Добавил:

DANiilPESHov Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Краснов Лаплас

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2023

Размер:

7.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

. 90 Тhава 1 . Операционное ИСЧИСЛf#W/е

Левая: часть этого равенства я:вляется косинус-преобраэованием Фс({) функции

У?( ),

отсюда

1 +t t2 '

Тогда

Фс(f.) =

преобраэования Фурье имеем

по формуле обратного :косинус- V ;

COS {

У?( ) = v/2; о Ф0({) COS t = ;2 /о+ое>

l + {2

( 15)

Интеграл в правой части

вычисляется с помощью теории вычетов. Используя

(15) /+оо

рещение задачи 397

З)

nри

= и а = 1 , nолучим

1 cos {

_ !

_.,

Та:ким образом,

о+оо1 + t2

d - 2 е

Задачи дnя са мостоятельного решения

Решить следующие интегральные уравнения:

400.

У?( ) sш{z dz =

0 {

о+oo

•

sin {, Е > 1 1, '

{

401.

J+ооY?(z) sin {ж clz =

е-(

({ > О).

При решении некоторых задач математической физики можно вос

пользоваться интегральными преобразованиями Меллина или Ханкеля.
Преобразованием Меллина функции /(ж), оnределенной для ж				Е
(0, +оо) , называется функция	/(р),		+оо
		=	определяемая равенством
.Л[!] = f(p)			1о
			жР- 1 /(ж) dж,

Наnример, если /(ж) = e-z, О < ж < +оо, то

+оо

/(р) = :xl'-l e-:t dж = Г(р),

э) Красн(НJ М.Л., Xuct etl А. И., МDКаренко Г.Н. Функции комnлексного nеременноrо.

М.: УРСС, 2003.

1 .

§ 10. Косинус- и синус-преобразования Фурье

9 1

+оо

Преобразование Лалласа

.i'[/] = F(p) = j0

f(t)e-tя

dt,

! .с·• [F)

нiоо

= /(t) =

. 1-!··ioo

F(p)e1'l dp

Лалласа

211'J

vk-оо

Обратное nреобразование

+оо

i ;t: dж,

91"[/] = F({) =

/(z)e· !

Преобразование Фурье

91""1

[F) = /(ж) =

vk+ооJ F({)ei!" d{

Обратное преобразование Фурье

-оо

Косинус-nреобразование Фурье

Обратное

косинусnреобразование Фурье

!9r.[IJ

= F,({) = {f7/(z) sin {ж dж,

Фурье

(p) =

/(•)

Синус-nреобразование

+оо

] = f(ж) =

{fjо

n {z d{

Обратное

8";"

F.({) si

синус-преобразование Фурье

....

•..

Преобразование.

Меллина

,,)

-y+iooж"Рf(p) dp

(

/ } = /(:r:) =

Меллина

,,(Г

т..1

-·

Обратное иреобразование

dF[

jО

211'17-ioo

Цреобразование

Ханке.ля:

= ТЮ =

жJ ({ж)/(z) dz,

J"Г 1 [/) = /(ж)

+оо+оо

Ханкеля

jо

{J..({ж)f({) d{

Обратное преобразование

92	Тhава 1 . Операционное исчислеffие
где	Г(р) - гамма-функция Эйлера аргумента •					Формула обратного
иреобразования Меллина имеет вид					р.
	JГ I [ l J	= f(x) =		2 i	7+ioox-Pj ) dp.
				2 i	1
			функции f(x) называется функция JIO ,
	Преобразованием Ханкеля				7-ioo
определяемая равенством				1о
				1о
	[/]	= ТЮ = +ооxJn ({x)f(x) dx,

где Jn ({x) - функция Бесселя первого рода порядка n . Формула обрат

ного иреобразования Ханкеля

+оо

;n"- 1 [ 1 J f (x) = 1 {Jn ({x)JIO d{.

Для удобства в таблице на стр. 9 1 , интегральные иреобразования сгруп пированы по парам.

§ 1 1 . Обобщенные функции.

Преобразование Фурье

обобщенных функций

Классическое иреобразование Фурье требует, чтобы функция f(x)

стремилась к нулю при lxl --+ оо достаточно быстро. Это условие ис ключает такие функции, как f(x) = 1 , f(x) = cos х, f(x) = х2 и т. д.

Вводя понятие обобщенной функции, мы снимаем указанное ограни чение и тем самым можем находить иреобразования Фурье возрастающих функций.

Цель этого параграфа - познакомиться с понятием обобщенной функции и дать определение иреобразования Фурье некоторых важных функций, не имеющих обычных Фурье-образов.

Пространство основных функций

Функция tp(x) называется финитной, если она обращается в нуль вне некотороrо конечного интервала. Носителем функции tp(x) называется замыкание множества точек, в которых tp(x) :f.: О. Носитель функции tp(x) обозначается символом

supp tp = {х 1 tp(x) :f.: 0}.

П	93
§ 1 1. реобразование Фурье обобщенных функций

Обозначим С 8'"(а, Ь) множество всех финитных функций, бесконечно дифференцируемых на отрезке [а, Ьj .

В теории обобщенных функций очень важную роль играет следующая лемма (основная лемма вариационного исчисления).

Лемма. Пусть f(x) Е С[а, Ь] и для любой функции <р(х) Е C(f (a, Ь)

справедливо равенство

jа

f(x)<p(x) dx = О.

Тогда f(x) = О.

Из этой леммы вытекает следующий факт. Положим

jа

f(x)<p(x) dx.

(/, <p) d,;J

Тогда тождественное равенство

равносильно равенству

f(x) = g(x)

(!, <р) = (g, <р)

<р(х)

cgo(a,

Ь).

Пространство основных функцийV

Обозначим через q; линейное пространство финитных бесконечно

дифференцируемых в

IR1

функций.

Сходимость в

@ определим следующим образом: последовательность

<р11(х) Е

fli,

1, 2, . .

. , сходится

к нулю

fli,

если

выполняются

следующие

(а, Ь) ,

условия:

= 1 , 2, . . .

существует такой интервал (а, Ь) ,

что supp <р11

nри

--+

+оо

<pv{x)

равномерно

сходится к

нулю на

[

vа, Ь] , так же;

как иvnроизводные <p k) (x) любого порядка k .

В этом случае будем писать <р11(х) --+ О .

Пространство

называется пространством основных функций.

Пусть, напримерq),

<ра(х) =

ехр

а2

- х2

lxl

< а,

{ О,

{

а,

так что supp <pa = [-а, а] .

lxl

94			Глава 1. Операционное нсчнсленне		в 91) при
	Последова		льность l,Ov,a(z) = r,oa(z) сходИтся	к нулю	в 91) при
					IPa (;)
v -+	+о о .	С другой стороны, последовательность l,Ov,a(z) =			IPa (;)

к нулю не сходится , т. к. supp IPv,a = [ -va, vaJ при диТ» любой конечный интервал (а, /3) .

Оnределение. Говорят, что последовательность в 91) к функции r,o(z) , если

rp(z) - rp" (z) -+ О. qJ

v - ++оо «превосхо rp" (z) Е 91) сходится

	Воспользовавшись определением сходимости в	91), нетрудно прове
рить, что:
1 )	операции сложения и умножения на число непрерывны в 91),то есть

где а ,

rp"(z) -+ r,o(z)	=>		(z)
'Ф (z) ф(z)	=>	arp"	(z)	+ {Зф" (z)
9l!
- произвольные действительные

;	rp(z) + /3'1/J(z),
	a
числа;

2) операция дифференцирования непрерывна в 9}), то есть

rp"(z)	;	r,o(z) => r,o k)(z)			;	r,o(k)(z),	k = 1 , 2, . . .
Обобщенные функцнн
Говорят, что на множестве М определен функционал 1 ,								если лю
бому элементу множества М сопоставляется по некоторым правилам
определенное действительное число:
			м . L JR.'.
Простым примером является обыкновенная числовая функция /(z) ,
определенная на некотором интервале а z Ь.
Другой пример.	Рассмотрим интеграл
		ь				'
		J
		а	/(z)r,o(z) dж,					а r,o(x) Е
			/(z)r,o(z) dж,
где /(z) Е С[а, Ь]	некоторая			фиксированная функция,
С[а, ЬJ - произвольмая функция.				Таким образом,			каждой функции r,o(x)
ставится в соответствие определенное число. Тем самым построен функ
ционал, порождаемый функцией /(z) , где r,o(z) играет роль аргумента.

§ 1 1. Преобразование Фурье обобщенных функций

Пусть дан функционал 1 в простран тве q) основных функций, который каждой основной функции <р(а:) ставит в соответствие действи тельное число (!, <р) :

Оnределение. Функционал f называетсЯ линейным, если

			(/ , O ! J < J ' I + а2<р2) = O!J(/, < J ' I) + а2 (/ , <J'2)
			'9' а 1 , а2 Е !R_I.				'9' < J ' I, IP2 Е q),
Оnределение. Функционал f называется непрерывным, если для
любой последовательности <J'v (a:)						основных функций, сходящейся
в	q)	к <р(а:)	при v - -	+оо, имеем			(/• <р) ·
	q)		при v - -	(/ • IPv)			(/• <р) ·
Сформулируем основное определение.
					--+
					R'

Оnределение. Обобщенной функцией называется всякий линейный
непрерывный функционал на пространстве основных функций q):
	q ) . L IRI.
Пространство обобщенных функций обозначается через q)' .
Пример 1 . Пусть / (а:)	- абсолютно интегрируемая функция на про
извольном конечном интервале числовой оси:			Ь) .
ь	1/ (a:) l da: < +оо
Jа		V ' (a,

Такие функции локально интегрируемы. С помощью. этоЙ функции любой
основной функции <р(ж) можно поставить в соответствие число		'
	+оо
(/, <р) =-jоо f(ж)<р(ж) dж;		(1)
здесь интегрирование производится, на самом деле, на конечном интервале, вне
которого функция <р(ж) обращается	нуль. Нетрудно проверить, что функционал,
определяемый формулой (1) является линейным и непрерывным.		Обобщенная
функция, определяемая формулой,	в(1), называется регулярным функционалом

или функционалом типа функции (функционал отождествляется с функцией f).
Постоянная обобщенная функция определяется формулой
	+оо		+оо
(/, <р) С	-оо	<р(ж) dж	=-jос	С<р(ж) dж.
=
	j

Функционалы типа ( l) не исчерпывают вселинейные неnрерывные функиионалы
на @, как показывает следующий nример.	1>

96	Глава 1 . Операционное исчисление
Пример 2.	Дельта-функция Дирака б(а:) .

Положим по оnределению

(б(х), IP(x)) = IP(O),

т. е. этот функционал сопоставляет каждой функции \Р(х) Е q) ее значение в точке

х= О. Нетрудно видеть, что б(х) Е q;', т. е. является обобщенной функцией.

Действительно, имеем

т. е. функционал линеен.

Далее, если \Pv(x) -+ \Р(х), тогда

(б(х),		\Pv(x))	=	\Pv(O) -+ IP(O)	=	(б(х), \Р(х))		(	v - ++оо),
		qJ	=	Jl . l	=				v - ++оо),
т. е. данный функционал непрерывен.										1>
Можно доказать, что этот функционал нельзя представить в виде ( 1 )
ни для какой локально интегрируемой функции								j (x) . Поэтому дельта
функция б (а:) не является регулярным функционалом. Такие обобщенные
функции называются сингулярными. Часто встречается и «смещенная>)
дельта-функция б (а: - хо) , определяемая формулой
			(б(х - хо) , IP(x)) = ip(xo) .
Дифференцирование обобщенных функций
Пусть j (x)		- дифференцируемая в обычном смысле функция и
J' (x) - локально интегрируемая функция. Для произвольной ip(a:) Е f7!,
интегрируя по частям, имеем									-	+ J (x)fP' (x) dx.
(!' (а:) , ip(x)) =		+оо/'	(a:)ip(x) dx = [!(x)fP(x)]				l::::		-	+ J (x)fP' (x) dx.
		1					l::::			1
	интеграла равно нулю, т. к. IP(x)							- финитная функция,
Слагаемое вне		-								-оо
которая обращается в нуль вне конечного интервала. Поэтому
Если J - обобщенная функция, то по определению лолагаем
				(!',	- (! , IP') .					(2)
				IP) =	- (! , IP') .					(2)

То есть, если J Е q;', говорят, что обобщенная функция /' Е q;', опре деляемая формулой (2), есть производпая этой функции. Очевидно, что ip1 Е q5 и формула (2) корректно определена.

Для обычной дифференцируемой функции производпая /'(х) в смы сле qJ' является обычной производной.

§ 1 1 . Преобразование Фурье обобщенных функций					97
Из определения !' Е <J!J' следует, что любая				обобщенная функция
бесконечно дифференцируема, причем			(k = 1 ,	2, . . .) .
(f(k)' IP) = (- 1)	"	(/, IP("> )

Пример З.	О		{
Пример З.	Рассмотрим функцию
		(ж
		) =

Хевисайда4)
О,	ж < О.
1 ,	ж > О,

Это обычная функция.		+оо			+ос
Из формулы ( 1)		+оо			+ос
Из формулы ( 1)	имеем:	-оо			1
		-оо	'		1
(fl, rp) == -(0, rp1) = - 1f!(z)rp				(x) dx =		rp'(x) dx rp(O).

Отсюда		(ll, rp) ::::rp(O).
С друrой стороны,		(ll, rp) ::::rp(O).
С друrой стороны,
'		(б(х),	rp(x)) = rp(O).
'	и б(х) действуют одинаково на любую
Следовательно, е	и б(х) действуют одинаково на любую
есть		'
		'		= б(х).
		8		= б(х).
Видно, что производная fJ(x) равна,				в обычном смысле,
существует при х	= О. Далее имеем
	(6', rp) =	- (6, rp') = -rp'(O) ,

функцию rp(x) Е

нулю при х = / =

q;, то

(3) ,Ои не

Нетрудно доказать, что при	,
f1(x - хо) = { 1
о,
имеем (}'(х - х0) = о(х - хо) .

х> хо ,

х< хо ,

	Преобразование Фурье в
ло	Допустим, что функция
	вой оси. Пусть g(а)	ее
с

ы	щ	ы	к	й
см сле обоб енн х фун ци
/(ж)	абсолютно	интегрируема на всей чи
преобразование		Фурье.

I9[f]	+оо	f(ж)eiuж dж.
I9[f]	g(u) = j	f(ж)eiuж dж.
	-оо

(4)

4) При рассмотрении лреобра:.ювания Лалласа функции Хевисай.да будем исnользовать обозначение l](t).

4 1К. 265

98		Diaвa 1 .	Операц/I/Онное исчнсленнв
Тогда			-оо
			-оо
			+оо						{5)
			+оо
Пусть r.p(x) - основная функция, преобразование Фурье которой
		&t(r.pJ = -ф(и) = J r.p(x)eiuz dx.
Имеет место соотношение			-оо
			21Г{!, r.p) = (g, '1/J),	=	J	j			(6)
которое называется равенством Парсеваля Здесь (! , r.p)					+оо	(	а:	)r.p(а:)	da : ,
где	j(a:)	- функция, сопряженная к /(х). .			+оо	(		)r.p(а:)
	j(a:)				-оо

Равенство (6) является основой для нахождения преобразования Фу рье обобщенных функций. А именно, обобщенная функция g(и) является

преобразованием Фурье обобщенной функции / (::е) , если выполняется равенство Парсеваля

(g (u) , -ф(и)) = 21Г(!(::е) , r.p(a:)),

где -ф(и) - преобразование Фурье основной функции r.p(a:) .

Пример 4.

Найти nреобразование Фурье дельта-функции.

Решение. Обозначим fТ[t5] = g(u) , fТ[r.p]=

ф(и) . По оnределению

для

(g(u), ф(и)) = 2r(t5(z), r.p(z))

2rr.p(O),

(t5(z), rp.(z)) = r.p(O).

так как

произвольной основной функции r.p(z)=

+оо

. о

du =

1 ( 1

В силу обратного rrреобразования Фурье, имеем

r.p(O) = 2l,..1 е-'" ф(и)

2,.. , ф(и)).

Поэтому равенство (7) можно переnисать в виде

(g(u), ф(и)) = (I, ф (о')),

откуда g(u) = 1 .

Таким образом,

1 .

Пример 5.

fТ/б(z)J =

1 .

Найти nреобраэование

f(a:)

Фурье функции

{7)

(8)

§ 1 1. Преобразование Фурье обобщенных функций

Решение. Обозначим					80[1]		= g(u) ,		80[<p(z)]	= ф(и) .
имеем					80[1]		= g(u) ,		+оо	= ф(и) .
			(g(u), ф(и}} = 211'(1, <p(z)) = 211' j <p(z) dz.
Поскольку	80[<р]	=	ф(и)	= -+Jооо		<р(х}е;..., dz, отсюда -оо
		=		= -+Jооо		+оо<p(z) dz			ф(О).
						j		=	следует
						j		=
						-оо

По определению

(9)

Тогда равенство (9) принимает вид

	g(u)	(g(u), ф(и)}		211'(1, <p(z)}	=	21rф(О).	(10)
	g(u)		ф=(и) как 6(u) ,		=		(10) получаем
Следовательно		действует на			поэтому из
откуда		(g(u), ф(и)) = 21r(6(u), ф(и)},
			g(u) 21Г6(и).
				формулу
Итак, мы получили вторую важную				=
		80[1)		= 21r6(u}.	[>		( 1 1 )

Для обычного преобразования Фурье, определяемого формулой (4),

справедливы формулы

9f[xkj (x)]	= ( -i)k d k 9f[J) ,		( 12)
9f[J(k)(x)]	=	( -io')k 9f[J] .	( 13)
	=

Используя определение преобразования Фурье обобщенной функции, можно установить справедливость этой формулы и для обобщенной функции.

Пример 6.	Найти преобразование Фурье функции j (x) = х .
Решение. Очевидно, что 80[z]				=	Sf[x · 1] .			Так как Sf[l ]	=	21r6(u) , то из
формулы (12) получается для k			1	=	Sf[x · 1] .				=
	Sf[z]		= Sf[			}	= 21Г(-i)6'(и).
Вообще,		= -idu			l		= 21Г(-i)6'(и).				( 14)
				dт			80[1] = 21Г(-i)m6m(u).
Sf[xm] = 80[zm · 1} = (-i)m dum							80[1] = 21Г(-i)m6m(u).			[>
Пример 7. Найти преобразование Фурье функции J(x) = eaz											( а =
const).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика

#
07.03.2023298.54 Кб68tablica_originalov_j_izobrazhenij.pdf
#
07.03.2023298.67 Кб72tablica_razlozhenij_funkcij_v_ryady.pdf
#
07.03.202315.45 Кб70visshayamatematikakriteriiekzamen2semestr.docx
#
07.03.202371.22 Кб70Вопросы экзамен 2 сем.pdf
#
07.03.202313.07 Кб67Документ Microsoft Word.docx
#
07.03.20237.03 Mб72Краснов Лаплас.pdf
#
07.03.2023197.88 Кб80Мет_2сем.docx
#
07.03.202316.3 Кб70сайты.docx
#
07.03.2023124.64 Кб69сайты.pdf
#
07.03.202332.58 Кб73Содержание MathProfi.ru 1 курс.xlsx
#
07.03.20238.99 Кб79Фурье занятость.xlsx