Лекции / 5
.pdf
Тема№5: Предел функции на бесконечности. Бесконечно большая функция
Справочный материал
Предел функции |
может рассматриваться не только в точке, но и на |
|
бесконечности. Для |
конечных пределов на бесконечности |
и |
верны свойства конечных пределов в точке.
Некоторые свойства бесконечно больших функций (б/б) в точке и на бесконечности:
•
•
•
•
б / б + б / б = б / б (для б/б одного знака);
б / б б / б = б / б , в т.ч. (б / б)n = б / б и n
б / б = б / б, n N , n 1 ;
б / б (f (x)→const)= б / б , в т.ч. б / б б / м = б / б , б / б const = б / б ;
б / б (f (x)→const 0)= б / б , в т.ч. б / б (const 0) = б / б ;
•
•
•
•
б / б |
= б / б , в т.ч. |
б / б |
= б / б , |
б / б |
|
= б / б ; |
||||
f (x)→const |
|
const 0 |
||||||||
б / м |
||||||||||
f (x)→const |
= б / м , в т.ч. |
б / м |
= б / м , |
const |
= |
б / м ; |
||||
б / б |
б / б |
б / б |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
f (x)→const 0 |
= б / б , в т.ч. |
const |
= б / б ; |
|
|
|||||
б / м |
|
б / м |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
;
•
;
Несколько операций над бесконечно большими функциями создают под знаком предела неопределенности:
б / б − б / б − = ? |
б / б |
|
|
= ? |
б / б б / м 0 = ? |
|
|
|
|
||||
б / б |
||||||
|
|
|
|
|
Задания
5.1.Найдите пределы, используя свойства бесконечно больших функций:
а) |
lim |
tgx |
; |
||||
x − |
|
||||||
|
x→ |
|
|
|
|||
|
2 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
||||
в) |
lim |
3 |
|
|
; |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||
|
x→ 4x + |
1 |
|||||
Справочный материал
б)
г)
lim (x |
4 |
− 3x |
|
||
x→ |
|
|
lim cos x .
x→ x3 + x
+
1)
;
Можно доказать, что многочлен на бесконечности является бесконечно
большой функцией, |
|
т.е. |
lim Pn (x) = , |
. Отношение многочленов на |
|||||
|
|
|
|
|
x→ |
|
|
||
|
|
P (x) |
|
|
|
|
|
||
бесконечности |
lim |
n |
|
= |
- неопределенность, которую можно раскрыть, |
||||
Q |
|
(x) |
|
|
|||||
|
x→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
если числитель и знаменатель дроби разделить, например, на степень с
наибольшим показателем из знаменателя.
Задания
5.2.Найдите пределы:
|
|
6x |
2 |
−x |
4 |
+1 |
|
|||||
а) |
lim |
x |
−x |
6 |
+2x |
3 |
; |
|||||
|
x→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10−x+5x |
5 |
|
||||||||
в) |
lim |
|
; |
|||||||||
|
x |
4 |
−16 |
|
||||||||
|
x→ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3x |
2 |
−5x−2 |
|
|||||||
д) |
lim |
|
|
; |
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
x→ 2x |
−x−6 |
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||
ж) lim |
7x2 −x3 +5 |
; |
|
|
||||||||
x−x7 +x2 |
|
|
|
|||||||||
x→ |
|
|
|
|
||||||||
з)
lim x→
|
|
5x |
|
+9x−2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
x−2x |
3 |
+2 |
|
; |
|
|
|
||||||
|
x→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−6x+2x |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
г) |
lim |
|
; |
|
|
|
|||||||||
|
x |
2 |
−25 |
|
|
|
|
||||||||
|
x→ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
5x |
|
−x |
|
|
+4 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) |
lim |
|
x−7x |
3 |
|
; |
|
|
|
||||||
|
x→ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x2 |
+x+11 |
; |
|
|
|
и) lim |
x3 |
+5 |
. |
||||||
6+x+3x |
2 |
|
|
|
x2 |
+3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
|
|||||
Справочный материал
Неопределенностью 1 под знаком предела считают степень, у которой основание и показатель – функции, причем предел основания равен 1, а в показателе
бесконечно большая функция: |
lim |
(x ) |
, где |
lim g(x)=1 |
, а |
lim (x)= . Часто |
g(x) |
||||||
|
x→ |
|
|
x→ |
|
x→ |
|
(x→a ) |
|
(x→a ) |
|
(x→a ) |
|
такую неопределенность раскрывают, используя второй замечательный предел:
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
или lim(1+x) |
1 |
|
|
||
lim 1+ |
|
=e |
x |
=e , где |
e 2.72 − число Эйлера. |
||
x→ |
|
x |
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задания
5.3.Найдите пределы с помощью второго замечательного предела и замены переменной
|
lim (1+ x) |
3 |
|
|
|
|
|
|
7 |
x |
|
||||||||||||
а) |
x |
; |
|
б) lim 1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
г) |
lim 1− |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||||
2 |
|
|
д) lim 1− |
x |
|
|
|
||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→ |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ln (1 + x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||
ж) lim |
; |
з) lim |
ln (1 + 2x) |
; |
|||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
6x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
к) lim |
|
1+3x |
; |
л) lim |
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||
|
|
2x |
|
||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Дополнительно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5.4. Найдите пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) |
lim |
|
|
x2 +1 |
; |
б) lim |
|
x2 +1 |
; |
|
|
|
|
в) |
|||||||||
|
|
x+1 |
|
|
x+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→+ |
|
|
|
|
x→− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
x |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|||
в) lim 1 |
x +1 |
|
|
||||||||
|
x→ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+1 |
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
е) |
lim 1+ |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
x→ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и) lim (1−sin x) |
1 |
|
|||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м) lim (1+ 6x) |
1 |
. |
|
||||||||
9 x |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ( |
x |
2 |
+ x − x). |
|
|||
x→+ |
|
|
|
;
;
;