новая папка 1 / 303936
.pdfCopyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
a b x1x2 y1 y2 z1z2 .
Тогда скалярное произведение векторов и равно:
∙ = 12∙ (−7) + 8 ∙ (−3) + (−20) ∙ 7 = −84 − 24 − 140 = 248.
Применяя, формулу для косинуса угла между двумя векторами находим:
|
248 |
|
|
|
62 |
|
|
|||
cos = cos( ; ) = |
|
|
|
|
|
= |
√ |
|
|
. |
4√38∙ √107 |
4066 |
Ответ: cos = cos( ; ) = √406662 .
в) Направляющие косинусы вектора равны координатам вектора, деленным на его модуль:
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
x |
, |
cos |
|
y |
, |
|
cos |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
a |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Применяя, эти формулы имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
cos = |
12 |
|
= |
3 |
|
, |
cos = |
8 |
|
= |
2 |
|
, cos = |
−20 |
= − |
|
5 |
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
4√38 |
|
√38 |
|
|
|
|
|
|
4√38 |
|
|
√38 |
|
|
|
|
|
4√38 |
|
√38 |
cos = √383 , cos = √382 , cos = − √385 .
г) Проекция вектора на вектор определяется по формуле:
∙= | |
Ответ: = √107248 .
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 2.3. Векторное произведение векторов
План: 1. Определение и свойства векторного произведения
2.Некоторые приложения векторного произведения
1.Определение и свойства векторного произведения
Определение: Векторным произведением двух векторов и
называется вектор c a b , удовлетворяющий условиям:
1) модуль вектора c равен площади параллелограмма, построенного на векторах и : c S a b sin , где - угол между векторами и ;
2)вектор c перпендикулярен векторам и ;
3)векторы a, b, c образуют правую тройку.
Свойства векторного произведения:
1. b a a b , т.е. векторное произведение не обладает переместительным свойством;
2. a b 0, если а 0 или b 0 или a // b (коллинеарность ненулевых векторов);
3. a b a b a b (сочетательное свойство относительно скалярного множителя);
4. a b c a b a c (распределительное свойство).
Векторное произведение координатных ортов: i i j j k k 0,
i j k, |
j i k, |
|
j k i, |
k j i, |
|
|
k i j, |
|
i k j . |
|||||||||||||
Векторное произведение векторов, заданных своими координатами |
||||||||||||||||||||||
a x1i y1 j z1 k, |
b x2 i y2 j z2 k : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a b |
|
i |
j |
k |
|
|
|
y1 |
z1 |
|
i |
|
z1 |
x1 |
|
j |
|
x1 |
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
y |
z |
|
|
|
|
|
|
k |
. |
|||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
y2 |
z2 |
|
|
|
z2 |
x2 |
|
|
|
x2 |
y2 |
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Некоторые приложения векторного произведения
Установление коллинеарности векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× = 0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
= |
= |
|||||||||
× = | |
| = 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Нахождение площади параллелограмма и треугольника |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= | × |, |
|
|
| × | |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
Тема 2.4. Смешанное произведение векторов
План: 1. Определение и свойства смешанного произведения
2.Некоторые приложения смешанного произведения
1.Определение и свойства смешанного произведения
Определение: Смешанным произведением трех векторов a, b, c
называется число, равное скалярному произведению вектора a на векторное
произведение b c , т.е. a b c .
Геометрический смысл: Смешанное произведение трех векторов по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах:
V abc .
Свойства смешанного произведения:
1. a b c 0 хотя бы один из векторов нулевой, или два вектора
коллинеарны, или три ненулевых вектора параллельны одной плоскости (компланарность векторов);
2. |
a b c a b c abc (перестановка местами |
знаков скалярного и |
||||
векторного произведения); |
|
|
|
|
||
3. |
abc bca cab |
(перестановка |
в |
круговом |
порядке |
смешанного |
произведения); |
|
|
|
|
|
|
4. |
bac abc, |
cba abc, |
acb abc (перестановка |
местами |
||
любых двух векторов-сомножителей). |
|
|
|
|
||
|
Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами |
|||||
a x1i y1 j z1k, b x2 i y2 j z2 k, c x3i y3 j z3 k : |
|
|||||
|
|
x1 |
y1 |
z1 |
|
|
|
|
abc x2 |
y2 |
z2 . |
|
|
x3 y3 z3
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. Некоторые приложения смешанного произведения:
Определение взаимной ориентации векторов в пространстве
|
|
|
|
> 0 |
, , - правая тройка; |
||
|
|
|
|
< 0 |
, , - левая тройка. |
||
Установление компланарности векторов |
|||
a b c 0 |
|
|
|
ненулевые векторы , , компланарны. |
Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды
V1 abc , V2 16V1 16 abc
15
Задания для индивидуальной самостоятельной работы
Задача 2.
Задание. Вершины пирамиды находятся в точках A, B, C, D. Найти: а) длину ребра АВ; б) площадь грани АВС; в) объем пирамиды;
г) длину высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.
№ 1. |
А (-1; 2; 1), |
В (-2;2; 5), |
С (-3; 3; 1), |
D (-1; 4; 3). |
№ 2. |
А (-2; 1; -1), |
В (-3; 1; 3), |
С (-4; 2; -1), |
D (-2; 3; 1). |
№ 3. А (1; 1; 2), |
В (0; 1; 6), |
С (-1; 2; 2), |
D (1; 3; 4). |
|
№ 4. |
А (-1;-2; 1), |
В (-2;-2; 5), |
С (-3;-1; 1), |
D (-1;0; 1). |
№ 5. |
А (2;-1; 1), |
В (1; -1; 5), |
С ( 0; 0; 1 ), |
D (2;1;3). |
№ 6. |
А (-1;1;-2), |
В (-2;1; 2), |
С (-3;2;-2), |
D (-1;3;0). |
№ 7. |
А (1; 2;1), |
В (0; 2; 5), |
С (-1; 3; 1), |
D (1; 4; 3). |
№ 8. |
А (-2;-1;1), |
В (-3;-1;5), |
С (-4; 0; 1), |
D (-2;1;3). |
№ 9. |
А (1;-1;2), |
В (0;-1; 6), |
С (-1;0;2), |
D (1; 1;4). |
№ 10. |
А (1;-2; 1), |
В (0;-2; 5), |
С (-1;-1; 1), |
D (1; 0; 3). |
№ 11. |
А (0; 3; 2), |
В (-1; 3; 6), |
С (-2;4;2), |
D (0; 5; 4). |
№ 12. |
А (-1; 2; 0), |
В (-2; 2; 4), |
С (-3; 3; 0), |
D (-1;4; 2). |
№ 13. |
А (2; 2; 3), |
В (1; 2; 7), |
С (0; 3; 3), |
D (2; 4; 5). |
№ 14. |
А (0; -1; 2), |
В (-1; -1; 6), |
С (-2; 0; 2), |
D (0; 1;4). |
№ 15. |
А (3; 0; 2), |
В (2; 0; 6), |
С (1; 1; 2), |
D (3; 2; 4). |
№ 16. |
А (0; 2; -1), |
В (-1; 2; 3), |
С (-2; 3; 7), |
D (0; 4; 1). |
№ 17. |
А (2; 3; 2), |
В (1; 3; 6), |
С (0; 4; 2), |
D (2; 5; 4). |
№ 18. |
А (-1; 0; 2), |
В (-2; 0; 6), |
С (-3; 1; 2), |
D (-1; 2; 4). |
№ 19. |
А (2; 0; 3), |
В (1; 0; 7), |
С (0; 1; 3), |
D (2; 2; 5). |
№ 20. |
А (2; -1;2), |
В (1; -1; 6), |
С (0; 1; 2), |
D (2; 1; 4). |
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Образец выполнения задания
Дано: пирамида с вершинами в точках А (3; - 4; 1), В (-1; -2; 5), С (-7; 7; 3), D (5; -6; -4).
Найти: а) длину ребра АВ; б) площадь грани АВС; в) объем пирамиды;
г) длину высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.
Решение:
а) Длину ребра АВ находим по формуле модуля вектора |АВ|:
| | = √(−1 − 3)2 + (−2 − (−4))2 + (5 − 1)2 = √16 + 4 + 16 = √36 = 6.
Ответ: | | = .
б) Все грани треугольной пирамиды представляют собой треугольники, поэтому площадь грани АВС определяем по формуле из приложений векторного произведения:
|
|
|
|
|
|
|
∆ = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
| × |, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1 − 3; −2 − (−4);5 − 1) = (−4;2;4), |
||||||||||||||
|
|
= = |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(−7 − 3; 7 − (−4);3 − 1) = (−10;11;2). |
||||||||||||||
|
|
= = |
|||||||||||||||||
|
Координаты вектора |
|
векторное произведение находим по |
||||||||||||||||
|
× |
||||||||||||||||||
формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
| = | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
× = | |
−4 |
2 |
4 |
| = 4 − 40 − 44 + 20 + 8 − 44 = |
|||||||||||||||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
2 |
2 |
|
|
−10 |
11 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −40 − 32 − 24 = (−40; −32; −24) = (−5; −4; −3). |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда модуль вектора × равен: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
= √25 + 16 + 9 = √50 = 5√2. |
||||||||
|
| × | = √(−5) |
|
+ (−4) + (−3) |
|
|
Площадь грани АВС равен половине длины векторного произведения:
∆ = 12| × | = 12 ∙ 5√2 = 5√22.
Ответ: ∆АВС = 5√22 .
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
в) Объем пирамиды определяем по формуле из приложений смешанного произведения трех векторов:
= 16 | |,
где
= = (−1 − 3; −2 − (−4);5 − 1) = (−4;2;4),= = (−7 − 3; 7 − (−4);3 − 1) = (−10;11;2),= = (5 − 3; −6 − (−4);−4 − 1) = (2;−2; −5).
Находим смешанное произведение векторов:
−4 |
2 |
4 |
|
11 |
2 | = 220 + 8 + 80 − 88 − 100− 16 = 104. |
= |−10 |
||
2 |
−2 |
−5 |
Тогда = 16 | | = 16 ∙ 104 = 523 = 1713. Ответ: = 1713.
г) Для нахождения длины высоты, опущенной из вершины D на грань АВС, воспользуемся формулой из школьной программы, а именно – объем треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:
|
|
|
|
|
|
3 ∙ 17 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
3 |
|
|
52√2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||
= |
∙ |
= |
= |
= |
= 10,4√2. |
||||||||||
|
осн |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
осн |
|
|
5√2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: = , √ .
18
Литература
1.Нейфельд, Е.В., Савкина, А.Н. Высшая математика: Программа, методические указания по изучению дисциплины и контрольные задания для студентов-заочников сельскохозяйственных высших учебных заведений /Е.В. Нейфельд, А.Н. Савкина. – Оренбург: Издательский центр ОГАУ, 2002. – 74 с.
2.Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс /Д.Т. Письменный. – 3-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2005. – 608 с.: ил.
– (Высшее образование).
3.Шипачев, В.С. Задачник по высшей математике: Учеб. пособие для вузов /В.С. Шипачев. – 8-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2008. – 304 с.: ил.
4.Яковлева, Л.Н. Высшая математика: Контрольные задания для студентов-заочников инженерной специальности /Л.Н. Яковлева. – Октемцы: ООО РИЦ «Офсет», 2005. – 39 с.
5.Яковлева, Л.Н. Справочник терминов и формул по высшей математике для агроинженеров /Л.Н. Яковлева; Октемский филиал ФГОУ ВРО «Якутская ГСХА». – Якутск, 2010. – 47 с.
19