Лекции АСП 1-4

АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Тема № 1 Основные понятия. Стационарные процессы

Рассмотрим произвольное вероятностное пространство ,A, . Вспомним

определение из курса теории вероятностей, призванное формально определить величины, подлежащие «измерению» в случайных экспериментах.

Определение. Случайной величиной называется функция w : ,

заданная на пространстве элементарных событий , принимающая значения в

и удовлетворяющая условию, что для любого вещественного х множество

w : w x является событием, т.е. w : w x A.

Часто при исследовании различных явлений в области телекоммуникаций приходится иметь дело со случайными величинами, изменяющимися во времени.

Основным понятием теории случайных процессов является следующее.

Определение. Случайным процессом (или случайной функцией) t,t T

называется семейство случайных величин t , зависящих от параметра t, пробегающего некоторое множество значений T . Таким образом, любому фиксированному t0 однозначно ставится в соответствие случайная величина t0

, называемая сечением случайного процесса. При этом считается, что все случайные величины t , которые образуют это семейство, заданы на одном

вероятностном пространстве ,A,P .

Обычно параметр t играет роль времени (так сложилось исторически, из практических потребностей прикладных наук). В пособиях по теории случайных процессов, связанных с их инженерными приложениями, вместоt,t T или просто t часто используется обозначение X(t).

Определение. Реализацией, выборочной функцией или траекторией

.

На практике считается, что в результате некоторого эксперимента происходит элементарное событие 0 и наблюдается значение t t в

точке 0 . Поэтому траектория случайного процесса зависит от наблюдений при эксперименте. Иначе говоря, реализацией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция x(t), в которую превращается случайный процесс X(t) в результате опыта; другими словами, конкретный вид, принятый случайным процессом X(t), который наблюдался на каком-то отрезке времени от 0 до τ.

полной и исчерпывающей характеристикой случайной величины t . Эта

Пример. Пусть T . По определению зададим t t t0 b, где t0,b

- некоторые фиксированные числа, - некоторая случайная величина, заданная на некотором вероятностном пространстве ,A,P , не зависящая от

Тангенс угла наклона этой линии равен значению 0 . Так как случайная величина может принимать разные значения то все реализации (траектории) случайного процесса t будут принадлежать пучку прямых на плоскости. Каждая прямая этого пучка проходит через точку плоскости с координатамиt0,b . Эта точка в аналитической геометрии носит название центра пучка прямых на плоскости.

Случайный процесс t в данном примере носит называние веерного случайного процесса.

Является ли одномерный закон распределения полной и исчерпывающей характеристикой случайного процесса? Очевидно, нет. Эта функция характеризует только свойства одного отдельно взятого сечения случайного процесса, но не дает понятия о совместном распределении двух (или более) сечений процесса. Иначе говоря, зная поведение случайного процесса в момент времени t, мы не можем предсказать поведение значений t в другие моменты времени. Для описания этих зависимостей необходимо рассмотреть функцию

распределения случайного вектора t1 ,..., tn , координаты которого равны значениям процесса в моменты времени t1,...,tn .

Обозначим

Ft1,...,tn (x1,...,xn) F t1 ,..., tn (x1,...,xn) F (x1,...,xn) P t1 x1,..., tn xn .

Определение. Семейство функций

Ft1,...,tn (x1,...,xn), n , t1,...,tn Tn,ti tj

называется семейством конечномерных распределений случайного процесса

t,t T .

Это семейство удовлетворяет условиям согласованности:

математическим ожиданием случайного процесса.

2. Пусть D t D t =E t m t 2 для всех t T , если дисперсия определена и конечна, тогда D t :T - дисперсия случайного процесса.

Наряду с дисперсией в инженерных приложениях теории случайных процессов часто рассматривается функция среднеквадратичного отклонения

t D t :T .

3. Пусть m t , m s , тогда K s,t E s m s t m t -

ковариационная функция случайного процесса. Синонимами понятия ковариационная функция в технической литературе являются автоковариационная и автокорреляционная функции. Согласно мнению ряда ученых наиболее удачным названием является «автоковариационная функция», подчеркивающее, что речь идет о ковариации двух сечений одного и того же процесса (от латинского autos – сам, направленный на самого себя).

Докажите следующие свойства K s,t :

а) K s,t 2 D s D t ,

б) K t,t D t ,

в) K s,t K t,s .

нормированная автоковариационная, нормированная автокорреляционная) функция случайного процесса.

Докажите следующие свойства R(s,t):

а) R s,t 1,

б) R t,t 1,

в) R s,t R t,s .

требуется найти функцию распределения сечения этой функции, математическое ожидание mX (t), дисперсиюDX (t), среднеквадратичное отклонение X (t) и корреляционную функцию K X (t1,t2).

Согласно определению функции распределения случайной величины

.

Далее рассмотрим случай, когда t 0. Так как U N(2; 4),то

K X t1,t2 E X t1 mX t1 X t2 mX t2

E Ut12 2 t12 EU 2 Ut22 2 t22 EU 2 t12t22 DU .

Параметры нормального распределения являются его основными числовыми характеристиками (EU 2,DU 4). Следовательно,

mX (t) 2t2 2, DX (t) 4t4 ,X (t) 2t2 ,

K X t1,t2 4t12t22 .

Классификация случайных процессов

Основными признаками, по которым можно провести классификацию

процесса.

Если E – это некоторый непрерывный промежуток из , то E – фазовое пространство действительного случайного процесса.

2). Временной параметр T .

Определение. Если t T , то говорят, что процесс t,t T является

процессом с дискретным временем. Если параметр t принимает все значения из некоторого непрерывного промежутка на числовой прямой, то говорят, что

t2 t1 ,..., tn tn 1 .

Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями,

если величины t2 t1 ,..., tn tn 1 независимы в совокупности.

Случайный процесс называется процессом с некоррелированным

случайные величины.

Случайный процесс называется процессом с ортогональным приращением,

Случайный процесс называется марковским, если при всех n для любых

переходных вероятностей марковского процесса.

Данная функция играет важную роль при изучении подобных процессов.

Стационарные процессы

Рассмотрим случайный процесс t,t T .

Определение. Случайный процесс называется стационарным в узком смысле, если при всех n для любых t1 t2 ... tn T для всех h таких, что t1 h, … , tn h T , совпадают конечномерные распределения

Ft1,...,tn (x1,...,xn) Ft1 h,...,tn h(x1,...,xn).

Определение. Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если:

Проверьте, всегда ли из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле.

Для стационарного в широком смысле процесса корреляционная функция

Ответим на вопрос, когда данный случайный процесс является стационарным в широком смысле и найдем корреляционную функцию R(s,t).

m(t) E 1 cos(wt) E 2 sin(wt), т.е. для того, чтобы m(t) не зависело от t, необходимо, чтобы E 1 E 2 0.

Пусть s t . Тогда

K s,t E t s E 12 cos wt cos ws 22 sin wt sin ws

1 2 cos wt sin ws 1 2 sin wt cos ws E 12 cos wt cos ws

E 22 sin wt sin ws E 1 2 sin t s w .

то, следовательно, случайные величины 1 и 2 не коррелированны. Более того, мы будем считать, что они независимы.

Следовательно,

K(s,t) 2 cos wt cos ws sin wt sin ws 2 cos w t s 2 cos w .

математическими ожиданиями, равными 0, и одинаковыми ненулевыми

распределения которых не зависят от времени t.

Линейные преобразования случайных процессов, дифференцирование и интегрирование случайных процессов

Определение. Назовем оператором отображение, ставящее в соответствие одной функции другую функцию. Примеры оператора являются:

Оператор дифференцирования

y dy A dx

Например:sinх cosх,х2 2х

Определение. Оператор A называется линейным, если для любых элементов x1 и x2 пространства и любого λ из произвольного числового поля (к примеру, поля вещественных чисел) выполняются соотношения

1.A(x1+x2)=Ax1+Ax2.

2.A(λx)=λAx.

Определение. Производная случайного процесса определяется как предел lim X t t X t X ' t dX

Так как X(t) случайный процесс, то предел нужно понимать в вероятностном смысле: это может быть, к примеру, сходимость с вероятностью единица либо сходимость в среднем порядка 2 (в среднем квадратическом).

Рассмотрим случайный процесс X(t) с математическим ожиданием mX(t) и автоковариационной функцией KX(t1,t2). Обозначим производную случайного процесса X(t) как Y(t) :

Y t dX X ' t dt

Требуется найти математическое ожидание и автоковариационную функцию производной случайного процесса, т.е. mY(t) и KY(t1,t2).

Найдем математическое ожидание левой и правой частей равенства из определения производной случайного процесса, предполагая, что соответствующие переходы возможны:

Следовательно, можно сделать вывод, что математическое ожидание производной от случайного процесса равно производной от его математического ожидания. Т.е. операцию дифференцирования можно менять местами с нахождением математического ожидания случайного процесса.

Для определения KY(t1,t2) перейдем к центрированным случайным функциям

Подставим вместо Y t1 и Y t2 их выражения:

KY t1,t2 E d X t1 d X t2 .

1 dt2dt

Можно представить выражение под знаком математического ожидания в виде второй смешанной частной производной:

d X t1 d X t2 2 X t1 X t2 .

Аналогично тому как выше показано, что математическое ожидание производной случайной функции равно производной от математического ожидания, т. е. знаки дифференцирования и математического ожидания можно менять местами, можно показать, что

Отсюда можно сделать вывод о том, что для того, чтобы найти автокорреляционную (корреляционную) функцию производной, нужно дважды продифференцировать автокорреляционную (корреляционную) функцию исходного случайного процесса: сначала по одному аргументу, затем - по другому.

В итоге получаем, что для нахождения математического ожидания преобразованного случайного процесса тот же линейный оператор применяется

кматематическому ожиданию исходного случайного процесса; для нахождения автоковариационной функции тот же линейный оператор применяется дважды

кавтоковариационной функции исходного случайного процесса.

Аналогично можно показать, что математическое ожидание интеграла от случайного процесса равно интегралу от ее математического ожидания. Т.е. операцию интегрирования можно менять местами с нахождением математического ожидания случайного процесса.