новая папка 1 / 231809

Решение

Найдем

координаты

векторов

2 ,

2; 2 ,

тогда

AB

2;0;

AC

0;

i

j

k

AB AC

2 0

2

4i 4 j 4k .

0

2

2

1

1

Искомая площадь S

AB

AC

16

16

16

2

3 .

2

2

ВОПРОСЫ ЗАДАНИЙ

1)

Векторы

a и

таковы,

что

и

перпендикулярны.

Найти

,

если

b

а

b

а

b

b

2 .

a

1

7

2)

Найти угол

между векторами с

3а

2b и d

a

b ,

если a

i

2 j и

2

4

b

i

j .

3)

Найти, при каких значениях m и n векторы

2;1; n

коллинеарны.

а 3; m; 2

и b

4)

Найти угол, который образует с осью Ох вектор а 1;1; - 4 .

5)

Найти площадь треугольника,

вершины которого находятся в точках A(

1;2; 3) ,

B(0;2;1) , C(1;0;1) .

6)

Векторы

a и

таковы,

что

и

перпендикулярны.

Найти

,

если

b

а

b

а

b

b

5 .

a

3

1

7)

Найти угол

между векторами с

4а

5b

и d

a

b , если a

i

j и

4

4

b

i

9 j .

8)

Найти, при каких значениях m и n векторы

2; 7; n

коллинеарны.

а 1; m; 3

и b

9)

2; - 4 .

Найти угол, который образует с осью Ох вектор а 3;

10)

Найти площадь треугольника, вершины которого находятся в точках

A(1;2;3) ,

B(

3;2;1) , C(1;5;1) .

a, b, c есть объем параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Смешанное произведение обладает следующими свойствами:

1) для того чтобы векторы

были компланарны, необходимо и достаточно,

a,

b, c

чтобы их смешанное произведение было равно нулю;

2) для любых векторов a,

b,

c справедливо равенство:

ab c

a bc .

Теорема:

Если

три

вектора

определены координатами a

{x1 , y1 , z1},

b {x2 , y2 , z2 } ,

c { x3 , y3 , z3 } ,

то

смешанное

произведение

a;b;c

равняется

определителю,

строки

которого

соответственно

равны

координатам

векторов

x1

y1

z1

сомножителей, то есть

a;b; c

x2

y2

z2

.

x3

y3

z3

Решение

2

3

1

0

1

1

4 , то V 4 .

Искомый объем V

abc

. Поскольку

2

1

1

2

5

7

1

1

1

1

1

1

abc

1

1

1

2

5

7

8

15

7

0 .

Так

как

abc

0 ,

то данные

1

2

2

2

2

1

2

1

2

векторы компланарны.

Задание

6

8

2

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A

5

2

8 .

3

4

1

Решение

6

8

2

Характеристическое уравнение для данной матрицы имеет вид:

5

2

8

0

3

4

1

или

1

2

6

192

40

6 2

40 1

32

6

0;

1

2

6

12

2

0;

1

2

6

2(6

)

0; (6

)(2

(2

)(1

))

0; 6

0 или

2

(2

)(1

)

0;

1

6 ,

(3

)

0 ,

2

0 ,

3

3 .

Итак, данная матрица имеет три собственных значения

1

6 ,

2

0 ,

3

3 .

Собственный

вектор

X 1 ,

соответствующий

1

6 ,

определяется из системы:

( 6 6)x1

8x2

2x3

0

8x2

2x3

0

x3

4x2

5x1

(2 6)x2

8x3

0

5x1

8x2

8x3

0

5x1

8x2

32x2

0

3x1

4x2

(1 6)x3

0

3x1

4x2

7x3

0

3x1

4x2

28x2

0

x3

4x2

x1

8t

x1

8x2

x2

t

x1

8x2

x3

4t.

8

Следовательно, первый собственный вектор: X 1

1

t.

4

Второй

собственный

вектор

X 2 ,

соответствующий

2

0 ,

определяется

из

системы:

( 6 0 )x1

8x2

2x3

0

6x1

8x2

2x3

0

3x1

4x2

x3

0

5x1

( 2 0 )x2

8x3

0

5x1

2x2

8x3

0

5x1

2x2

8x3

0

3x1

4x2

(1 0 )x3

0

3x1

4x2

x3

0

3x1

4x2

x3

0

3x1

4x2

x3

0

3x1

4x2

x3

0

5x1

2x2

8x3

0

10x1

4x2

16x3

0

3x

4x

x

0

x

19x3

x1

34t