новая папка 1 / 303938
.pdf
|
3x 4 y 2z 8 |
|
|
|
|
№ 15. |
2x y |
3z 1 |
|
|
z 0 |
|
x 5 y |
|
|
2x1 x2 4x3 20 |
|
|
|
|
№ 17. |
2x1 x2 2x3 3 |
|
|
3x1 4x2 5x3 8 |
|
|
|
|
|
x1 5x2 x3 7 |
|
|
|
|
№ 19. |
2x1 x2 x3 4 |
|
|
3x1 2x2 4x3 11 |
|
|
|
|
|
2x1 x2 3x3 7 |
|||
|
|
|
|
|
№ 16. |
x1 3x2 2x3 0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 x3 2 |
|
||
|
|
x1 x2 4 |
|
|
|
|
|
3x2 x3 |
1 |
№ 18. |
|
2x1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
x2 3x3 |
11 |
|
|
|
2x1 |
||
|
|
11x 3y z 2 |
||
|
|
|
5 y 5z |
0 |
№ 20. |
2x |
|||
x y z 2
Образец выполнения задания
Задание. Решить систему тремя способами: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы; в) методом Гаусса.
2x1 x2 x3 1x1 3x3 7
x1 x2 3x3 6
Решение. а) С |
помощью |
формул Крамера: x j |
|
j |
, |
где |
– основной |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
____ |
|
|
|
|
|
определитель |
системы; |
j |
( j 1, n) - определитель, |
получаемый из |
||||
определителя системы заменой j-го столбца свободными членами. В нашем примере:
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 0 |
|
3 |
|
0 3 1 0 3 6 13 , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
7 0 |
|
3 |
|
|
0 7 18 0 3 21 13 , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
1 7 |
|
3 |
42 3 6 7 3 36 13 , |
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
6 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
3 |
1 0 |
|
7 |
0 1 7 0 14 6 26 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда x |
1 |
|
13 |
|
|
1 , x |
|
2 |
13 1, x |
|
3 |
26 2 . |
|||||
|
|
|
2 |
3 |
|||||||||||||
1 |
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
13 |
|
13 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: x1 1, |
x2 1, |
x3 |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) Решение средствами матричного исчисления: AX B X A 1 B , где A 1 - матрица обратная матрице А:
2 |
1 1 |
|
|
1 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
, = ( 2). |
A |
1 |
0 |
3 |
, |
B |
7 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
6 |
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|||
Для нахождения обратной матрицы, определяем алгебраические дополнения:
= (−1)2 |
|0 3| = 0 − 3 = −3 |
|
|
|
= (−1)3 |−1 1| = −(−3 − 1) = 4 |
|||||||||||||||||||||||||||
11 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= (−1)3 |
|−1 3| = −(−3 − 3) = 6 |
|
|
= (−1)4 |2 1| = 6 − 1 = 5 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
12 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= (−1)4 |
|−1 |
|
0| = −1 − 0 = −1 |
|
|
|
|
= (−1)5 |2 |
|
−1| = −(2 − (−1)) = |
||||||||||||||||||||||
13 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−1)4 |
|−1 1| = −3 − 0 = −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
31 |
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= (−1)5 |
| 2 |
1| = −(6 − (−1)) = −7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
32 |
|
|
|
|
|
−1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= (−1)6 |
|2 −1| = 0 − (−1) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
33 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
Тогда обратная матрица имеет вид: A 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
5 |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Матрицу неизвестных находим, умножая матрицу A 1 |
на матрицу В: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 4 |
3 |
1 |
|
|
|
3 28 18 |
|
|
|
|
|
|
13 |
|
1 |
||||||||||||
X A 1 B |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
6 |
5 |
7 |
|
7 |
|
|
|
|
6 35 42 |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
1 |
. |
||||||||
13 |
13 |
13 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
3 |
1 |
|
6 |
|
|
1 21 6 |
|
|
|
26 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ответ: (-1; 1; 2).
в) Решение методом Гаусса.
1 этап – прямой ход: составляем расширенную матрицу системы и используя элементарные преобразования матриц, приводим к треугольному виду:
|
2 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
Меняем местами первую и третью строку. Ко второй |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
строке прибавляем первую строку. К третьей строке |
|
|
|
|
|
|||
1 |
0 |
3 |
7 |
~ |
~ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
3 |
6 |
|
|
прибавляем первую строку, умноженнуюн а |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
3 |
|
6 |
|||
|
6 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
~ Вторую строку умножаем на 3 и прибавляем |
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
1 |
6 |
|
13 |
|
|
~ |
0 |
1 |
6 |
|
13 |
. |
|||
|
0 |
3 |
5 |
13 |
|
|
к третьей строке |
|
|
|
0 13 |
|
26 |
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 этап – обратный ход: полученную матрицу преобразуем обратно в систему:
1 + 2 + 3 3 = 6 { 2 + 6 3 = 13 13 3 = 26
Откуда находим значения неизвестных, решая систему с последнего уравнения и поднимаясь до первого:
x3 1326 2 , x2 13 6х3 13 12 1, x1 6 3x3 x2 6 6 1 1 .
Ответ. x1 1, x2 1, x3 2 .
Литература
1.Воробьева, Г.Н., Данилова, А.Н. Практикум по вычислительной математике: Учеб. пособие для техникумов /Г.Н. Воробьева, А.Н. Данилова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. школа, 1990. – 208 с.: ил.
2.Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс /Д. – 3-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2005. – 608 с.: ил. – (Высшее образование).
3.Щипачев, В.С. Задачник по высшей математике: Учеб. пособие для вузов /В.С. Шипачев. – 8-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2008. – 304 с.: ил.