FTT_Sadykov_3

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

концентрации n . При T 0 (3.21)

перепишем, пользуясь формулой интегрирования по

E dE , (3.22)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

409.86 Кб

Скачать

☆

f0 E :

3.Статистика электронных состояний.

Вразделе 2 были определены возможные в кристалле электронные состояния:

блоховские состояния, волновые функции и закон дисперсии для них, зоны разрешенных энергий, а также примесные состояния. Далее мы будем говорить о том, как заполняются эти состояния. При этом мы должны соблюдать два правила. Согласно принципу Паули каждое электронное состояние может быть занято не более чем двумя электронами

(различающимися по проекции спина) и в первую очередь заполняются состояния с минимальной энергией.

Функция плотности состояний.

Концентрация электронов и дырок в зонах.

Прежде всего, введем функцию плотности состояний в пределах зоны разрешенных

энергий.	Вблизи дна зоны проводимости, с законом дисперсии E k Ec		2k 2	2m , эта
функция,	g E , определяется соотношением:
	dz g E dE ,	(3.1)
где dz	- число электронных состояний, энергии которых	заключены	в	интервале

E E dE . С другой стороны, это число равно удвоенному (спиновое вырождение!) числу блоховских состояний в объеме k - пространства, заключенного между двумя сферическими

изоэнергетическими поверхностями с энергиями E и E dE и радиусами			k и k dk ,
соответственно. С учетом того, что на	одно блоховское состояние в k -		пространстве
приходится объем 2 3 V , получим	dz 2 4 k 2Vdk 2 3 .	Переходя	в последнем
выражении к переменным энергии, и сопоставив полученный результат с (3.1), получим:
g E 4 V 2m*	h2 3\2 E Eс 1\2 .	(3.2)

Для определения концентрации электронов (их числа в единице объема) необходимо функцию плотности (при V 1) интегрировать по энергии в пределах зоны проводимости с учетом вероятности заселения электронных состояний согласно равновесной функции распределения Ферми

	Emax
n	c	g E f0 E dE Nc F1\2 ,	(3.3)

Функция f0 E определяет вероятность заполнения уровня энергии E при температуре T ,

		1	.	(3.4)
f0 E exp E F	kT 1		.	(3.4)

F - уровень Ферми, символ k перед T впредь будет определять постоянную Больцмана.

1 f0 (E)

1/2

		F	Ec				E
Интегрирование в (3.3) от дна зоны проводимости						E	до ее максимальной энергии Emax ,
						c		c
которую мы заменим на , поскольку значение			f	0		E при E Emax		практически равно
				0			c
нулю. Интеграл Ферми-Дирака F1\2 , введенный в (3.3), имеет вид:
							1 1\2d , (3.5)
F	2 1 2	exp			1		1 1\2d , (3.5)
1/ 2
		0

где переменной интегрирования является приведенная энергия E Ec kT и введен

F Ec kT - приведенный уровень Ферми. Постоянную

называют приведенной

плотностью состояний,

Nc 2

2 m*kT 3\2

2,5 1019

m* 3\2

3\2

(3.6)

300

Интеграл Ферми-Дирака может быть упрощен для значений 1 . В этом случае под

интегралом в (3.5), в квадратных скобках, можно пренебречь единицей во всем интервале


интегрирования. Интеграл 2 1\2 exp 1\2d 1 - табличный, и поэтому:
	0
n	Nc exp Nc e	Ec F	/ kT	.	(3.7)
n	Nc exp Nc e			.	(3.7)
Условие F Ec	kT 1 означает, что уровень Ферми F лежит в запрещенной

зоне, ниже дна зоны проводимости Ec , по крайней мере, на величину kT (см. Рис.3.1). Этот

случай известен как невырожденное распределение электронов в зоне проводимости.

Концентрация дырок (электронных вакансий в валентной зоне) определяется по аналогии с

(3.3) и (3.5):

E
p v	g p E 1 f0	E dE Nv F1/ 2 i ,		(3.8)

здесь введена функция распределения дырок
		1		1
f p E 1 f0 E exp F		E kT 1	exp p	i 1

с p Ev E kT , i Ec Ev kT ,

и функция плотности дырочных состояний с mv* - эффективной массой дырок:

g p E 4 V

2mv

h2 3/ 2 Ev E 1/ 2 .

(3.9)

При условии i 1

или F Ev

kT (невырожденное распределение дырок) (3.8)

сводится:

p Nv exp i Nv exp F Ev

kT .

(3.10)

2 mv*kT 3\2

mv* 3\2

3\2

Nv 2

2,5 10

300

В полупроводнике, находящемся в состоянии равновесия, оба выражения (3.7) и (3.10)

контролируются одним и тем же уровнем Ферми

F . Поэтому, если полупроводник слабо

легированный, произведение (3.7) и (3.10) сводится к выражению (закон действующих масс):

n p N	e N	e i N	N	e i .	(3.11)
c	v	c	v

Т.е. это произведение концентраций электронов и дырок (при выполнении условия слабого легирования) зависит только от ширины запрещенной зоны и не зависит от степени легирования и характера легирования (донорами или акцепторами) полупроводника.

Выражения (3.3), (3.7) и (3.8), (3.10) показывают, что положение уровня Ферми относительно дна зоны проводимости и потолка валентной зоны является своего рода индикатором значения концентрации носителей в зонах. Это будет использовано нами в Разд. 7 при формулировке концепции квазиуровней Ферми.

Статистика примесных состояний.

Доноры, как мы видели в разделе 2, приводят к образованию примесных уровней Ed .

При абсолютном нуле все электроны находятся на этом уровне, т.е. концентрация связанных

на уровне Ed электронов равна nd Nd (случай однократной ионизации доноров), где Nd -

концентрация донорной примеси. С повышением температуры происходит ионизация

примесного уровня, т.е. становится отличной от нуля концентрация дырок pd						на примесном
уровне. При произвольной температуре должно выполняться соотношение						Nd pd	nd .
Отношение концентраций	pd	и nd определяется соотношением:
n	p	g exp E		F / kT .	(3.12)
d	d		d
Коэффициент вырождения g связан с тем, что состояние					Ed , занятое электроном,		имеет

двукратное вырождение по спину, тогда как дырочное состояние (отсутствие электрона) не вырождено. Далее находим:

			n ge Ed F / kT N		d	n	,
			d		d	d
	nd	Nd	g 1 exp Ed	F kT 1			(3.13)
		Nd	g 1 exp d	1 ,			(3.13)
		Nd	g 1 exp d	1 ,
	и pd	Nd	g exp d 1 ,				(3.14)
где d	Ec Ed kT .

Акцепторная примесь порождает примесный уровень Ea (связанная дырка). Степень заполнения этого уровня характеризуется концентрациями pa и na , при этом na pa Na

- концентрация акцепторных примесей.

Зависимость уровня Ферми от температуры в полупроводниках.

Условие термодинамического равновесия в электронной подсистеме полупроводника выражается в том, что все концентрации n, p, pd ,na , полученные ранее, контролируются одним и тем же уровнем Ферми F . Следовательно, равновесное значение этого параметра может быть определено из условия электронейтральности среды, n na p pd . В случае собственного полупроводника имеем n p или:

Nc exp Nv exp i ,

откуда следует:
F Ec Ev	2 kT	2 ln Nv	Nc .	(3.15)

Перепишем электронную концентрацию с учетом (3.15):

Nc exp Nd g exp d

n pd :

n Nc exp Ec F kT Nc Nv 1 2 exp EA kT ,

где введена энергия активации EA Ec Ev 2 , характеризующая экспоненциальную зависимость концентрации n от обратной температуры.

Рассмотрим теперь примесный (донорный) полупроводник. При достаточно низких температурах межзонная генерация неэффективна и электроны в зоне проводимости появляются благодаря ионизации доноров. Электронейтральность в этих условиях выражается условием

1 1 . (3.16)

А) Рассмотрим это выражение при таких низких температурах, когда лишь небольшая часть доноров ионизована, т. е. когда exp d 1. Тогда в знаменателе правой части

(3.16) единицу можно отбросить

exp 2 N	d	gN	c	1 exp	d	,
	d		c		d
откуда легко получить поведение уровня Ферми для рассматриваемых температур:
FdA Ec Ed 2 kT		2 ln Nd gNc 1 .					(3.17)
Выражение под логарифмом обычно меньше				единицы,	т.е.		F A	убывает линейно с
							d

температурой. Этот режим известен как режим ионизации примесей. Зависимость концентрации электронов от температуры равна:

n Nc exp Ec FdA	kT Nc Nd g 1		1 2 exp EAd	kT ,
т.е. она определяется энергией активации Ed		E E	2 .
	A	c d

B) Температура выше, чем в случае А), но в то же время достаточно низкая; при этом все доноры ионизованы, но межзонная генерация все еще не эффективна. В этом случае n Nd , т.е. знаменатель в правой части (3.16) равен единице. Находим:

n N	exp N	,	F B E kT ln N	d	N	. (3.18)
c	d		d c	d	c

Это опять линейно убывающая функция температуры и, легко показать, энергия активации равна нулю.

n Nc exp Ec FdB kT Nd .

Данный температурный диапазон называется областью истощения примесей.

Таким образом, в области температур 0 T TS идет ионизация примесей (зависимость

(3.17)), а при TS T Ti -	ионизация примесей	прекращается (истощение примесей) -
зависимость (3.18). При	температурах T Ti	становится эффективным межзонное

возбуждение носителей и система далее ведет себя как собственный полупроводник.

Характеристические температуры TS , Ti определяются приравниванием (3.17), (3.18), и (3.18), (3.15), соответственно.

Ec Ed

kTS

gNc

1/ 2

Ec Ed

kTS

, TS

gNc

1/ 2

2k ln

gNc

Ec Ev

kTi

Ec kTi ln

1/ 2

Ec Ev

kTi ln

, Ti

1/ 2

2k ln

; (3.19)

(3.20)

Температура TS , при которой доноры уже истощены, а ионизация валентной зоны еще не эффективна, равна 30 К и 40 К для Ge и Si, соответственно. В то же время Ti -

температура, при которой электронная концентрация начинает возрастать благодаря ионизации валентной зоны, равна 450 К и 680 К для Ge и Si. Таким образом, мы видим, что в указанных полупроводниках экспоненциальная зависимость концентрации носителей от температуры не имеет места в широком диапазоне температур. Схематически зависимость концентрации электронов в зоне проводимости донорного полупроводника показано на Рис.

3.2.

Электронная концентрация в металлах. Зависимость уровня Ферми от температуры.

При анализе концентрации электронов в металле мы считаем, что концентрация электронов в зоне проводимости постоянная, т.е. она от температуры не зависит (в случае полупроводников это не так). Для концентрации электронов справедливо выражение (3.3),

которое мы перепишем положив Ec			0 :

	n g E f0	E dE .		(3.21)
	0
					F 0
При T 0	это выражение может быть переписано			как n	g E dE . Последним
					0
равенством	определяется F 0	-	уровень Ферми при	T 0 ,	соответствующий данной

где G E g(E)dE , а f0 E E - обладает свойством дельта функции (Рис.3.3).

и полученный ряд подставляется в (3.22), под интеграл. Результат имеет вид:

n G F 1 2 kT 2 g

6 E

F ,

(3.24)

где принято во внимание, что линейный член разложения (3.23) при интегрировании дает нуль, а квадратичный член, приводит к результату:

dgdE F 1 2 E F 2 f0 E E 2 kT 2 6 dgdE F .

Перепишем (3.24), вводя F 0 :

F 0

g E dE g E dE

kT 2

F 0

E F F 0 F

g E dE g

2 kT 2

E F

F F 0

2 ln g E

F . (3.25)

Изменение уровня Ферми с температурой в металлах не связано с изменением концентрации электронов. Это есть результат расширения переходной (от 1 к 0) области функции распределения Ферми (Рис.3.4).

g(E)

Электронная теплоемкость.

Средняя энергия электронов проводимости равна:


E el Eg E f0	E dE g, E f0	E dE . (3.26)
0	0

Этот интеграл можно вычислить тем же методом, что был использован выше, заменив g E g, E Eg E :

d g E E

E el Eg E dE

2k 2T 2

(3.27)

E F

Отсюда можно получить электронную теплоемкость:

d E

dg E

CVel Fg F

2 2k 2T F

g F ,

dE E F

* 3 / 2

CVel

2k 2Tg F

2k 2T 4

F1/ 2 .

(3.28)

CDреш.

Сравним эту величину с теплоемкостью, записанной на основе классических

соображений, т.е. энергия единицы объема классического электронного газа равна концентрации n умноженной на 3kT2 , откуда:

CVel	classic	3kn 2 3k 2 4 2m 3 2 F 3 2 2 3h3 ,						n 4 2m 3 2 F 3 2 2 3h3 .
	classic
Найдем отношение
			Cel		kT
			V	2		10 2 .
			CVel	2	3F	10 2 .
			classic
Отличие		теплоемкости электронов		в металле Cel			от	классически ожидаемого ее
						V

значения объясняется вырождением электронного газа. Это означает, что в процессах обмена энергией участвуют только электроны, энергии которых расположены вблизи уровня Ферми в пределах kT , тогда как электроны, расположенные достаточно далеко от F (более чем на kT ), в этих процессах не участвуют (см. рис.3.4).

Интересно также сравнить электронную теплоемкость с решеточной теплоемкостью

при низких температурах , что будет сделано в Разд.5.

1 f0 (E)

1/2

Рис. 3.1.

Рис. 3.2.

g(E)

Рис. 3.3.

g(E)

Рис. 3.4.

Соседние файлы в папке ФТТ_Садыков_13-14

#
10.02.2015745.62 Кб35FTT_Sadykov_1.pdf
#
10.02.2015804.52 Кб35FTT_Sadykov_10aud.pdf
#
10.02.20151.03 Mб37FTT_Sadykov_2.pdf
#
10.02.2015409.86 Кб35FTT_Sadykov_3.pdf
#
10.02.2015445.48 Кб34FTT_Sadykov_4.pdf
#
10.02.2015635.77 Кб36FTT_Sadykov_5.pdf
#
10.02.2015552.19 Кб36FTT_Sadykov_6.pdf
#
10.02.2015573.11 Кб35FTT_Sadykov_7.pdf
#
10.02.2015390.39 Кб35FTT_Sadykov_8.pdf