уравнений

139

Задачи для самостоятельного решения

Решить следуюшие разностные уравцения:

504.	3f(n + 2)		- 2j(n + 1) - 8j(n) = О.			= О, /(0) = 1 , f(l) = 2, /(2) = 3.
505.	f(n + 3) + 3j(n + 2) + 3j(n + l) + f(n)
506.	4j(n + 2)		- 8f(n + 1) + Sj(n) = О.			= О.
507.	j(n + 3) - 8f(n) = О.				(n)
508.	j(n + 4)	-		f(n + 2) + 2f(n + 1) + 2/

2° . Решение неоднородных линейных разностных урав нений с постоянными коэффициентами. Пусть имеем неодно

родное линейное разностное уравнение k-го порядка

f(n + k) + aif(n + k - 1 ) + . . . + akf(n) = g(n)	(7)
с постоянными действительными коэффициентами а1, • • • , ak .	Общее

решение этого уравнения nредставляет собой сумму общего решения со ответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения

неоднородного уравнения.

1 ) Пусть nравая часть g(n) уравнения (7) имеет вид g(n) = rnu(n),

где u(n) - многочлен от n степени т, а r - действительное число. Если r не является корнем характеристического уравнения (2), то

частное решение J(n) ищется в виде

J(n) = rnU(n),

где U(n) - многочлен степени т ; сели же r является j -кратным корнем уравнения (2), то Щn) - многочлен степени т + j .

2)	Если правая часть g(n) уравнения имеет вид
	g(n) = u(n) sin an	или g(n) = u(n) cos an,
то частное решение ищется в виде
	J(n) = U(n) sin an + ii(n) cos an.
3)	Если g(n) = u(n) sh an или g(n) = u(n) ch an, то частное решение
ищется в виде
	f(n) = Щn) sh an + ii(n) ch an.
Здесь и в n. 2) U(n) и ii(n)		- многочлены, степень которых опреде

ляется по правилу, указанному в п. l).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1814 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика

#
07.03.2023298.54 Кб68tablica_originalov_j_izobrazhenij.pdf
#
07.03.2023298.67 Кб72tablica_razlozhenij_funkcij_v_ryady.pdf
#
07.03.202315.45 Кб70visshayamatematikakriteriiekzamen2semestr.docx
#
07.03.202371.22 Кб70Вопросы экзамен 2 сем.pdf
#
07.03.202313.07 Кб67Документ Microsoft Word.docx
#
07.03.20237.03 Mб72Краснов Лаплас.pdf
#
07.03.2023197.88 Кб80Мет_2сем.docx
#
07.03.202316.3 Кб70сайты.docx
#
07.03.2023124.64 Кб69сайты.pdf
#
07.03.202332.58 Кб73Содержание MathProfi.ru 1 курс.xlsx
#
07.03.20238.99 Кб79Фурье занятость.xlsx