МОЗИ 4 семестр / Лабораторная 4 / Лаб_04
.docxМИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»
(СПбГУТ)
Факультет Инфокоммуникационных сетей и систем
Кафедра Защищенных систем связи
Дисциплина Математические основы защиты информации
ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №4
Расширенный алгоритм Евклида
10.03.01 Информационная безопасность
ФИО:
Группа:
Преподаватель: Кушнир Д.В.
Санкт-Петербург
Оглавление
Нахождение обратного элемента по модулю. 7
Теоретическая часть по исследуемому вопросу
Расширенный алгоритм Евклида
Кроме вычисления d=НОД(a,b), алгоритм Эвклида позволяет дополнительно определить два целых числа α и β, таких что:
α * a + β * b = d; (соотношение Безу)
α и β – коэффициенты Безу.
Замечание, «почти всегда» если α положительна, то β отрицательно и наоборот.
Эти два числа можно вычислять одновременно с выполнением шагов в алгоритме Эвклида по следующей схеме:
Ручной метод «прямой»:
Рассмотрим шаги получения НОД (24;15):
24 = 15 * 1 + 9
15 = 9 * 1 + 6
9 = 6 * 1 + 3
6 = 3 * 2 + 0
Добавим для каждого шага представление «текущего» остатка как линейной комбинации исходных чисел a и b:
9=24+(-1)*15
6=15-9=15-(24-15)=2*15+(-1)*24
3=9-6=24+(-1)*15-[2*15+(-1)*24]=2*24+(-3)*15; т.е. α=2; β=-3.
Алгоритм в общем виде: Найти: НОД(a,b) a =b *q1 + r1 и r1 = α * x1 + β * y1 b =r1 *q2 + r2 и r2 = α * x2 + β * y2 ………………………………
rn-3=rn-2 *qn-1 +rn-1 и rn-1= α * xn-1 + β * yn-1 //на этом шаге получаем α,β rn-2=rn-1 *qn rn=0 Ответ: НОД(a,b)=rn-1 //ответ – последний ненулевой остаток.
Представим это в виде таблицы:
остатки |
частные |
x |
y |
a |
* |
x(-1) |
y(-1) |
b |
* |
x0 |
y0 |
r1 |
q1 |
x1 |
y1 |
r2 |
q2 |
X2 |
y2 |
rn-2 |
qn-2 |
xn-2 |
yn-2 |
rn-1 |
qn-1 |
xn-1 |
yn-1 |
Заметим, что в начале этой таблицы появились две дополнительные строчки.
Они нам помогут вычислить x1 и y1 : x(-1)=1, y(-1)=0, x0=0, y0=1; xj=xj-2-qj*xj-1; yj=yj-2-qj*yj-1; //Пояснение соотношений – см. лекции.
Пример расширенного алгоритма Эвклида для чисел 1234 и 54
остатки |
частные |
x |
y |
1234 |
* |
1 |
0 |
54 |
* |
0 |
1 |
46 |
22 |
1-22*0=1 |
0-22*1=-22 |
8 |
1 |
0-1*1=-1 |
1-1*(-22)=23 |
6 |
5 |
1-5*(-1)=6 |
-22-5*23=-137 |
2 |
1 |
-1-1*6=-7 |
23-1*(-137)=160 |
0 |
3 |
* |
* |
α = -7; β=160. Действительно: (-7)*1234+160*54=2.
Нахождение обратного элемента по модулю.
Определение. Обратным к числу a по модулю n называется такое число b (обычно обратное к a обозначают как a-1), что: a*b = 1 mod n ( a * a-1 = 1 mod n )
Рассмотрим выражение: a * х + n * y = 1 (это и есть соотношение Безу), возьмём от обеих частей уравнения остаток по модулю n, то получим:
a * х = 1 mod n, х – и есть обратный элемент к a.
Пример: m=11, a=3; 4*3+(-1)*11=1; 4*3=1 mod 11, т.е. a-1 = 4.
Если получаете отрицательный ответ – переведите в положительный: через n-х.
Нахождение противоположного элемента по модулю.
Определение. Противоположным к числу a по модулю n называется такое число b, что: a+b = 0 mod n. b записывают в виде положительного числа.
Задание
Выполнить «вручную» расширенный алгоритмом Эвклида.
Выполнить вычисление расширенного алгоритма Эвклида в среде Excel или в любой другой программной среде, которая позволяет выводить промежуточные шаги выполнения алгоритма.
Найти обратный элемент по модулю
Вариант 22.
Вручную - a = 20 b = 24 ; a = 3 n = 17, программно – a = 3198268 b = 4859598
Ход работы
Вручную найти НОД(24,20)
24 = 20 * 1 + 4 20 = 4 * 5 + 0
НОД(24,20) = 4
Добавим для каждого шага представление «текущего» остатка как линейной комбинации исходных числе а и b. Представим соотношение Безу.
x * a + y * b = d ; d = 4 a = 24 b = 20 x * 24 + y * 20 = 4
Из вычислений НОД получаем, что
4 = 24 + (-1) * 20 4 = 1 * 24 + (-1) * 20
Значит, x = 1; y = -1. Проверим, подставив в соотношение Безу.
1 * 24 + (-1) * 20 = 4 4 = 4, верно.
Выполнить вычисление в среде Excel. НОД(4859598, 3198268)
В Excel создадим таблицу с шапкой «A,B,Делится нацело, Остаток от деления» И заполним исходными данными.
В столбец «Делится нацело» введем формулу =ЦЕЛОЕ(A2/B2)
В столбец «Остаток от деления» введем формулу =ОСТАТ(A2;B2
В следующую строчку в столбцы А и В введем =B2 =D2 соответственно. Протянем все формулы вниз, до получения остатка от деления равному 0.
В данном случае, имеем НОД(4859598, 3198268) = 2 (т.к. последний остаток от деления)
Теперь найдем коэффициенты x,y для x*4859598 + y*3198268 = 2
Основывая на теоретическую часть вопроса, создадим следующую таблицу:
В третью строчку с данными введем следующие формулы: для х - =C2-B4*C3 для y - =D2-B4*D3 и протянем в конец таблицы. В результате получим следующие данные:
Проверим верность решения. =4859598*(-768585)+ 1167824*3198268 = 2 Верно.
Найти обратный элемент по модулю a = 3 n = 17 (модуль)