Предел суммы, произведения и частного
Переход к пределу в неравенствах, предел промежуточной функции
Теорема
(о переходе к пределу в неравенствах):
Пусть существуют конечные пределы в
некоторой окрестности т.
,
.
Тогда: если
,
то
.
Доказательство.
,
,
тогда:
,
Теорема
(о пределе промежуточной функции):
Если
в некоторой окрестности т.
и
,
то
.
Доказательство.
Пусть
,
тогда по теореме о переходе к пределу
в неравенствах:
,
,
,
,
Следовательно,
и
.
Непрерывность функции в точке
Функция
называется непрерывной
в т.
,
если
.
Замечание: элементарные функции непрерывны в точках, где определены.
Теорема
(о переходе к пределу, под знаком
непрерывности):
Если функция
непрерывна в т.
,
то
.
Доказательство.
Т.к.
и функция непрерывна, т.е.
.
Следовательно
.
Непрерывность основных элементарных функций
Теорема
(о непрерывности сложной функции):
Пусть
непрерывна в т.
,
а функция
непрерывна в т.
.
Тогда сложная функция
непрерывна в точке
Доказательство.
Теорема:
Пусть
и
непрерывны в т.
,
тогда
,
,
(
)
тоже непрерывны в этой точке.
Доказательство:
основано на свойствах предела. Т.к.
функция непрерывна, то
.
Теорема об асимптотическом разложении непрерывной функции
Теорема
(асимптотическое разложение непрерывной
функции):
Если функция
непрерывна в т.
,
то в некоторой окрестности этой т.,
функция
представима в виде:
.
Доказательство.
Рассмотрим
.
По теореме об асимптотическом разложении
функции имеющей предел:
.
Т.к. функция непрерывна, то
,
т.е.
.
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Свойства
(для интервалов
,
и
):
1)
Если функция
непрерывна в точке
,
то в некоторой окрестности этой точки
знак
совпадает со знаком
.
2)
Если функция
непрерывна на интервале
и
,
то существует хотя бы одна точка
,
т.ч.
.
3)
Если функция
непрерывна на интервале
,
то она достигает на этом интервале
наибольшее и наименьшее значения, т.е.
,
т.ч.
и
.
4) Если функция непрерывна на интервале , то она ограничена.
Теоремы о переходе к пределу под знаком непрерывной функции, о непрерывности сложной функции.
Теорема (о переходе к пределу, под знаком непрерывности): Если функция непрерывна в т. , то .
Доказательство. Т.к. и функция непрерывна, т.е. . Следовательно .
Теорема (о непрерывности сложной функции): Пусть непрерывна в т. , а функция непрерывна в т. . Тогда сложная функция непрерывна в точке
Доказательство.
Односторонние пределы
:
Число
называется односторонним пределом
слева, если
,
,
т.ч.
,
:
:
Число
называется односторонним пределом
справа, если
,
,
т.ч.
,
:
Теорема:
Для того, чтобы
имела в т.
предел, необходимо и достаточно чтобы
существовали односторонние пределы:
.
Функция называется непрерывной в т. , если .
Замечание: элементарные функции непрерывны в точках, где определены.
Точки разрыва функции, их классификация
Точка
,
называется точкой разрыва первого рода
если: 1)
2) Существуют конечные односторонние
пределы, но они не совпадают, т.е. не
существует предела.
Точка , называется точкой разрыва второго рода если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
Замечательные пределы
Эквивалентные бесконечно малые функции
Функция
называется бесконечно малой, если
,
т.е.
,
,
т.ч.
,
:
.
Функции
и
называются эквивалентными б/м при
,
если
и обозначаются
.
Теорема:
Для того, чтобы
,
необходимо и достаточно, чтобы
была б/м более высокого порядка чем
и
.
Таблица эквивалентных бесконечно малых
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Теорема о замене бесконечно малых эквивалентными при вычислении пределов
Теорема
(о замене б/м на эквивалентные в
отношениях):
Пусть
,
эквивалентные б/м при
.
Тогда
.
Доказательство.
Рассмотрим
.
Тогда,
.
Производная, её геометрический и механический смысл
Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции y=f(x) в точке хо равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой Хо: f'(x0) = k = tga
Уравнение касательной и нормали к графику функции
Дифференцируемость функции, дифференциал
Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если её приращение в этой точке может быть представлено в виде
дельта f(x0)= f(x0 + дельта x) - f(x0) = A*дельта x+ о(дельта x), где А - некоторое число; о(дельта х) - бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем дельта х при х -> 0.
Дифференциал
функции y
= f(x)
равен произведению её производной на
приращение независимой переменной x (аргумента).
Необходимое и достаточное условие дифференцируемости
Геометрический смысл дифференциала
Дифференциал функции двух переменных равен приращению аргумента аппликаты касательной плоскости.
Приближенные вычисления с помощью дифференциала
Непрерывность дифференцируемой функции
Теорема. Если функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке x0, то она в этой точке непрерывна.
Таким образом, из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.
Доказательство.
Если 
,
то
где α бесконечно малая величина, т.е. величина, стремящаяся к нулю при Δx→0. Но тогда Δy=f '(x0) Δx+αΔx=> Δy→0 при Δx→0, т.е f(x) – f(x0)→0 при x→x0, а это и означает, что функция f(x) непрерывна в точке x0. Что и требовалось доказать.
Производная суммы, произведения и частного
Производная сложной функции
Производная обратной функции
I.
Если
(D
– область определения) поставлен в
соответствие
,
говорят, задана функция
.
Если это взаимно однозначно, то можно
рассмотреть функцию
,
которая
ставит в соответствие x.
Теорема:
Пусть
и
взаимно обратные функции, тогда
или
.
Доказательство. Пусть обе функции
дифференцируемы в некоторой точке.
Тогда,
, т.к. обе функции дифференцируемы
непрерывны, т.е.
при
.
Тогда,
Производные обратных тригонометрических функций
а)
,
,
тогда
,
б)
,
,
,
в)
,
,
,
г)
,
,
.
Параметрическое задание функции
Пара уравнений x = x(t) и y= y(t) где t- вспомогательная переменная, задаёт некоторую линию. Этот способ задания линии называется параметрическим, а переменная t-параметром. Исключая t получаем обычное уравнение той же линии: y= y (g(x))
Производные первого и второго порядка функций, заданных параметрически
I.
Производной 2-го порядка от функции
называется производная от ее первой
производной:
.
Вообще, производной n-го
порядка называется производная от
производной порядка n-1:
.
II.
Пусть функция
дифференцируема, тогда приращение
функции
,
следовательно
- дифференциал I-го
порядка.
Рассмотрим
1-й
случай, когда x
– независимая переменная. Тогда
- число. Предполагая, что функция
дифференцируема дважды в т. x,
найдем дифференциал от дифференциала
I-го
порядка при
:
,
- полученное выражение при
называется дифференциалом II-го
порядка. Аналогично:
,
.
Рассмотрим
2-й
случай, когда
,
а
- соответственно сложная функция. Тогда
- дифференциал I-го
порядка, а
- функция,
.
Тогда:
,
,
,
.
Дифференциалы 2-го (и более высокого
порядка) не обладают инвариантностью
формы (т.е. меняют вид в зависимости от
x).
Касательная к кривой, заданной параметрически
Производные и дифференциалы высших порядков
I.
Производной 2-го порядка от функции
называется производная от ее первой
производной:
.
Вообще, производной n-го
порядка называется производная от
производной порядка n-1:
.
II.
Пусть функция
дифференцируема, тогда приращение
функции
,
следовательно
- дифференциал I-го
порядка.
Рассмотрим
1-й
случай, когда x
– независимая переменная. Тогда
- число. Предполагая, что функция
дифференцируема дважды в т. x,
найдем дифференциал от дифференциала
I-го
порядка при
:
,
- полученное выражение при
называется дифференциалом II-го
порядка. Аналогично:
,
.
Рассмотрим
2-й
случай, когда
,
а
- соответственно сложная функция. Тогда
- дифференциал I-го
порядка, а
- функция,
.
Тогда:
,
,
,
.
Дифференциалы 2-го (и более высокого
порядка) не обладают инвариантностью
формы (т.е. меняют вид в зависимости от
x).
Формула Лейбница
Формула
Лейбница для n-ой производной произведения
двух функций — обобщение правила
дифференцирования произведения (и
отношения) двух функций на случай
n-кратного дифференцирования. Пусть
f(z) и g(z) - n раз дифференцируемые функции,
тогда
Основные теоремы дифференциального исчисления (Ролля, Лагранжа, Коши) и их геометрический смысл
Теорема
Ролля:
Пусть функция
непрерывна на отрезке
,
дифференцируема хотя бы на отрезке
и значение функции на концах отрезка
совпадает, т.е.
,
тогда существует хотя бы одна точка
,
т.ч.
.
Доказательство.
1) Пусть наибольшее и наименьшее значения
функции
на отрезке
совпадают, т.е.
и функция
постоянна тогда
производная
.
2) Пусть функция непостоянна, тогда она
достигает на интервале
наибольшего и наименьшего значения.
Причем функция не может достигать
и
на концах отрезка, т.к.
и функция была бы постоянна. Значит,
внутри интервала
есть точка экстремума
,
Геометрический
смысл.
Если все условия теоремы выполнены, то
на графике функции
существует точка
,
через которую проходит касательная к
графику функции, параллельно оси x.
Теорема
Лагранжа:
Пусть функция
непрерывна на отрезке
,
дифференцируема хотя бы на отрезке
,
тогда существует точка
,
т.ч.
.
Доказательство.
Рассмотрим вспомогательную функцию
непрерывную на отрезке
,
дифференцируемую хотя бы на отрезке
:
.
Тогда
,
а
,
т.е. выполнены все условия теоремы Ролля
и существует
,
т.ч.
.
Следовательно,
,
.
Из
теоремы Лагранжа следует формула
конечных приращений:
.
Геометрический
смысл.
-
угла наклона секущей (хорды), стягивающей
точки
и
графика
.
-
угла наклона касательной к графику
функции
,
через точку касания
.
Если все условия теоремы Лагранжа
выполнены, то касательная проходящая
через точку
,
параллельна секущей (хорде), точки
и
графика
.
Теорема
Коши:
Пусть функция
и
непрерывны
на отрезке
,
дифференцируемы хотя бы на отрезке
,
,
тогда существует точка
,
т.ч.
.
Доказательство.
Рассмотрим вспомогательную функцию
непрерывную на отрезке
,
дифференцируемую хотя бы на отрезке
:
.
Тогда
,
,
т.е. выполнены все условия теоремы Ролля
и существует
,
т.ч.
.
Следовательно,
,
.
Правило Лопиталя для вычисления пределов
Теорема:
Пусть
и
б/м (
)
определенные и дифференцируемые в
окрестности т.
,
за исключением может быть самой т.
, причем
и
,
существует
.
Тогда
.
Доказательство.
Пусть
- конечное число. Доопределим функции
и
,
предполагая, что
.
Тогда эти функции непрерывны в точке
.
Рассмотрим интервал
,
где
.
Тогда
и
непрерывны на отрезке
и дифференцируемы на интервале
.
Тогда по теореме Коши
,
т.ч.
,
или
.
Т.к.
,
то и
.
Следовательно получим:
.
Теорема:
Пусть
и
б/б (
)
определенные и дифференцируемые в
окрестности т.
,
причем
и
,
существует
.
Тогда
.
Т.е.
правило Лопиталя годится не только для
неопред. вида
,
но и для
.
Условие возрастания и убывания дифференцируемой функции на интервале
Функция
на интервале
,
при
,
где
,
называется возрастающей,
если
и убывающей,
если
.
Пусть
функция
дифференцируема на интервале
при всех
тогда: если
,
то функция возрастает
на
,
а если
,
то функция убывает
на
этом интервале.
Если
существует окрестность точки
,
такая что для всех точек
,
принадлежащих этой окрестности,
выполняется неравенство
(или
),
то
- называется точкой
минимума
(максимума) этой функции, а
- локальным
минимумом
(максимумом) этой функции.
Точки максимума и минимума функции называются точками локального экстремума.
Теорема
(необходимое условие экстремума):
Если
имеет в точке экстремума
производную
,
то
.
Замечание. В точке экстремума:
1)
может не существовать производной.
Пример:
,
-минимум, а
не существует.
2)
.
Пример:
,
-минимум, но
Вывод: если в т. экстремум, то , , не существует.
Теорема (достаточное условие экстремума): Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , может быть за исключением самой точки . Тогда, если при переходе через точку , меняет знак с "+" на "–", то в точке - максимум, а если с "–" на "+" – минимум. Если же не меняет свой знак при переходе через точку , то она не является точкой экстремума.
Экстремумы функции
Определение 1. Точка х0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x) <=f(x0)
Определение 2. Точка х1 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х1 выполняется неравенство f(x) >=f(x1)
Необходимые условия экстремума
Теорема (необходимое условие экстремума): Если имеет в точке экстремума производную , то .
Замечание. В точке экстремума:
1)
может не существовать производной.
Пример:
,
-минимум, а
не существует.
2)
.
Пример:
,
-минимум, но