1 семестр / Определённые интегралы. Кленина

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

4.1

1

ln3

5.1

2 e e /2

6.1

4 2

2

4.2

1

ln

3

1

5.2

3

6.2

4sh

2

2

2

4.3

2

2

5.3

3

6.3

12

2

2

3

24

4.4

1

ln3

5.4

12

6.4

10

2

3

2

4.5

1

ln

6

1

5.5

14 2

2

6.5

13 e4 /5 1

2

5

4.6

4

2

5.6

27

6.6

2

3

4

4.7

1

ln3

5.7

20

6.7

20

ln3

2

9

Вариант 1 – К

Задача 1.1 – К Вычислить интеграл

2

2

x x

1

dx

x2

1

3

Задача 1.2 – К Вычислить интеграл

6 x

2

9

dx

x4

3

Задача 1.3 – К Вычислить интеграл

x2

3x 2 sinxdx

0

Задача 1.5 – К

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями,

заданными

уравнениями

в

полярной

системе координат

ρ 2,5sinφ,

ρ 1,5sinφ и лучами φ=0,

φ

Задача 1.6 – К

Вычислить

длину

дуги

кривой,

заданной

параметрическими

уравнениями

x 8

cost t sint

,

при условии 0 t / 4

y

8 sint t cost ,

Вариант 2 – К

Задача 2.1 – К

Вычислить интеграл

3 arctgx x

dx

x2 1

0

Задача 2.2 – К

Вычислить интеграл

3

9 x2dx

x2

3

Задача 2.3 – К

Вычислить интеграл

2

2x2 15 cos3xdx

0

Задача 2.4 – К

Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой

линией y 0 и графиком непрерывной функций

y cosx sin2 x , где

0 x / 2

Задача 2.5 – К

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

в полярной системе координат

ρ 1,5cosφ,

ρ 2,5cosφ,

если

φ

,

2

2

Задача 2.6 – К

Вычислить

длину

дуги

кривой,

заданной

параметрическими

уравнениями x et cost sint ,

при условии

0 t 2 .

y et cost sint ,

Вариант 3 – К

/4

2cosx 3sinx

dx

Задача 3.1 – К

Вычислить интеграл

2sinx 3cosx 3

0

2

1

dx

Задача 3.2 – К

Вычислить интеграл

16 x2

3/2

0

0

2

Задача 3.3 – К

Вычислить интеграл

x

2x 1 sin3xdx

1

Вычислить

площадь

фигуры, ограниченной

прямыми

линиями

Задача 3.4 – К

y 0,

x

3

и

графиком непрерывной

на отрезке

0,

3

функции y

x arctgx

ρ sinφ,

Задача 3.5 – К

в полярной

системе

координат

ρ

2cos φ

4

и лучами φ=0,

φ

3

4

Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрическими

Задача 3.6 – К

x 4cos3 t,

при условии

/ 6 t

/ 4

уравнениями

y 4sin3 t,

Вариант 4 – К

2 1

1

ln x 1

Задача 4.1 – К

Вычислить интеграл

e

dx

e 1

x 1

Задача 4.2 – К

Вычислить интеграл

2

4 x2dx

0

Задача 4.3 – К

Вычислить интеграл

8x2 16x 17

cos4xdx

0

Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми линиями

y 0, x 1

и графиком непрерывной на отрезке

0,1

функции

Задача 4.4 – К

y

x

x2 1

2

Вычислитьплощадьфигуры,ограниченнойлиниямив

полярной

системе

координат

ρ

2cos

φ

,

Задача 4.5 – К

4

и лучами φ=

φ

3

ρ

2sin

φ

,

4

4

4

Вычислить

длину

дуги

кривой,

заданной

параметрическими

t

2

2

sint 2t cost,

Задача 4.6 – К

уравнениями

x

при условии 0 t 3

cost 2t sint,

y 2 t2

Окончание табл. П7

Вариант 5 – К

Задача 5.1 – К Вычислить интеграл

1

x

dx

0 x4

1

2

x4

dx

Задача 5.2 – К Вычислить интеграл

4 x2 3/2

0

/2

Задача 5.3 – К

Вычислить интеграл

1 5x2

sinxdx

0

Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми

линиями

x

,

x

,

y 0

и графиком

непрерывной на

отрезке

Задача 5.4 – К

2

2

1

2

,

2

функции y

1 cosx

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями,

Задача 5.5 – К

заданными параметрическими уравнениями

x 16cos3 t,

и прямой

x=2, x 2

y 2sin3 t,

Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярной системе

Задача 5.6 – К

координат уравнением ρ=3e3φ/4 при условии

φ

2

2

Вариант 6 – К

Задача 6.1 – К

Вычислить интеграл

1/2

8x arctg2x

dx

4x2 1

0

Задача 6.2 – К

Вычислить интеграл

4

x2 4

dx

x4

2

Вычислить интеграл

cos2xdx

Задача 6.3 – К

2x2 4x 7

0

Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой

линией y

0 и графиком непрерывной на отрезке

0,6

функции

Задача 6.4 – К

y x

36 x2 , где 0 x 6

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями,

Задача 6.5 – К

заданными

параметрическими уравнениями

x 4 t sint ,

cost ,

0<x<8 , y 4

y 4 1

и прямой

y=4,

Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярной

Задача 6.6 – К

системе координат уравнением ρ=5e5φ/12

при условии

φ

2

2

Вопросы по теории

Варианты ответа

A

Первообразную

Определенным

B

Площадь криволинейной

1.1 – Т

трапеции

интегралом называют

C

Предел последовательности

интегральных сумм

A

Имела конечное число

Для интегрируемости

точек разрыва

Была непрерывной

1.2 – Т

функции на отрезке

B

на этом отрезке

достаточно, чтобы она

C

Была ограниченной

на этом отрезке

Интегрируемость

A

Да

1.3 – Т

разрывных функций

B

Нет

на отрезке возможна?

C

Не знаю

Интегрируемость функций,

A

Да

имеющих бесконечное

1.4 – Т

B

Нет

число разрывов 1 рода

C

Не знаю

на отрезке, возможна?

Монотонная функция

A

Да

1.5 – Т

B

Нет

на отрезке не интегрируема?

C

Не знаю

Если функция интегрируема

A

Содержит отрезок a,b

на отрезке a,b , то она

1.6 – Т

B

Содержится в отрезке a,b

интегрируема на любом отрезке

Пересекается с отрезком a,b

c,d , который

C

Продолжение табл. П8

Вопросы по теории

Варианты ответа

Если функция f x

A

g x – интегрируема на a,b

интегрируема на отрезке a,b ,

1.7 – Т

а функция g x отличается

B

g x – не интегрируема на a,b

от функции f x лишь в конеч-

ном числе точек на отрезке a,b ,

C

g x требует дополнительные

то функция

условия

A

b

Если функция f x

f x dx 0

a

1.8 – Т

интегрируема на отрезке a,b

B

b

f x dx 0

и f x 0 для всех x a,b ,

a

b

тогда выполняется неравенство

C

f x dx 0

a

Еслифункция f x

A

Может быть интегрируемой

или не интегрируемой

интегрируеманаотрезке a,b ,то

1.9 – Т

B

Не интегрируема

длявсех x a,b функция

f x

C

Интегрируема

A

b

f x dx K 0

Если функция f x

a

1.10 – Т

непрерывна, неотрицательна

B

b

f x dx 0

и не равна тождественно нулю

a

на отрезке a,b , то

b

C

f x dx 0

a

Если функция f x

b

A

f x dx 0

интегрируема на отрезке a,b

a

b

1.11 – Т

и f x 0 для всех x a,b ,

B

f x dx 0

a

тогда выполняется

C

b

f x dx K 0

неравенство

a

Если функция f x

b

A

f x dx b a

интегрируема на отрезке a,b ,

a

M и m – соответственно

B

b

x dx b a

1.12 – Т

f

наибольшее и наименьшее

a

значения функции на a,b .

b

x dx b a