2 курс 2 сем Чернов С А aka / nachala_fil

Зенон впервые в истории мысли открыл это внутреннее противоречие в пространстве и времени. Дискретность есть отрицание

непрерывности. Непрерывность есть отрицание дискретности. Мы можем мыслить непрерывность лишь противополагая её дискретности и наоборот. Следовательно они существуют лишь во взаимном отношении друг к другу, а именно, через это взаимное отрицание, «отталкивание» друг от друга, которое одновременно оказывается их взаимным «полаганием», взаимным порождением, «перетеканием» и превращением друг в друга. Но противоречие, согласно Пармениду и Зенону, - признак заблуждения, ложности, неистинности. Истина непротиворечива. Следовательно, если множество и движение невозможно мыслить без противоречий, если они по самой своей сущности внутренне противоречивы, то они ложны, неистинны, не существуют «по истине». Аристотель, создатель логики как науки, считал запрет противоречия высшим законом логики и научного мышления. Другим крупнейшим представителем такого понимания логики диалектики был Кант. Однако другие философы подходили к вопросу иначе. Гераклита, как мы видели, противоречивость мира отнюдь не приводила к отрицанию его реальности. Понимание противоречий – это понимание подлинной сущности вещей. Наиболее глубоко и масштабно эта точка зрения была развёрнута Гегелем, который полагал, что противоречие – критерий истины, отсутствие противоречия – критерий заблуждения. Разумеется, Гегель имел в виду не те противоречия, которые появляются в результате ошибок, непродуманности и т.п., но лишь те, которые присущи мышлению как таковому, которые пронизывают все его основные понятия. Тот, кто не добрался до противоречия в сущности вещей, тот ещё не понял их истины. С этой точки зрения апории Зенона глубоки, ошибок в них нет, но они должны послужить основанием не для отрицания реальности движения и множества, а для признания сущностной противоречивости реального бытия.

В апориях Зенона скрываются глубокие и трудные проблемы. Даже в тех случаях, когда «наивность» его аргументов кажется очевидной, как в случае апории «стадион». Зенон рассматривает движение двух рядов всадников в противоположных направлениях относительно третьего ряда и утверждает, что всадник проходит за одно и то же время и целый путь, и его половину, что невозможно, так как целое не равно половине. Мы сразу вспоминаем об «относительности» движения, которой Зенон «ещё не знал» и говорим, что всадник прошел целый путь относительно одного всадника (движущегося) и половину пути относительно другого (стоящего на месте), и таким образом никакого противоречия здесь нет. Но Зенон ведь говорит о другом. Спрашивается, движется ли всадник на самом

171

деле, поистине. Если да, то какой путь он проходит на самом деле, каково его истинное перемещение? Если же он относительно одного

движется с одной скоростью, относительно другого – с другой, относительно третьего вообще не движется, а покоится, то и получается, что никакого действительного, истинного движения не существует. Приняв во внимание всю вселенную, мы должны утверждать, что всякое тело одновременно и покоится, и движется со всеми возможными скоростями. Это и означает, что никакого движения на самом деле, в реальности, в самом бытии, не существует. «Движение» – лишь то, что «кажется», когда мы смотрим на тело с определённой точки зрения, ибо с другой точки зрения тело движется иначе (и таких точек зрения бесконечно много) или покоится. Таким образом, в самом бытии, или в бытии самом по себе, никакого движения нет. Можно, пожалуй, сказать, что Зенон не только впервые понял относительность движения, но и опередил научную мысль на 22 столетия, так как во всей античности и в средние века движение считалось абсолютным. Лишь Галилей вводит в физику принцип относительности, хотя и лишь для «инерциальных» систем отсчёта. Даже Ньютон признаёт еще абсолютное движение - относительно абсолютного пространства. Но все попытки найти это «истинное движение» относительно системы отсчёта, покоящейся в абсолютном пространстве, оказались тщетными, что и было одной из важнейших причин возникновения теории относительности Эйнштейна.

Рассуждения Зенона дали мощный импульс развитию философии, логики и математики. Например, достаточно записать его «дихотомию» в математической форме, чтобы получить понятие бесконечного ряда и геометрической убывающей прогрессии. Особенно важное значение они приобрели в математике тогда, когда стали решать задачи на определение площади и объёма, задачи, которые позднее вошли в круг проблем математического анализа и теории пределов. До Зенона было интуитивно ясно, что бесконечная сумма конечных величин должна быть бесконечной. Логический анализ Зенона показал, что конечный отрезок можно разделить на бесконечную сумму отрезков, каждый из которых конечен! Зенон заставил математиков задуматься над тем, что значит, что точка «находится на» прямой, что такое «непрерывность», «бесконечность», что такое «граница» или «конец» линии или плоскости. Апории Зенона заставили ввести различие между актуальной и потенциальной бесконечностью, которое и сейчас занимает важное место в спорах об основаниях математики между логицистами, конструктивистами и интуиционистами.

С математикой и её философским осмыслением была связана и школа пифагорейцев.

172

Тема 7. Философия и математика пифагорейцев.

Пифагор (ок. 570 - 500 гг. до Р. Х.), объединив в греческой Италии орфические секты, основал философскую школу, которая в то же время была своеобразным религиозно-философским союзом, целью которого было очищение души, приобщение её к божественному, а средством достижения этой цели служило преимущественно изучение чисел, постижение Космоса как системы числовых отношений, как мировой гармонии.

Уже к древнему пифагорейству, в первые двести лет его существования, принадлежало множество философов – больше, чем к какой-либо другой античной философской школе. Элементы пифагореизма можно найти и у представителей других школ – у атомистов, у Платона, у неоплатоников и т.д. В частности, с учением ранних пифагорейцев о числовой гармонии лучше всего знакомиться по диалогу Платона «Тимей»,

вкотором изложена его физика и космология. Окончательное формирование древнего пифагорейства относят ко времени создания платоновской Академии (вторая половина IV в. до н.э.). В эпоху эллинизма возникает ряд школ неопифагореизма. В поздней античности значение идеи числа как сущности ещё более возрастает. С его пониманием в это время можно познакомиться по трактату Плотина «О числах» (Эннеады, VI, 6). Число – вообще основной принцип всей античной эстетики9. Но и античность в целом – лишь начало традиции математического описания и конструирования Космоса, проходящей затем через всю последующую историю европейской культуры.

Пифагореизм сыграл огромную роль во всей последующей истории науки, философии, да и культуры вообще. Об актуальности и своеобразном бессмертии пифагореизма говорил в XX в. один из классиков точной науки о природе В.Гейзенберг. По его мнению, современная наука снова «повернула» от Демокрита к Платону (к Демокриту же она повернула от Аристотеля в XVII в.). Говоря о Платоне, Гейзенберг, однако, скорее имеет

ввиду пифагорейцев (Платон также был в известной степени пифагорейцем). В самом деле, возьмём любую вещь и спросим, что даёт ей бытие? Согласно физике – те частицы, из которых она состоит. Начнём делить эту вещь на части, проведём деление «до конца» и спросим, что же находится в самой глубине вещи, из чего же она состоит в конечном счёте? До XX в. физика отвечала на этот вопрос «по Демокриту» – «из неделимых далее твёрдых частиц вещества». Однако современная физика, согласно

9 Лосев А.Ф. История античной эстетики. Ранняя классика. – М.: Ладомир, 1994. С.464.

173

Гейзенбергу, думает уже иначе. Она говорит, правда, об «элементарных частицах», но что такое элементарная частица в современной физике? В ней не осталось ровно ничего от наглядно-вещественного атома Демокрита. Элементарная частица – это «группа симметрии», иначе говоря, чисто математический, идеальный объект, идеальная структура. Таким образом, все вещи состоят из чисел – это и есть основная мысль пифагорейской философии.

Кроме частиц, фундамент физической реальности составляет «поле». Что такое поле в современной физике? «В каждой точке пространства, - пишет Р.Фейнман, - имеется число (именно число, а не механизм: в том-то и вся беда с физикой, что она должна быть математической)…»10. Современная наука признаёт также наиболее фундаментальной реальностью «закон природы». Но что такое, например, закон падения Галилея? Это – отношение между временем и пройденным расстоянием, выраженное формулой, т.е. отношением чисел. Вот что вечно и неизменно в природе –все тела преходящи, а отношение (закон), или число, неизменно. Самый фундаментальный закон природы – закон сохранения энергии. В чём заключается его сущность? «Для физика, - пишет Фейнман, - закон сохранения означает, что существует число, которое остаётся постоянным, вне зависимости от того, когда вы его подсчитаете». Это число «не соответствует никакому определённому предмету»: «насколько мы знаем, не существует никаких реальных частиц… энергии. Это абстрактное, чисто математическое правило: существует число, которое не меняется, когда бю вы его ни подсчитали. Более вразумительного объяснения я вам дать не в силах»11. А ведь так называемое «вещество» (масса), по Эйнштейну, - это огромная концентрация энергии в малом пространстве, «сгусток» энергии, в которой ничего, кроме числа, современная физика не мыслит!

Несомненно, что популярность и сила пифагореизма объясняются тайной математики и её значением в жизни людей. Поэтому необходимо поглубже вдуматься в его сущность.

В школе пифагорейцев, как и у элейцев, мы видим становление принципа формы, или идеи, как первоначала. Число пифагорейцев – это прежде всего понятие порядка, упорядоченности, определённости, структуры, оформленности, симметрии, ритма, смысла, а также творческой формирующей силы, которая приводит неопределённую непрерывность и множественность некоторой материи к её оформлению, ко всему тому, что делает хаос – «космосом». Есть солидные основания полагать, что сам термин «космос» ввёл в философию именно Пифагор. Понятие «космоса» изначально связано с идеей числа и гармонии как отношения чисел.

10Фейнман Р. Характер физических законов. – М.: Наука, 1987. С.44.

11Там же, с.51, 59-60.

174

Пифагореец Филолай, книги которого использовал Платон, работая над «Тимеем», поясняет понятие числа примером поля, на котором проводятся межи, разграничивающие участки земли. Число – сама вносимая проведением линий определённость пространства. Древние пифагорейцы мыслили числа пластично-фигурно, представляли зримонаглядно, и ставили им в соответствие, как мы увидим, вполне определённые геометрические фигуры. Всякая вещь, возникая, как бы выделяет и «вырезает» себя на фоне неопределённо-беспредельного.

Числа создают порядок космоса тем, что ограничивают и тем самым определяют неопределенное (апейрон). Всякая вещь в мире – соединение «предела» и «беспредельного» (формы и материи). Материя – принцип множественности, текучести, число – принцип единства, устойчивости. В этом смысле все вещи «состоят из чисел», так как «сущность» вещей - это их строение, их строй, структура, т.е. воплотившаяся в бесформенной самой по себе материи «гармония», или форма. Таким образом у пифагорейцев единство в многообразии связывается уже по существу дела не с материей, а с нематериальным принципом, рассматривается как «идеальное», хотя этого термина у них ещё нет и хотя вначале они, видимо, не отличали чисел от самих оформленных тел. Однако несомненно, что на известной стадии своего развития уже древнее пифагорейство противополагает число и вещь, отдаёт первенство именно числу и говорит о подражании вещей – числам. Именно в результате подражания числам материя становится «космосом». Числа для пифагорейцев гораздо в большей мере суть «элементы» вещей, чем природные стихии – земля, вода, воздух, огонь.

Таким образом, пифагорейское «число» – это объективно существующий мировой порядок, или структура вещей, иначе говоря – онтологическая реальность. Все вещи в каком-то смысле – числа, в каком-то смысле сотоят из чисел. Но вернее всё же сказать, что число – не внешний вид вещи, но внутренний принцип её внешнего облика, то есть её «идея», её «суть», её «схема», её структура. Пифагореец Гиппас называет число первообразом, «парадейгмой» (образцом) вещей. Поэтому числа и есть, собственно, истинное бытие, т.е. то, что в вещах существенно, что составляет саму их сущность, даёт им бытие как именно этим конечным и конкретно оформленным вещам, отличая их от других вещей.

Поэтому именно «число» в вещи есть то, что позволяет отличать одну вещь от другой, сравнивать вещи, соединять и разъединять их, анализировать и т.д. Иначе говоря, вещи не только существуют, но и могут быть познаны исключительно благодаря числам. Без чисел, пишет Филолай, «… всё беспредельно, неопределённо и неясно. Ибо природа числа есть то, что даёт познание, направляет и научает каждого относительно всего, что для него сомнительно и неизвестно. В самом деле, если бы не было числа и его сущности, то ни для кого не было бы ничего

175

ясного ни в вещах самих по себе, ни в их отношениях друг к другу… природа и сила числа действует не только в демонических и божественных вещах, но также повсюду во всех человеческих делах и отношениях, во всех технических искусствах и музыке»12.

Возможно, что Пифагор пришёл к этой мысли, что сущность каждой вещи и Космоса в целом раскрывается отношением чисел, именно исходя из открытия музыкальной гармонии. Натянув струну на линейку (монохорда), он обнаружил, что гармоническое, правильное и красивое созвучие получается при отношениях длин, выражающихся в точности отношениями целых чисел: 1:2 (октава), 2:3 (квинта), 3:4 (кварта).

Но первые зачатки философского идеализма появляются у пифагорейцев по другой причине. Именно пифагорейцы впервые в истории создали чистую математику, а именно – математику не как искусство (технэ) вычислений и решения ряда конкретных практических задач по определению площади или объёма (как в Древнем Египте или Вавилоне), но как науку о числах (арифметику), а также о точках, линиях и фигурах (геометрию), которые выступали не в качестве средства вычисления (простых знаков, или записей), но в качестве объектов познания. Математика для пифагорейцев – не вспомогательное средство для решения практических задач, а феория, созерцание истинного бытия, сущности Космоса, созерцание вечного и божественного. Исследования в области математики и теории музыкальной гармонии погружены у пифагорейцев в религиозно-мистический и философский контекст, они подчинены главной цели, определяемой их учением о перевоплощении души - очищению и освобождению души от всего телесного, чувственного, преходящего, изменчивого и слиянию души с божественным – вечным, бестелесным, неизменным. Именно в числах и их отношениях пифагорейцы усматривали эти свойства истинного и божественного бытия. Познавая вечные, неизменные и бестелесные числа, душа постепенно освобождается от чувственного и телесного, привыкает к умозрительному созерцанию бестелесного и становится подобной этим числам, т.е. также вечной и неизменной. Поэтому лучший способ «богослужения» и богопознания и достижения бессмертия – это занятия математикой, научное познание, познание вечной гармонии Космоса. Платон писал, что главная ценность занятий математикой состоит в том, что они постепенно приучают душу к созерцанию бестелесного бытия.

Почему же бестелесного? Несомненно, что пифагореизм можно понять и объяснить как первую философскую интерпретацию чистой математики. Разработав общее понятие числа, и науку о числах «самих по себе», пифагорейцы не могли не задуматься над тем, что такое «число», где и как существуют числа и в каком отношении они находятся к

12 Лосев А.Ф. История античной эстетики. Ранняя классика. М.: Ладомир, 1994. С.246.

176

чувственно воспринимаемым материальным предметам? Это – начальные вопросы философии математики. Ведь самого небольшого размышления достаточно для того, чтобы понять, что число не существует так, как существуют вещи. Числа, точки, геометрические фигуры ведь в каком-то смысле есть, существуют, но у них – особенный способ существования. Число «два» не следует отождествлять ни с двумя деревьями, ни с двумя камнями, ни с двумя людьми и т.д., т.е. с предметами, которые мы считаем при помощи чисел. Когда я говорю, что вижу два дерева, я вижу деревья, но мыслю число. И глядя на совершенно разные предметы, я мыслю одно

ито же число. Число два не следует отождествлять и с цифрой 2, при помощи которой мы это число обозначаем или записываем. Цифра – это лишь видимый материальный знак невидимого самого по себе идеального числа. Предметы я вижу и могу сказать, что их «два», но само число два я не вижу – это не тело, хотя в то же время это – нечто существующее, некоторая «сущность», отличная от «единицы» или «тройки». Я не могу, далее, признать и то, что число – это моя мысль, что оно «находится в моём уме», что это лишь «моё понятие» или некоторая «абстракция». Дело в том,

что то же самое число может мыслить и любой другой человек. В моём уме находится моя мысль, в уме другого человека – его мысль, и как принадлежащие разным людям это разные мысли, а число мыслится одно и то же. Число – не сама мысль, а объект этой мысли. Два плюс два равно четыре совершенно независимо от меня и от кого бы то ни было, от того, мыслит сейчас это отношение числе или не мыслит. Это – некоторое объективное положение дел, не зависящее от воли и желания людей, от их сознания. Если А больше В, а В больше С, то А больше С – каждый вынужден это признать, он сознаёт какую-то объективную необходимость сделать такой вывод, принуждение, которое от нашей психики не зависит. Существует множество отношений между числами, которые ещё никто не открыл – но они существуют – их не «придумывают» произвольно, а именно открывают, как открывают новые виды жуков в природе. Ряд положительных целых чисел бесконечен – я это знаю совершенно точно, но ни я, ни кто-либо другой не в состоянии мыслить все числа, которые содержит в себе этот бесконечный ряд. Так где же он существует, если его нет ни в природе, ни в конечном человеческом уме? Может быть, понятие бесконечного ряда натуральных чисел доказывает, что существует некоторый бесконечный ум, «божественный», в котором этот ряд и находится? Или наряду с миром тел

имиром психики или сознания есть ещё некоторый третий мир – мир идеальных сущностей? И в каком смысле числовой ряд вообще существует? Когда мы рассуждаем о точках, линиях и геометрических фигурах, то рисуем, чертим и видим одно, а подразумеваем нечто совершенно иное: математическая точка не имеет никакой величины, линия не имеет никакой толщины, никакого цвета и т.д. – строго говоря, ни один

177

геометрический объект невозможно «увидеть», потрогать и т.д. Все геометрическое знание как научное, точно доказанное, относится не к видимым чувственным образам, а к каким-то невидимым идеальным объектам, то есть к какому-то бестелесному бытию.

Ранние пифагорейцы, однако, впервые осознали проблему, но ещё не выработали теории особого, идеального бытия (это сделал Платон). Они дают первое и простейшее решение вопроса, попросту отождествляя вещи и числа. Аристотель пишет по этому поводу следующее: «… так называемые пифагорейцы, впервые занявшись математическими науками, двинули их впрёд, и поскольку они были воспитаны на них, то сочли их начала началами всех вещей. А так как первые по природе [начала] этих наук – числа, в числах же, как им казалось, наблюдается много подобий с сущими [вещами] и процессами, … дескать, такое-то свойство чисел есть справедливость, такое-то – душа и ум, другое – удобный момент, … поскольку, как им казалось, все остальные вещи уподобляются числам по всей совокупности своих характерных свойств и числа первичны по отношению ко всей природе, то они стали полагать, что элементы чисел есть элементы всех вещей и что вся Вселенная – гармония и число». Таким образом, пифагорейцы находили некоторые сходства или подобия между числами и их отношениями с одной стороны и вещами и их отношениями – с другой. Они сделали общий вывод о том, что всякое число и всякая пропорция имеют некоторый эквивалент в мире, в котором они как бы

материализуются или воплощаются. Познать вещь, т.е. найти её сущность – это и значит найти воплощённую, реализованную в ней гармонию, её идеальную структуру. Можно, конечно, найти эти числовые гармонические соотношения эмпирически, в самих вещах, и таким образом познать сущность этих вещей a posteriori. Но ведь телесные вещи непрерывно изменяются, приходят и уходят, а числа и их отношения неизменны, и одни и те же числовые структуры воплощаются во всё новых и новых вещах. Поэтому можно сущность Вселенной и всех вещей узнать и a priori. Познать вещи можно лишь при помощи чисел, но числа можно

познать и сами по себе, в чистом виде. Поэтому арифметика и геометрия дают универсальный ключ к познанию тайн мира и человеческой жизни. Они описывают само «божественное», вездесущее и всем управляющее. Оперируя числами, мы познаём скрытую в вещах вечную сущность Вселенной. Нужно лишь осуществить первоначальную «привязку» чисел к действительности.

Делалось это следующим образом. Сначала строится арифметика, как упорядочивание чисел, которое начинается с их разделения на чётные и нечётные и исследования их отношений: что будет, если сложить чётное и нечётное, или умножить чётное на нечётное и т.д.? Наибольшее внимание уделяется первым числам натурального ряда, от одного до десяти. Особо выделяются единица (монада), как «начало» всех чисел (то, что все их

178

«порождает), четвёрке и десятке. Десяти придавалось особое значение потому, что известные грекам культурные народы считали с основанием в десять: счёт доводится до десяти, а потом начинается сначала, то есть десятка снова выступает как единица следующего разряда. Таким образом, десятка – символ окружности, возвращающейся в себя, т.е. символ совершенства, завершённости – «совершенное число». Четвёрка – потому, что сумма первых четырёх чисел 1+2+3+4 даёт десять. Октаве, квинте и кварте в пифагорейской традиции соответствуют числа 6, 8, 9 – этим числам также придаётся особое значение у всех пифагорейских писателей.

Далее числам ставятся в соответствие геометрические фигуры. Точка рассматривается как единица, помещённая в пространстве. Пространство, как полагали пифагорейцы, состоит из точек-единиц. Числа можно изобразить точками, расположенными рядом друг с другом в определённом порядке (правильном, совершенном). В зависимости от количества и расположения точек мы получим числа треугольные, квадратные, прямоугольные, пятиугольные и т.д. Скажем, десять – «совершенный треугольник». Таким образом, соединив эти точки линиями, можно числам поставить в соответствие правильные многоугольники, а из последних – составить правильные многогранники. Уже Пифагор, видимо, знал куб, тетраэдр, додекаэдр и пытался изучать их свойства. Из многогранников, далее, можно составлять уже элементы (стихии, вещества) и тела, составляющие Космос. Согласно Платону, частицы огня имеют форму тетраэдра, частицы воздуха – октаэдра, частицы воды – икосаэдра, частицы земли – кубическую форму (гексаэдра), а материя неба, пятый элемент, состоит из частиц, имеющих форму додекаэдра. В отличие от атомистов, пифагорейцы полагали, что частицы материи имеют не произвольную и бесконечно разнообразную форму, но небольшое число правильных, красивых, гармонических форм.

Космос в целом также устроен красиво, правильно, гармонично. Это – музыкально-числовой Космос, воплощающий в себе те же числовые пропорции, которые лежат и в основе музыки, и в основе правильных геометрических фигур. Он представляет собой десять концентрических сфер, расположенных между центральным огнём и огнём периферическим, объемлющим весь Космос. Это сферы Луны, Земли, Солнца, пяти планет и неподвижных звёзд. Поскольку получается девять, а необходимо для совершенства десять, добавили сферу «противоземли», которую мы не можем видеть, так как она находится строго против Земли по линии, проходящей через центр Космоса. Все небесные светила движутся на своих сферах строго по окружности вокруг неподвижного центра на расстояниях, находящихся в гармонических, музыкальных числовых отношениях. «Космос», собственно, и есть числовая гармония, которую чувства воспринимают воплощённой в материи, а разум способен мыслить в

179

чистом виде, как идеальную числовую структуру. Благодаря трению при движении небесные тела издают звук, высота которого пропорциональна расстоянию от центра мира, вследствие чего в Космосе вечно звучит космическая музыка («хор светил»).

Таким образом, везде и всюду, от мельчайших частиц вещества до Космоса в целом, царит один и тот же вечный порядок, одна и та же «музыкальная» гармония, одна и та же иерархия идеальных числовых пропорций. Везде и всюду имеют место одни и те же основные пропорции. В этой строгой пропорциональности устройства космоса и состоит мудрость (софия). Философия – стремление человека к постижению этой объективной, «космической», мудрости, которую религиозно настроенные христианские мыслители истолковали позднее как воплощённую в строении мира мудрость Бога.

Что такое пифагорейская «пропорция»? Какие именно пропорции имеются в виду? Платоновский термин «ana logia» Цицерон первым перевёл как «proportio». Платоновская «аналогия» – это равенство двух отношений. В основе аналогии лежит операция сравнения одних предметов с другими, без которой невозможно никакое познание, невозможно образование понятия. Но во всякой аналогии речь идёт не о сходстве предметов, но о сходстве отношений между совершенно несходными предметами. Заметим, что Кеплер называл то, что мы называем «законами» обращения планет вокруг Солнца, «аналогиями». Пифагореец Архит создал учение о трёх математических пропорциях – гармонической, арифметической и геометрической. Гармоническая пропорция между a, b, c имеет место, если b превосходит a на такую же долю a, на какую долю c оно превосходит b. Например, 6 – 8 – 12. Восемь превосходит шесть на одну треть шести. Двенадцать превосходит восемь на одну треть двенадцати. В арифметической пропорции числа превосходят друг друга на одну и ту же величину: 6 – 8 – 10. В геометрической пропорции второе число превосходит первое во столько же раз, во сколько раз третье превосходит второе: 4 – 8 – 16. Знаменитое «золотое сечение» – убывающая геометрическая пропорция: целое во стоько же раз превосходит свою большую часть, во сколько раз большая часть превосходит меньшую.

Учение о «золотом делении» обычно приписывается пифагорейцам и Платону. Однако в их текстах сознательной теории этого «божественного деления» нет. Её можно вычитать лишь задним числом. Демиург, по Платону, привёл физические элементы в такое пропорциональное отношение друг к другу, что огонь так же относится к воздуху, как воздух к воде, и в этом же отношении находится вода к земле. А.Ф.Лосев полагает, что эта пропорциональность мыслится у Платона как равенство отношений между объёмами куба и икосаэдра, с одной стороны, и октаэдра и

180