2.7.2. Уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка

Ввиду того, что в дальнейшем необходимо будет переходить к

пределам, обозначим

,

,

(Рис. 2.6), [1], [10].

Обобщенные уравнения Маркова в этих обозначениях примет вид

Предполагаем, что рассматриваемый процесс непрерывный, т.е. с малой вероятностью процессможет получить заметные приращения за малый промежуток времени. Непрерывность марковского процесса понимается в усиленном виде:

(2.47)

для любого постоянного .

Сделаем предположения - для любого постоянного существуют пределы

(2.48)

(2.49)

Используя свойство функции распределения, запишем

.

Учтем условие (2.47) и рассмотрим отношение

(2.50)

Разложим функцию в ряд Тейлора в точкеи ограничимся первыми тремя членами разложения:

.

После подстановки разложения функции в (2.50) имеем

. (2.51)

Перейдем к пределу при . Первое слагаемое в последнем выражении в пределе равно нулю вследствие (2.47). Второе слагаемое, в силу (2.48), равно, в третьем слагаемом пренебрежем членами второго порядка малости и оно будет равно, в силу (2.48),. Из этих вычислений заключаем, что предел левой части (2.51) существует, т.е.

.

Объединяя все полученные результаты, запишем дифференциальное уравнение

, (2.52)

которое называется первым уравнение Колмогорова.

Запишем без доказательства второе уравнение Колмогорова

, (2.53)

где

, (2.54)

(2.55)

Первое уравнение Колмогорова называют уравнением обращенным в прошлое. Переменными будут , переменныевводятся через начальное условие.

Второе уравнение Колмогорова называют уравнением, обращенным в будущее. В этом случае переменными будут , а переменныевводятся через начальное условие[1]. Второе уравнение Колмогорова называют также уравнением Фоккера-Планка.

Предполагается, что коэффициенты ,известны из физической постановки задачи и требуется найти условные плотности распределения. Оба уравнения Колмогорова принадлежат к параболическому типу дифференциальных уравнений.

Коэффициент характеризует среднюю скорость изменения процесса, а коэффициентпропорционален скорости изменения дисперсии процесса.

Рассмотрим частный случай второго уравнения Колмогорова - коэффициенты ине зависят ни от координаты, ни от времени, т.е.. Тогда уравнение (2.53) будет иметь вид

(2.56)

Решением уравнения (2.56) будет

. (2.57)

Как видно из (2.57) значения координаты диффузионного процессаподчинены нормальному закону с дисперсиейи математическим ожиданием.

Величины иназываются коэффициентамисноса и диффузии, соответственно. Они показывают изменение положения среднего значения величины и величину разброса значенияоколо среднего значения со временем относительно начала отсчета.

6.7.3 Винеровский процесс

Винеровским процессом называется случайный процесс на выходе идеального интегратора (Рис. 2.7), когда на его вход подается нормальный белый шумс параметрами

,

. (2.58)

Ввиду того, что операция интегрирования является линейной операцией, значения процесса будут распределены по нормальному закону с математическим ожиданиеми ковариационной функцией

.

В зависимости от того илибудут разные значения ковариационной функции. Объединяя оба возможных значения, запишем

. (2.59)

Как видно из (2.59), значение ковариационной функции зависит от значений моментов отсчета.

Определим дисперсию случайного процесса в момент временикак

,

т.е. дисперсия процесса зависит от момента отсчета.

Таким образом, одномерная плотность распределения будет равна

.

Для сравнения построим плотность распределения дляи для, считая, что спектральная плотность мощностиостается постоянной, а меняется время, Рис. 2.8. Как видно из рисунка, с увеличением времени наблюденияплотность вероятности становится пологой, т.е. увеличивается разброс значений процесса около математического ожидания.

Запишем двумерную плотность распределения процесса . Для этого вычислим нормированную ковариационную матрицу. Так как, то элементы ковариационной матрицы имеют вид

, (2.60)

где - дисперсия случайного процессав момент времениотносительно начала отсчета.

Формулу (2.60) можно записать в другой форме

Ковариационная матрица запишется как

.

Двумерная плотность распределения равна

Винеровский процесс будет также марковским. Рассмотрим три момента времени и запишем трехмерную плотность вероятности

Используя равенство (2.58), запишем

.

Из последней формулы видно, значения процесса в момент не зависит от момента времении поэтому можно записать

. (2.61)

Формулу (2.61) можно обобщить и получить формулу (2.41).