новая папка 1 / 336121
.pdf
1487
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГ О ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к самостоятельной работе по дисциплинам
«Автоматизация технологических процессов»,
«Автоматизация промышленных печей»
Составитель: А.Ю. Кривцов
Липецк Липецкий государственный технический университет
2014
КАДРЫ ДЛЯ РЕГИОНА – МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИЙ
ИНСТИТУТ ЛГТУ
КАФЕДРА
ТЕПЛОФИЗИКИ
1487
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГ О ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра теплофизики
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к самостоятельной работе по дисциплинам
«Автоматизация технологических процессов»,
«Автоматизация промышленных печей»
Составитель: А.Ю. Кривцов
Липецк Липецкий государственный технический университет
2014
УДК 681.5(07) К 82
Рецензент – д-р. техн. наук, проф. КоршиковВ.Д.
Кривцов, А.Ю.
К82 Исследование устойчивости линейных систем автоматического регулирования: метод. указ. к самостоятельной работе по дисциплине «Автоматизация технологических процессов» / сост.: А.Ю. Кривцов. – Липецк: Изд-во Липецкого государственного технического университета,
2014. - 15 с.
Даются указания по определению устойчивости системы автоматического регулирования с использованием алгебраических критериев Гурвица и Вышнеградского, выделению области устойчивости по общему коэффициенту передачи САР. Предназначены для самостоятельной работы студентов, обучающихся по направлению «Металлургия».
Ил. 2. Библиограф.: 3 назв.
© ФГБОУ ВПО «Липецкий государственный технический университет», 2014
Краткие теоретические сведения
Устойчивость является одним из необходимых условий, обеспечивающих нормальное функционирование автоматических систем. Поэтому чрезвычайно важно выяснить те условия, которые обеспечивают принципиальную работоспособность системы, ее устойчивость.
Признаком устойчивости САУ является существование установившегося состояния. Если отклонение выходной координаты от заданного значения (т.е. ошибка управления) не стремится к постоянной величине или нулю, а возрастает или испытывает колебания, то САУ неустойчива. Причинами неустойчивости могут быть инерционность элементов и большой коэффициент передачи разомкнутой системы: многократно усиленное рассогласование,
возвращающееся по цепи обратной связи на вход системы, не успевает отрабатываться из-за запаздывания в инерционных элементах.
Не останавливаясь на теоремах, доказанных Ляпуновым, рассмотрим, как можно оценить устойчивость линейных систем, описываемых дифференциальным уравнением вида
n |
m |
|
ai |
y i t bj x j t . |
(1) |
i 0 |
j 0 |
|
Решение этого уравнения содержит две составляющие, одна из которых yсв(t)
(свободная или переходная составляющая) определяется решением однородного дифференциального уравнения
n |
|
ai y i t 0, |
(2) |
i 0
при начальных условиях: y(0)≠0; y'(0)≠0; y''(0)≠0; …
В линейных системах, для которых справедлив принцип суперпозиции, yсв(t) не зависит от воздействий, а определяется только параметрами системы. В
соответствии с определением устойчивости по Ляпунову САУ асимптотически устойчива, если с течением при t→∞ свободная (переходная) составляющая решения линейного дифференциального уравнения будет стремиться к нулю.
3
Поведение свободной составляющей определяется решением однородного дифференциального уравнения
n |
|
yсв t Ai e pit , |
(3) |
i 1
где Аi – постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий; рi –
корни характеристического уравнения a |
n |
pn a |
n |
pn 1 ... a |
0 |
0. |
|
|
|
|
Для оценки устойчивости необходимо выяснить, когда выражение (3) будет стремиться к нулю. Так как система линейная, на значение свободной составляющей влияют только корни характеристического уравнения, которые зависят от структуры и параметров системы. Эти параметры – вещественные числа. Следовательно, вещественными являются и коэффициенты характеристического уравнения, определяемые параметрами системы и их комбинациями, а это означает, что корни уравнения могут быть только вещественными, либо комплексно-сопряженными:
pk k ; pk 1 k 1 j k 1 ; pk 2 k 1 j k 1 . (4)
Если вещественных корней s, а комплексно-сопряженных n-s, то свободная составляющая может быть записана в следующем виде:
s |
|
|
yсв t Ai e it Ai e rt sin r t r |
, |
(5) |
i 1 |
|
|
откуда следует, что yсв(t)=0 при t→∞ тогда и только тогда, когда αi |
и αr |
|
отрицательны. |
|
|
На комплексной плоскости корней корни с отрицательными вещественными частями располагаются на левой полуплоскости и называются левыми, а корни,
расположенные в правой полуплоскости, называются правыми.
Необходимое и достаточное условие устойчивости линейной системы, следовательно, может быть сформулировано так: линейная система устойчива, если все корни ее характеристического уравнения являются левыми.
Так как при расположении корней слева от мнимой оси система устойчива, а
справа – неустойчива, то мнимую ось называют границей устойчивости. 4
Если хотя бы один корень расположен на этой оси, то систему нельзя считать работоспособной: малейшие изменения параметров могут привести к потере устойчивости.
Правило, позволяющее оценивать устойчивость системы (определять местоположение корней характеристического уравнения на плоскости) без непосредственного вычисления корней, называется критерием устойчивости.
Критерии устойчивости разделяются на алгебраические и частотные.
Исследование устойчивости САР по критерию Гурвица
Цель работы: определение устойчивости замкнутых САР, оценка устойчивости при помощи алгебраических критериев, исследование влияния настроек регулятора на устойчивость системы методом компьютерного моделирования.
Общие положения
Критерий Гурвица служит для определения устойчивости САР по ее характеристическому уравнению
a pn a pn 1 |
... a |
n |
0 . |
(6) |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
Чтобы система была устойчивой необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения с положительными коэффициентами
a0 0, a1 0, ...an 0 имели отрицательные действительные части, а все n
определителей Гурвица были положительны. Если хотя бы один из определителей равен нулю, то система находится на границе устойчивости.
Рассмотрим характеристическое уравнение 3-го порядка:
|
|
|
|
a p3 |
a p2 a p a |
|
0; |
|
|
|
|
|
|
(7) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
a3 |
0 |
|
0; |
|
|
|
|
a1 |
a3 |
|
0; |
|
|
a 0. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3 |
|
a |
0 |
a |
2 |
0 |
|
2 |
|
|
1 |
(8) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
a2 |
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
0 |
a1 |
a3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
После раскрытия определителей:
5
2 a1a2 a0a3 0 и |
3 a3 2 0. Если все коэффициенты ai положительны, |
|
то можно потребовать только |
|
|
|
2 a1a2 a0 a3 0 . |
(9). |
Условие (9) называют критерием Вышнеградского.
Структурная схема системы автоматического регулирования представляет собой объект автоматического регулирования, в обратную связь которого включен регулятор.
Передаточную функцию замкнутой САР можно определить при известных Wоб(p) и Wр(p) по формуле
W p |
Wоб p |
|
. |
(10) |
|
1 W |
p W |
p |
|||
|
об |
р |
|
|
|
Передаточная функция объекта, описываемого дифференциальным уравнением 2-го порядка:
Wоб |
p |
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|||
a |
0 |
p2 a p a |
2 |
|||
|
|
|
1 |
|
Передаточные функции регуляторов имеют вид:
WП p K p ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
W |
|
p |
K И |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p K |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
W |
ПИ |
p |
1 |
|
|
|
; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
TИ p |
|
|
||||
WПД p K p 1 TД p ; |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
W |
ПИД |
K |
1 |
|
|
T |
Д |
p . |
||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
TИ p |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(11)
(12)
Подставляя в уравнение передаточной функции системы передаточные функции объекта и регулятора, получают передаточную функцию замкнутой системы.
Для системы с П-регулятором:
6
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
W p |
|
a p2 |
a p a |
|
|
|
|
|
a p2 |
|
1 |
|
, |
|||||||
0 |
|
|
K p |
2 |
|
|
|
|
a p a K |
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 a p2 a p a |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
2 |
p |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
характеристическое уравнение САР: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
a p2 a p a |
2 |
K |
p |
0. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для системы с И-регулятором:
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
W p |
|
a p2 |
a p a |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
, |
|||
0 |
|
K |
И |
2 |
|
|
a p3 a p2 a p K |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 a p |
2 a p a |
|
|
p |
0 |
1 |
|
2 |
И |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
характеристическое уравнение САР:
a0 p3 a1 p2 a2 p KИ 0.
Для системы с ПИ-регулятором:
(13)
(14)
(15)
(16)
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
W p |
|
a p2 |
a p a |
|
|
|
|
3 |
2 |
p |
|
|
К р |
, (17) |
||||||||
0 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
K |
1 |
|
|
|
|
|
|
a0 p a1 p a2 |
К р |
p |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т И |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
T p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a |
0 |
p2 |
a p a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
характеристическое уравнение САР:
a |
|
p3 a p2 |
a |
|
К |
|
p |
К р |
0. |
(18) |
0 |
2 |
р |
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
Т И |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для системы с ПД-регулятором:
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
W p |
|
a p2 a p a |
|
|
|
|
a p2 |
|
1 |
p a |
|
K |
, |
(19) |
|||||||
0 |
K p |
1 Т |
Д |
р |
|
a K Т |
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 a p2 |
a p a |
|
0 |
1 |
p Д |
|
2 |
|
p |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
характеристическое уравнение САР:
a p2 |
a |
K |
Т |
Д |
p a |
2 |
K |
p |
0. |
(20) |
0 |
1 |
p |
|
|
|
|
|
Для системы с ПИД-регулятором:
7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
W p |
|
|
a p 2 |
a p a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
, (21) |
||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p3 |
a K |
|
|
|
p 2 a |
|
К |
|
p |
К |
р |
|
|
||||||
|
|
K |
|
1 |
|
|
Т |
|
|
|
р |
|
|
a |
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Д |
|
0 |
p |
Д |
2 |
р |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
TИ p |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т И |
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
a |
0 |
p2 |
a p a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
характеристическое уравнение САР: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
p3 a K |
|
Т |
|
p2 a |
|
К |
|
p |
К р |
0. |
|
|
|
|
(22) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Д |
2 |
р |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т И |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Порядок выполнения задания
1. Сформировать структурную схему САР в программном комплексе МВТУ. Структурная схема САР представлена на рис. 1.
2.Используя заданные параметры объекта и регулятора в ПК МВТУ получите график переходного процесса в системе.
3.Постройте годограф Найквиста для разомкнутой САР.
4.Определите основное свойство системы – устойчива, неустойчива.
5.Используя условие Вышнеградского изменяя параметры регулятора переведите систему в другое качественное состояние.
6.Получите график нового переходного процесса
7.Постройте годограф Найквиста.
8.Сделайте необходимые выводы.
8
Рис. 1. Структурная схема САР в ПК МВТУ
3