1.5. Дифференцирование и интегрирование случайного процесса

Понятие дифференцируемости и интегрируемости связано с непрерывностью функции. Для детерминированных функций функция непрерывна в точке, если существует предел. Однако такой критерий непрерывности для случайного процесса непригоден, так как возможна не одна реализация, а целое множество реализаций для любого.

Случайный процесс называетсянепрерывным в точке , если при любомможно найти такое, что

или

. (1.28)

Случайный процесс , непрерывный во всех точках, где- область, в которой существует случайный процесс, называетсянепрерывным в области .

Рассмотрим, как влияет понятие непрерывности на математическое ожидание и ковариационную функцию.

.

Как видно, из этого равенства и определения непрерывности, следует непрерывность центрированного случайного процесса и непрерывность математического ожидания.

Положим, - непрерывный случайный процесс и рассмотрим разность

Но ,

.

При уменьшении в подкоренных выражениях значения корней стремятся к нулю. То есть из непрерывности случайного процесса в точке следует непрерывность ковариационной функции. Верно и обратное утверждение: из непрерывности ковариационной функции следует непрерывность случайного процесса.

Дифференцирование случайного процесса. Случайный процесс дифференцируем в точкев среднеквадратическом смысле, если существует такая случайная функция-производная в среднеквадратическом процесса в точке, что

, . (1.29)

Как видно из этой формулы, для существования производной в точке требуется непрерывность случайного процесса в точке.

Из дифференцируемости в среднеквадратическом следует дифференцируемость по вероятности

, (1.30)

Математическое ожидание случайного процесса равно

. (1.31)

Если процесс - стационарный, то.

Корреляционная функция производной:

,

где .

Для анализа вычислими произведем разложение её в ряд Тейлора, ограничившись вторыми производными.

Из этих выражений получим

. (1.32)

Таким образом, условием дифференцируемости случайного процесса является существование и непрерывность второй смешанной производной случайного процесса. Для стационарного случайного процесса можно получить

.

Интегрирование случайного процесса. Положим, случайный процесс задан в области. Разобьем эту область на интервалы точками и рассмотрим сумму

,

где - некоторая известная весовая функция. В частности, можно потребоватьи.

Положим также, что существует некоторый случайный процесс . Случайный процессбудет интегрируемым всреднеквадратическом смысле, если существует случайный процесс такой, что

.

Случайный процесс будет называться интегралом от случайного процессас весовой функциейи обозначаться как

.

Например, в качестве весовой функции в интеграле Дюамеля имеем импульсную характеристику.

Математическое ожидание и корреляционная функция процесса будет иметь вид:

, (1.34)

(1.35)