Лекции / 11
.pdf
Тема№11: Правило Лопиталя
Справочный материал
Теор: (Правило Лопиталя): Если функции |
y=g(x) |
и |
y=(x) |
обе |
бесконечно малые или бесконечно большие в точке |
x=a (или на бесконечности), то |
предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных в этой |
|
точке (или на бесконечности): |
|
lim |
|
g(x) |
0 |
|
= |
lim |
g (x) |
. |
|
|
|
|
|
(x) |
= , |
|
(x) |
|
|
|
|
||||
x→a |
|
0 |
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
||
(x→ ) |
|
|
|
|
(x→ ) |
|
|
|
|
|
|
|
Если после применения правила неопределенность сохраняется, то правило |
||||||||||||
применяют еще раз и т.д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Неопределенности 0 |
или − |
можно свести к |
|
или |
|
, чтобы |
||||||
0 |
||||||||||||
применить правило Лопиталя.
Задания
11.1. Раскройте неопределенность
0
0
с помощью правила Лопиталя:
|
|
ln (x |
2 |
− 3) |
|
||
а) lim |
|
|
; |
||||
x |
2 |
+ 3x −10 |
|||||
x→2 |
|
||||||
|
|
||||||
|
x |
3 |
−1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
в) lim |
ln x |
|
; |
|
|||
x→1 |
|
|
|
||||
11.2. Раскройте неопределенность
б)
г)
|
x |
3 |
+ x |
2 |
|
− 5x + 3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
x |
3 |
− 4x |
2 |
+ 5x − 2 |
; |
|||||
x→1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
e |
x |
+ e |
−x |
|
− 2 |
|
|
|||
lim |
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
с помощью правила Лопиталя: |
|||||||||||
а)
lim x→
x |
5 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
||
−2x +1
+x − 3
;
б)
lim 
x→+
x+1
x−1
;
в)
lim |
x |
||
|
x |
||
x→+ e |
|||
|
|||
.
11.3. Раскройте неопределенность с помощью правила Лопиталя:
а) lim x ln x ; |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
б) lim |
|
− |
|
|
|
|
. |
||
|
e |
x |
−1 |
||||||
x→0 |
x→0 |
x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|