1 семестр / Мои шпоры

Предел суммы, произведения и частного

Переход к пределу в неравенствах, предел промежуточной функции

Теорема (о переходе к пределу в неравенствах): Пусть существуют конечные пределы в

Доказательство. f x A x , g x B x , тогда: A x B x , A B x

Доказательство: основано на свойствах предела. Т.к. функция непрерывна, то

A f x0 .

Теорема об асимптотическом разложении непрерывной функции

Теорема (асимптотическое разложение непрерывной функции): Если функция f x

непрерывна в т. x0 , то в некоторой окрестности этой т., функция f x представима в

виде: f x f x0 O x x0 .

Доказательство. Рассмотрим lim f x A . По теореме об асимптотическом

x x0

разложении функции имеющей предел: f x A O x x0 . Т.к. функция

непрерывна, то lim f x f x0 , т.е. A f x0 .

x x0

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Свойства (для интервалов a;b , a;b и a;b ):

1) Если функция y f x непрерывна в точке x0 , то в некоторой окрестности этой

Замечание: элементарные функции непрерывны в точках, где определены.

Точки разрыва функции, их классификация

Существуют конечные односторонние пределы, но они не совпадают, т.е. не существует предела.

Точка x0 , называется точкой разрыва второго рода если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Замечательные пределы

Эквивалентные бесконечно малые функции

Функции x и x называются эквивалентными б/м при x x0 , если

Теорема: Для того, чтобы x ~ x , необходимо и достаточно, чтобыx x была б/м более высокого порядка чем x и x .

Таблица эквивалентных бесконечно малых

sin x ~ x , tgx ~ x , 1 cos x ~ x2 , arcsin x ~ x , arctgx ~ x , ex 1 ~ x ,

2

ln 1 x ~ x , ax 1 ~ x ln a , 1 x ~ ax .

Теорема о замене бесконечно малых эквивалентными при вычислении пределов

Теорема (о замене б/м на эквивалентные в отношениях): Пусть x ~ 1 x ,

Производная, её геометрический и механический смысл

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции y=f(x) в точке хо равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой Хо: f'(x0) = k = tga

Уравнение касательной и нормали к графику функции

Дифференцируемость функции, дифференциал

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если её приращение в этой точке может быть представлено в виде

дельта f(x0)= f(x0 + дельта x) - f(x0) = A*дельта x+ о(дельта x), где А - некоторое число; о(дельта х) - бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем дельта х при х -> 0.

Дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x (аргумента).

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции двух переменных равен приращению аргумента аппликаты касательной плоскости.

Приближенные вычисления с помощью дифференциала

Непрерывность дифференцируемой функции

Теорема. Если функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке x0, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом, из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.

Доказательство. Если , то

где α бесконечно малая величина, т.е. величина, стремящаяся к нулю при x→0. Но

тогда y=f '(x0) x+αΔx=> y→0 при x→0, т.е f(x) – f(x0)→0 при x→x0, а это и означает, что функция f(x) непрерывна в точке x0. Что и требовалось доказать.

Производная суммы, произведения и частного

Производная сложной функции

Параметрическое задание функции

Пара уравнений x = x(t) и y= y(t) где t- вспомогательная переменная, задаёт некоторую линию. Этот способ задания линии называется параметрическим, а переменная t- параметром. Исключая t получаем обычное уравнение той же линии: y= y (g(x))

Производные первого и второго порядка функций, заданных параметрически

I. Производной 2-го порядка от функции y f x называется производная от ее первой производной: y y . Вообще, производной n-го порядка называется производная от производной порядка n-1: yn yn 1 .

II. Пусть функция y f x дифференцируема, тогда приращение функции

y f x dx dx dx , следовательно dy f x dx - дифференциал I-го порядка.

Рассмотрим 1-й случай, когда x – независимая переменная. Тогда dx - число. Предполагая, что функция y f x дифференцируема дважды в т. x, найдем дифференциал от дифференциала I-го порядка при dx1 dx :

Дифференциалы 2-го (и более высокого порядка) не обладают инвариантностью формы (т.е. меняют вид в зависимости от x).

Касательная к кривой, заданной параметрически

Производные и дифференциалы высших порядков

I. Производной 2-го порядка от функции y f x называется производная от ее первой производной: y y . Вообще, производной n-го порядка называется

производная от производной порядка n-1: yn yn 1 .

II. Пусть функция y f x дифференцируема, тогда приращение функции

y f x dx dx dx , следовательно dy f x dx - дифференциал I-го порядка.

Рассмотрим 1-й случай, когда x – независимая переменная. Тогда dx - число. Предполагая, что функция y f x дифференцируема дважды в т. x, найдем

(и более высокого порядка) не обладают инвариантностью формы (т.е. меняют вид в зависимости от x).