ИСиТ / 09.03.02 Интеллектуальные информационные системы и технологии / 2 курс 2 семестр / Алексеев Александр Борисович / Высшая математика / Краснов Лаплас

за исключением точки покоя в начале координат, не остается на этих осях при

Задачи для самостоятельного решения

453. Показать, что если тривиальное решение линейной автономной системы асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова, то оно асимптотически устойчиво в целом.

Исследовать на асимптотическую устойчивость в целом нулевые решения урав­ нений:

454.х + :i:3 + (:i:2 + l)z = О.

455.х + х + (х2 + х + 2)(2z + z5) = О.

456.х + х2е-жх + z3 + 2z = О.

Может оказаться, что система (2) не обладает полной устойчивостью, но тем не менее для нее может существовать область асимптотической устойчивости.

По.д областью асимптотической устойчивости системы (2) понимает­ ся область, содержащая начало координат О и обладающая тем свойствомt , что все траектории, начинающиеся в этой области, сТремятся при --+ оо к началу координат.

В линейных системах всегда бывает только полная устойчивость, тогда как в нелинейных системах она может не быть таковой.

Пример 2. Указать область асимптотической устойчивости уравнения

Решение. Переnишем уравнение в виде системы

ограничены на [1, +оо).

ограничены на [1, +оо) .

условия того, чтобы все корни алгебраического уравнения с веществен­ ными коэффициентами ао, а1, а2, • • • , an

( 1 )

имели отрицательные вещественные части. Н е нарушая общности, можно nредnоложить, что а0 > О.

Положительность всех коэффициентов - необходимое, но не доста­ точное условие для того, чтобы все корни уравнения (1) были расnоло­ жены слева от мнимой оси (в случае уравнений 1 -й и 2-й стеnени это условие и достаточное) . Необходимые и достаточные условия отрицатель­ ности вещественных частей корней уравнения ( 1 ) дали Раус и независимо от него Гурвиц.

Условия Рауса-Гурвица. Для того чтобы все корни уравнения (1)

Матрица Гурвица составляется так. По главной диагонали располага­ ются коэффициенты многочлена (1), начиная с а 1 до an . Столбцы состоят

Вопрос об устойчиВОС'tи решения дифференциального уравнения ( J ) сво­ дится к воnросу о расnоложении корней характеристического уравнения

(2)

на комnлексной плоскости. Последний решается с помощью нижеследу­ ющего критерия Михайлова.

Пусть дан характеристический многочлен

(3)

Подставив в него Л = iUJ, получим

Для устойчивости решения уравнения (1) необходимо и достаточ­ но, чтобы все корни характеристического уравнения /(Л) = О имели

отрицательные вещественные части, т. е. в формуле (7) должно быть m = O.

Отсюда вытекает следующая формулировка критерия Михайлова:

КрИтерий Михайлова. Для устойчивости тривиальногорешения урав­ нения ( 1) необходимо и достаточно, чтобы:

Иначе, для устойчивости решения уравнения (1 ) необходимо и до­ статочно, чтобы кривая Михайлова проходила поочередно n квадрантов против часовой стрелки, окружая все время начало координат.

Поочередное прохождение квадрантов означает, что кривая пооче­ редно пересекает оси координат. Следовательно, координаты u(w) и v((.J)) точек кривой Михайлова для устойчивости решения должны поочеред­ но обращаться в нуль. Отсюда вытекает вторая формулировка критерия устойчивости Михайлова:

Критерий Михайлова. Для устойчивости решения уравнения ( 1) необ­ ходимо (а при условии, что кривая проходится против часовой стрел­ ки - и достаточно) , чтобы все корни уравнений u(w) = О, v(w) = О

были вещественными и перемежающимися друг с другом, т. е. что­

бы между любыми двумя корнями одного из этих,уравнений находился корень другого уравнения.

Для суждения об устойчивости решения уравнения ( 1) нет необходимости

вычислять корни характеристического уравнения. Достаточно лишь уста­ новить, что все они лежат в левой полуплоскости. Обычно встречаются две постановки этой задачи.

Первая. Считая заданными все коэффициенты уравнения ( 1}, уста­ новить, устойчиво ли решение при этих значениях коэффициентов.

Вторая. Считая заданными некоторые коэффициенты уравнения ( 1}, определить, при каких значениях других коэффициентов решение урав­ нения устойчиво.

Построение областей устойчивости

Понятие о D-разбиении. Пусть имеем характеристическое уравнение

(2}

Совокупность значений коэффициентов уравнения ( 1} можно рас­ сматривать как точку (n + 1} -мерноrо nространства Rn+l · Каждой точке nространства Rn+1 соответствует оnределенное значение коэффициентов a0, a1 , . . . , an , а следовательно, и определенное значение всех корней z1 , z2, . . . , Zn характеристического уравнения (2). Если в Rn+l существует

такая область, что каждой ее точке соответствует характеристическое урав­ нение, все корни которого лежат в левой полуnлоскости, то эта область