
Выразим разность между верхней и нижней границей через колебание функции.
|
n |
n |
n |
n |
|
s Mi xi mi xi Mi mi xi i xi . |
|||
S |
||||
|
i 1 |
i 1 |
i 1 |
i 1 |
Каждое слагаемое в последней сумме – неотрицательно, так как
i 0 и xi 0, i 1,2,3, ,n .
Эквивалентная теорема о необходимом и достаточном условии интегрируемости функции y f x на отрезке a,b .
Для того, чтобы функция y f x была интегрируема на отрезкеa,b , необходимо и достаточно, чтобы для любого 0 нашлось такое разбиение T отрезка a,b , для которого выполняется неравенство
n
i xi .
i 1
1.4.Достаточные условия существования определенного интеграла
Вэтом параграфе докажем интегрируемость на заданном отрезке непрерывных функций и некоторых разрывных функций, а также монотонных функций.
Теорема. Если функция y f x непрерывна на отрезке a,b , то
она интегрируема на этом отрезке.
Доказательство этой теоремы опирается на свойство равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке (см., например, [9], с.326, теорема 10.2): если функция y f x непрерывна на отрезке a,b
, то она равномерно непрерывна на этом отрезке.
Напомним определение (см., например, [9], с.325). Функция y f x называется равномерно непрерывной на отрезке a,b , если для
любого положительного числа , можно найти такое положительное
число , зависящее от |
: |
0, что для любых двух точек x |
и x , |
|||||||
принадлежащих a,b |
и |
удовлетворяющих условию |
|
x x |
|
, выпол- |
||||
|
|
|||||||||
няется неравенство |
|
|
|
|
. |
|
||||
|
|
|
||||||||
f x |
f x |
|
|
Следствие из теоремы о равномерной непрерывности непрерывной на отрезке функции.
21

Пусть функция y f x непрерывна на отрезке a,b . Тогда для
любого положительного числа , можно указать такое положительное число , зависящее от : 0, что на каждом отрезке c,d a,b
длина которого d c , следует, что колебание функции .
Доказательство следствия. Функция y f x непрерывна на от-
резке a,b , следовательно, она равномерно непрерывна на a,b . Тогда для любого положительного числа , можно найти такое положительное
число , зависящее от : |
0, что для любых двух точек x |
|
и |
|
, |
|||||||||||
|
|
x |
||||||||||||||
принадлежащих отрезку a,b |
и удовлетворяющих условию |
|
x x |
|
, |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
выполняется неравенство |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
f x |
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Выберем отрезок c,d a,b , в котором |
|
f x |
|
M |
, |
|||||||||||
f x m и |
|
|
где m и M соответственно наименьшее и наибольшее значения функции y f x на отрезке c,d . По условию длина отрезка c,d : d c
. Точки x и x принадлежат c,d . Отсюда следует, неравенство x x , которое в силу равномерной непрерывности функции требует
выполнения неравенства |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
f x |
f x |
|
|
|
|
||||||||
Но |
f x |
|
M |
и |
|
|
|
m . |
|
|
Тогда разность |
|
|
|
|
|
f x |
|
|
f x |
f x |
M m .
Получили, что колебание функции . Следствие доказано.
Доказательство теоремы об интегрируемости непрерывной
функции. |
|
|
|||
|
|
Пусть задано произвольное положительной число . В силу равно- |
|||
мерной |
непрерывности функции f x |
на отрезке |
a,b для числа |
||
|
|
|
0 можно указать такое число 0, что при разбиении T отрезка |
||
|
b a |
||||
|
на частичные отрезки xi 1,xi , |
|
|
||
a,b |
i 1,2, ,n , |
длины которых |
|||
xi xi |
xi 1 , получим, что колебание i функции |
f x на каждом |
частичном отрезке xi 1,xi , i 1,2, ,n удовлетворяет неравенству
i b a .
Поэтому для разбиения T разность между S – верхней и s – нижней суммами функции f x справедливо неравенство
|
n |
|
n |
|
|||
S s i xi |
|
xi . |
|
|
|||
|
i 1 |
b a i 1 |
22

А неравенство S s является достаточным условием для интегрируемости функции f x , теорема доказана.
При доказательстве теоремы можно было заметить, что интегральные суммы, составленные при различных разбиениях заданного отрезка интегрирования a,b на частичные интервалы произвольной длины и
выбора точек ci различными способами на полученных интервалах, от-
личаются друг от друга весьма значительно. Но для непрерывной функции разница между этими суммами стирается при возрастании числа интервалов разбиения заданного отрезка интегрирования, то есть когда происходит процесс убывания длины наибольшего частичного интервала. При переходе к пределу при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интеграла получается число, которое не зависит ни от спосо-
ба разбиения отрезка a,b на частичные интервалы, ни от выбора в них промежуточных точек.
Интегрируемость некоторых разрывных функций
Определение. Говорят, что точка x покрыта интервалом, если существует интервал, которому принадлежит эта точка.
Теорема. Если функция f x отлична от константы, определена и ограничена на отрезке a,b , и для каждого положительного числа
можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва рассматриваемой функции f x , таких, что сумма длин этих ин-
тервалов меньше , то функция f x интегрируема на a,b .
Доказательство. Пусть задано произвольное число 0, а функция f x имеет конечное или бесконечное число точек разрыва первого
рода. По условию теоремы можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва рассматриваемой функции f x , та-
ких, что сумма длин этих интервалов меньше |
|
|
, где M |
и m – |
|
||||
2 M m |
||||
наибольшее и наименьшее значения функции |
f x |
на отрезке |
a,b . |
|
Функция f x отлична от константы, следовательно, |
M m . |
|
Точки отрезка a,b , не принадлежащие интервалам, покрывающим все точки разрыва рассматриваемой функции f x , образуют множество, состоящее из конечного числа непересекающихся отрезков.
23

На каждом таком отрезке функция f x равномерно непрерывна. Разобьем каждый такой отрезок так, чтобы колебание i функции f x на
любом частичном отрезке разбиения было меньше . Объеди-
2 M m
нение всех разбиений и интервалов, покрывающих все точки разрыва функции f x , представляет собой разбиение T всего отрезка a,b .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для этого разбиения |
в |
разности |
|
s i xi |
|
выделим |
|
две |
|||||||||||||||||||||||||||
S |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
n |
|
2 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
группы слагаемых 1 i xi |
и |
|
|
xi , причем в первую группу |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
i k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
входят все слагаемые, отвечающие частям разбиенияT , образованным из |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
интервалов, покрывающих точки разрыва функции |
f x , а во вторую – |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
остальные слагаемые. Так как колебания i |
функции |
|
f x |
для слагае- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
мых первой группы |
удовлетворяет |
|
неравенству |
|
|
|
i |
M m , |
где |
|
M |
||||||||||||||||||||||||
и m – наибольшее и наименьшее значения функции f x , то |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i xi M m |
1 xi M m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
M m |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
i 1 |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Для слагаемых второй группы колебания i |
|
функции |
|
f |
x |
удо- |
|||||||||||||||||||||||||||||
влетворяют неравенству |
|
|
|
|
|
, поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
b a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 i xi |
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
b a |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 b a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
i k 1 |
|
2 b a i k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Следовательно, |
для функции y f x |
и для любого числа 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
нашлось такое разбиение T отрезка a,b , |
что для разности верхней |
|
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||
S |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
нижней s сумм этого разбиения выполняется неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
s i xi 1 i xi 2 |
i xi |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
S |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
i 1 |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
i k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24

Полученное неравенство S s является достаточным условием интегрируемости функции f x .
Таким образом, наличие конечного или бесконечного числа точек разрыва первого рода функции f x на отрезке a,b не является пре-
пятствием для ее интегрируемости на отрезке a,b . Теорема доказана. Следствие. Ограниченная на отрезке a,b функция f x , имею-
щая лишь конечное число точек разрыва (первого рода), интегрируема на рассматриваемом отрезке.
Доказательство. Пусть заданы произвольное число 0 и конечное число p – это число точек разрыва (первого рода) функции
f x на отрезке a,b . Рассмотрим разбиение T отрезка a,b , пред-
ставляющее собой объединение двух разбиений T T T . Разбиение T представляет собой объединение всех интервалов, покрывающих каждую точку разрыва. Для заданного произвольного числа выбираем
длину каждого такого интервала равной |
|
, |
где M и |
|
|||
2p M m |
|||
m – наибольшее и наименьшее значения функции f x |
на отрезке |
a,b . Тогда сумма длин интервалов в разбиении T (также как в дока-
зательстве предыдущей теоремы) равна |
|
|
|
. |
|
2 M m |
Разбиение T состоит из конечного числа непересекающихся отрезков, на каждом из которых непрерывная функция обладает свойством равномерной непрерывности.
На каждом отрезке равномерной непрерывности функции ее коле-
бания i Mi mi |
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворяют |
неравенствам |
i |
|
, |
|||
2 M m |
|||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
i 1,2, ,n . Далее разбиваем разности |
|
|
s i xi |
на две группы |
|||
|
S |
||||||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
p |
n |
|
|
|
|
|
|
слагаемых 1 i xi |
и 2 i xi , |
причем в первую группу входят |
|||||
i 1 |
i p 1 |
|
|
|
|
|
|
все слагаемые, отвечающие частям разбиенияT , образованным из интервалов, покрывающих точки разрыва функции f x , а во вторую – T .
И потом (как в теореме) оцениваем каждую группу слагаемых.
25

Пример инт егрируемой функции, имею щей бесконечное число точек разрыва первого рода
Пусть на отрезке |
0,1 задана функция |
|
y |
f x по следующему |
||||||||||||||
прав лу (см. рис. 1.6): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
при |
|
1 |
|
, |
|
|
1 |
|
|
,n |
1,2, , |
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
f x 1 при |
x |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
,n |
1,2, , |
|
|
|
||
|
2n 1 |
2n |
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция y f x |
имеет разрывы 1-го рода |
во всех точках |
xn |
1 |
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n 2,3, .. Фиксируем любое число 0. Покроем точку x 0 интерва-
|
|
|
|
, |
|
В этом интервале (справа от 0) находится бесконечное |
||
лом |
|
|
|
|
. |
|||
4 |
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
число точек разрыва данной функции.
Рис. 1.6. Изображение функции, имеющей бесконечное число точек разрыва первого рода
|
|
Вне этого интервала имеется лишь конечное число p точек разры- |
|||
ва функции. Заметим, |
что число точек разрыва p , лежащих вне интерва- |
||||
|
, |
|
|
, то есть p p . |
|
ла |
|
|
, зависит от |
||
|
4 |
||||
4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
Например (см рис. 1.6), при 5 следует, что p 4. |
26

Каждую точку разрыва рассматриваемой функции |
f x , лежащую |
||||||||
|
|
|
, |
|
покроем интервалом, длина которого меньше |
|
|||
вне интервала |
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
|
2p |
|||||||
|
|
|
4 |
|
|
. Сум ма длин всех интервалов, покрывающих все точки разрыва функ-
ции, будет меньше |
|
p |
|
. Тогда согласно последней теореме из |
|
2 |
2p |
||||
|
|
|
условия, что конечное число вех интервалов, покрывающих все точки разры ва функции, имеет суммарную длину меньше заданного числа , следует интегрируемость функции f x на отрезке 0,1 .
|
|
Интегрируемость монотонных ограниченных функций |
|
|
|
Теорема. Монотонная на отрезке a,b функция f x интегриру- |
|
ема на этом отрезке. |
|
||
|
|
Доказательство. Для определенности будем считать, что функция |
|
f |
x |
является неубывающей на отрезке a,b , |
то есть для любых точек |
xi |
и xi 1, прин адлежащих a,b , из условия xi 1 |
xi следует выполнение |
неравенства f xi 1 f xi |
(см. рис. 1.7). В частности, так как b a , |
то f b f a . |
|
Рис. 1.7. Монотонная на отрезке a,b функция f x
27

Будем считать, что функция f |
x не является постоянной на a,b , |
|||||||
поэтому исключим случай |
f b f a , то есть рассматриваем случай, |
|||||||
когда f b f a . |
|
|
|
|
|
|
||
Пусть задано произвольной число 0, разобьем отрезок a,b на |
||||||||
n равных отрезков, длины которых меньше |
|
|||||||
|
. Для этого раз- |
|||||||
f a f b |
||||||||
биения оценим разность верхней |
|
и нижней s сумм функции f x . |
||||||
S |
||||||||
|
|
n |
|
|
n |
|||
|
|
|||||||
Получим S s i xi |
|
|
|
i . |
||||
f a f |
|
|||||||
|
|
i 1 |
b i 1 |
Для неубывающей функции сумма колебаний i функции f x на
n
каждом частичном отрезке разбиения i f b f a . Отсюда сле-
i 1
дует, что S s . Это означает, что выполнено достаточное условие интегрируемости функции f x . Теорема доказана.
Далее, если особо не оговорено, предполагается, что все рассмат-
риваемые подынтегральные функции являются непрерывными на заданном отрезке.
1.5. Свойства определенного интеграла
Свойство 1 (определенный интеграл от суммы функций). Определенный интеграл от суммы конечного числа функций равен
сумме определенных интегралов от каждого слагаемого данной суммы функций:
b |
|
|
|
u1 x u2 |
x . um x dx |
||
a |
|
|
|
b |
b |
b |
|
u1 |
x dx u2 x dx um x dx . |
||
a |
a |
a |
|
Доказательство. Пусть функция y f x |
определяется как сумма |
||
конечного числа непрерывных функций u1 x , |
u2 x ,. ,um x , задан- |
||
ных на отрезке a,b , то есть |
f x u1 x u2 x . um x – непре- |
рывная функция, заданная на отрезке a,b .
28
Тогда по определению определенного интеграла имеем
I b |
f x dx lim |
n |
f |
c |
x |
lim |
n |
u |
c |
u |
2 |
c |
|
. u |
m |
c |
x , |
|
n |
|
|
i |
i |
n |
|
1 |
i |
|
i |
|
|
i |
i |
||
a |
0 |
i 1 |
|
|
|
0 |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
xi 1,xi , |
|
где |
ci – произвольно |
выбранная точка |
частичного |
отрезка |
а xi xi xi 1 – его длина.
По свойству предела функции получаем
|
|
n |
ci xi |
|
n |
ci xi |
|
n |
I |
lim |
u1 |
lim |
u2 |
lim |
um ci xi . |
||
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
0 i 1 |
|
0 i 1 |
|
0 i 1 |
n
Каждое слагаемое lim u j ci xi в правой части последнего
n i 10
равенства представляет собой определенный интеграл от соответствую-
щей функции u j x , где |
j 1,2, ,m . Получили |
||||
b |
|
|
b |
|
|
f x |
dx u1 |
x u2 x . um x dx |
|||
a |
|
|
a |
|
|
b |
|
|
|
b |
b |
u1 |
x dx u2 |
x dx um x dx , |
|||
a |
|
|
|
a |
a |
что и требовалось показать.
Свойство 2 (о вынесении постоянного множителя за знак определенного интеграла).
Постоянный множитель можно выносить за символ (знак) опреде-
b |
b |
ленного интеграла: K u x dx K u x dx . |
|
a |
a |
Доказательство. |
Пусть функция y f x определяется как |
fx K u x , где u x – непрерывная функция, определенная отрезке
a,b , а K – константа. Тогда f x – непрерывная функция, заданная на отрезке a,b . По определению определенного интеграла имеем
I b |
f x dx |
lim |
n |
f c |
x |
lim |
n |
K u c |
x . |
|
|
n |
|
i |
i |
n |
|
i |
i |
a |
|
0 i 1 |
|
|
0 i 1 |
|
|
29

Далее выносим константу K за знак интегральной с уммы, так как она не зависит от i – параметра суммирования, и выноси м константу K за знак предела (благо аря соответствующему свойству пр еделов), получаем по определению определенного интеграла, что
|
n |
|
|
n |
lim |
K u ci xi |
lim K u ci xi |
||
n |
|
n |
|
|
0 i 1 |
0 |
i 1 |
n
K lim u ci xi
n i 10
b |
|
K u |
dx . |
a |
|
|
Таким образом, |
после соединени |
началь ой и конечной записи |
|||||
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
имеем: K u x dx K u x dx , что и требовалось доказать. |
||||||||
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
Свойство 3 (о перестановке пределов интегрирования). |
|||||||
|
Если верхний и нижний пределы определенного и нтеграла поме- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
a |
нять местами, то интеграл изме |
ит только знак: f |
x dx f x x . |
||||||
|
Доказательство. При определении |
|
|
a |
|
b |
||
|
определенного интеграла через |
|||||||
пред л интегральных |
умм b f |
x dx lim |
n |
f c |
x |
предполагалось |
||
|
|
|
n |
|
|
i |
i |
|
|
|
a |
0 i 1 |
|
|
|
||
(неявно), что нижний |
редел и |
теграла меньше верхнего, или, как гово- |
||||||
рят: |
«интервал интегрирования направлен вправо». В случае, если a b , |
|||||||
то говорят: «интервал |
нтегрир ования направлен влево». |
|||||||
|
При составлении интеграл ьной сум мы для функции y f x отре- |
|||||||
зок |
a,b разбивается |
(см. рис. 1.8) |
на |
частичные |
отрезки точками |
a x0,x1,x2. ,xn 1,xn b .
Рис. 1.8. Разбиение отрезка |
a,b на частичные отрезки a b |
При разбиении интервала |
интегрирования a,b на частичн ые от- |
резки имеем a x0 x1 x2 . xn 1 xn b , поэтому все разности |
xi xi 1 0. При построении интегральн |
ой суммы разность xi xi 1 уже |
не является длиной частичного отрезка, а |
отличается от нее знаком. |
30