1. Случайные процессы

1.1. Функция распределения случайного процесса

Детерминированный процесс полностью определяется значением аргумента. Для случайного процесса нельзя задать однозначное соответствие между аргументом и значениями функции. Одному значению аргумента может соответствовать множество значений функции, одни из которых более вероятны, другие - менее вероятны.Случайный процесс - это функция времени, которая при любом значении времени есть случайная величина. Во время эксперимента наблюдаются конкретные значения случайного процесса, которые называются реализациями случайного процесса. Случайный процессклассифицируют по пространственно-временным признакам и по вероятностным характеристикам.

В общем случае и время , и пространство значенийслучайного процессапринимают непрерывные значения. Такой процесс называется процессомобщего типа, Рис. 1.1.

Если рассматриваются непрерывные значения времени , а значенияслучайного процессадискретны, то такой процесс называетсядискретным

процессом, Рис. 1.2.

Если время принимает дискретные значения, а значенияслучайного процессанепрерывны, то такой процесс называетсяпоследовательностью общего типа, Рис. 1.3.

Если время принимает дискретные значения и значенияслучайного процессатоже дискретны, то такой процесс называетсядискретной случайной последовательностью, Рис. 1.4.

Для всех типов случайных процессов необходимо задать (определить) область возможных значенийслучайного процесса. В частности, случайный процессможет принимать значения в интервале, т.е.

.

Рассмотрим реализацийслучайного процессав момент времени(Рис 1.5) и зададим некоторый порог

t

t

t

t

. Из множествареализаций выберем тереализаций, значения которых не превышают. Отношениеназываетсячастотой появления реализаций, значения которых в момент t₁ не превышают величины .

Для различных частотабудет различной, но с увеличениемона стабилизируется, приближаясь к некоторой постоянной величине. В теории вероятностей доказывается, что при неограниченном увеличении числа независимых реализацийчастотабудет сколь угодно мало отличаться от вероятности

того, что наблюдаемые значения случайного процесса в моментне превышают некоторой постоянной величины. Эта вероятность зависит от величины, времении называетсяодномерной функцией распределения случайного процесса

(1.1)

Точно по такой же методике можно составить многомерную функцию распределения

, (1.2)

отражающую вероятность того, что значения случайного процесса в моменты времени не превысят соответствующих значений.

Таким образом, случайный процесс можно описать многомерной функцией распределения (1.2). Чем больше точек отсчета функции распределения, тем более полно описан случайный процесс. Необходимое количество точек отсчета в исследуемой функции распределения зависит от решаемой проблемы.

Для процесса общего типа и для последовательности общего типа вводится одномерная плотность распределения вероятности:

(1.3)

или многомерная плотность распределения вероятности,

. (1.4)

Используя формулы (1.3) и (1.4) , запишем интегральные формы одномерной и многомерной функций распределения

, (1.5)

(1.6)

Для дискретного процесса и дискретной случайной последовательности вводится совместная вероятность того, что случайный процесс находится в состояниях в моменты времени :

. (1.7)

Одномерная и многомерная функции распределения дискретного процесса и дискретной случайной последовательности будут иметь вид

,

, (1.8)

где - значения случайного процесса на дискретном множестве.

Функция распределения вероятности обладает свойствами:

1. функция распределения является неубывающей функцией, т.е. если , то,

,

2. ,,

, .

3.

4.

Если - дискретный случайный процесс, то процесс описывается вероятностью

- реализации случайного процесса в момент,

и функция распределения вероятности дискретного случайного процесса определена как

Плотность распределения вероятности обладает следующим свойствами:

1. плотность распределения– неотрицательная функция

, . . . , ,

2. должно соблюдаться условие нормировки

,

.

3. теорема умножения

,

где , (), - плотность распределения вероятности случайного процессав моментпри условии, что в моменты времениизвестны значения процесса.

4. ,

5. Размерность одномерной плотности распределения вероятности - , размерность многомерной плотности распределения вероятности-, где- размерность измеряемой величины (ток, напряжение, давление и т.д.).