Лекции / 7 непрерыв
.pdf§ 7. Непрерывность функции в точке
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
f(a ) |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
y=f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
A =f(a ) |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
a |
a |
O |
a |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
A =f(a ) |
|
|
|
|
|
|
42 |
4 |
|
Опр.: Если в точке из области определения функции существует конечный предел, который совпадает со значением функции в ней, то говорят, что функция
непрерывна в этой точке.
Теор.:Элементарная функция в любой точке из области определения непрерывна.
1
Рассмотрим простейшую классификацию нарушений непрерывности в отдельных точках. Пусть функция задана в некотором интервале, содержащем точку, хотя сама точка может быть не из области определения. Иначе говорят, что
некоторая «проколотая окрестность» O(a) точки a лежит в •
области определения функции.
I.Если в точке существуют конечные пределы справа и слева, но они не равны между собой или общий конечный предел не равен значению функции в точке, то говорят, что в этой точке функция имеет разрыв первого рода.
lim |
f (x)= A |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→a |
4 |
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)= A42 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
|
в |
точке |
a4 |
функция имеет |
|||||||||
x→a |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
A |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
41 |
|
|
42 |
|
|
|
|
|
|||
первого рода. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
f (x)= A |
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→a |
|
|
|
|
|
2 |
|
и |
lim |
f (x)= A3 f (a3 ) в точках |
||||
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
f (a |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
x→a3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция имеет разрыв первого рода.
разрыв
a2 и |
a3 |
II.Если в точке хотя бы один из пределов справа и слева не существует или бесконечен, то в этой точке функция имеет разрыв второго рода.
lim x→a5
рода.
f (x)= −
в точке
a5
функция имеет разрыв второго
7.1.Исследуйте на непрерывность в точке x = 0 следующие функции:
а) f (x) = x2; |
|
|
|
|
x −1, |
x 0 |
|
||
|
|
|
б) f (x) = |
|
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
x +1, |
x 0 |
|
|
|
x2 |
, |
x 0 |
|
г) f (x)= |
1 |
|
|
|
в) |
f (x) = |
|
|
; |
|
. |
|
|
|
|
x = 0 |
x3 |
|
|
|||||
|
1, |
|
|
|
|
|
|
2
§ 8. Непрерывность функции на множестве
Опр.: Функция
y= f (x)
называется непрерывной на
множестве X , если этого множества.
она непрерывна в каждой точке
Основные элементарные функции по определению и теореме непрерывны в своей области определения. В отдельных точках числовой оси, не принадлежащих этой области, наблюдаются разрывы.
Например, x = 0 - точка разрыва второго рода для степенной типа б):
3
У тангенса и котангенса бесконечно много точек разрыва второго рода.
Непрерывность часто нарушается у функций, заданных разными аналитическими выражениями на разных промежутках. Поэтому для кусочно заданных функций исследуют непрерывность внутри каждого промежутка и отдельно изучают точки стыка промежутков.
8.1. Исследуйте на непрерывность функцию:
|
− e |
x |
, |
|
x 0; |
|
|
||||
|
|
|
2 |
, |
0 x 2; |
|
|
|
|
||
3 − x |
|
||||
f (x) = |
1 |
|
, |
2 x 3; |
|
|
|
|
|||
x − 3 |
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
x 3. |
|
x +1, |
|
Некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
Теор.:(о промежуточных значениях) Если функция y= f |
x |
||||||||||
непрерывна |
на |
|
отрезке |
|
|
из |
области |
определения |
|||
|
a;b |
|
|||||||||
функции, то для любого числа |
y0 , которое заключено |
||||||||||
( ) |
и |
f |
( ) |
|
|
|
|
с |
на отрезке |
||
между f a |
b , найдется такая точка |
||||||||||
a;b , в которой |
|
f (с)= y . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Теор.:(Больцано-Коши) Если функция y= f (x) |
непрерывна |
||||||||||
на отрезке |
|
|
|
из области определения функции и |
|||||||
a;b |
|
||||||||||
имеет разные знаки на концах отрезка, то найдется хотя |
|||||||||||
бы одна точка |
с |
|
на интервале |
a;b , в которой f (с)= 0. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
непрерывна |
|
Теор.:(№1 Вейерштрасса) Если функция y= f x |
|
||||||||||
|
|
|
из области определения функции, тогда |
||||||||
на отрезке a;b |
|
||||||||||
она ограничена на нем. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
непрерывна |
|
Теор.:(№2 Вейерштрасса) Если функция y= f x |
|
||||||||||
на отрезке a;b |
из области определения функции, тогда |
она принимает на нем свое наибольшее и наименьшее значение.
4