Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

FTT_Sadykov_5

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

635.77 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

5. Колебания кристаллической решетки.

Поступательное движение атомов в кристалле подавлено. В то же время атомы могут совершать колебательное движение около своих положений равновесия. Этим движением объясняется целый ряд свойств твердых тел.

Динамика решетки.

Введем Uls - смещение s - ого атома l - ой элементарной ячейки решетки. Тогда

кинетическая энергия и потенциальная энергия, определяющие колебательное движение кристалла, выражаются как (i, j – декартовы составляющие смещения, Ms- масса атома):

Eкин

M s U

Vпот

пот

, .

Uls

Uls 0

l s

Для положений равновесия (Ulsi 0 ) второе слагаемое равно нулю. Запишем

уравнения движения (Лагранжа) и преобразуем их, вводя очевидные обозначения.

M sU

пот

,s, ,

Uls 0

,s, j, U

M sU

,s, U

,s, ,

lsl

,s,

, Gss, h ,

h l ' l ,

sls

M sUls Gss, h Us,h l . s,h

(5.1)

(5.2)

Решение этого уравнения для l - узла выразим через решение нулевого узла согласно теореме Блоха.

t eiql U0sq t ,

(5.3)

M seiq

0sq Gss, h eiqh eiql U0s,q ,

eiqh ,

M sU0jsq G jj,,

q U j, ,

0s q

0 ,

0sq

e i tU

jj,, q 2M s

, U

, 0 .

(5.4)

s q

s, j,

В приведенных соотношениях посредством q обозначен волновой вектор, который теперь

идентифицирует коллективные решеточные колебания, как ранее k использовался для обозначения блоховских электронных состояний. Число независимых значений q также равно N – числу элементарных ячеек в кристалле. Из условия разрешимости системы уравнений (5.4) определяется 3s значений частот, соответствующих каждому q (закон

дисперсии для решеточных колебаний). Далее эти общие результаты анализируются для более простых случаев.

Линейный кристалл.

Для анализа характера решеточных колебаний рассмотрим более простой пример,

линейную цепочку атомов с постоянной решетки a. Движение атомов происходит вдоль цепочки, под действием квазиупругих сил, обусловленных их взаимодействием с ближайшими соседями. Уравнение движения для l - ого атома цепочки имеет вид:

mul 2ul ul 1 ul 1 .	(5.5)
Будем искать решения этого уравнения в виде:
ul t u0 t exp iqal u0 exp iwt iqal ,	(5.6)

вводя волновое число q для идентификации возможных решений. Подставляя (5.6) в (5.5)

легко получить, mw2u 2 u		1 cos qa , и далее:
0	0
w2 4 m sin2 qa			2 ,	w q 2 m 1 2	sin qa 2	.	(5.7)

Итак, решения (5.5) действительно имеют вид (5.6), если между частотой и волновым числом q имеется соотношение (закон дисперсии) (5.7). Закон дисперсии – периодическая функция с периодом 2 a , т.е. она определена в первой зоне Бриллюэна линейного кристалла, см. Рис. 5.1.

Обратим внимание, что выражениями (5.3) и (5.6) вводятся колебательные моды (типы коллективных колебаний); эти моды идентифицируются волновым вектором q (волновым

2a .

числом q в одномерном случае). Соотношения (5.3) и (5.6) по существу выражают теорему Блоха. Именно она устанавливает строгую корреляцию между смещениями различных узлов решетки для данного типа колебаний ( q ).

При малых значениях волнового числа закон дисперсии (5.7) упрощается:

w q	qa 0	2 m 1 2 qa	2 v q,	v скорость звука. (5.7’)
	qa 0		s	s

Покажем, что коэффициент перед q в этом выражении действительно равен скорости

звука. К этому выводу можно придти, используя выражение для скорости продольных

звуковых волн в непрерывной среде vs EM , где EM - модуль упругости, -

плотность среды. Чтобы применить эту формулу для дискретной цепочки, введем поперечное сечение цепочки S . Тогда плотность цепочки mSa , а модуль Юнга

(численно равный напряжению при относительной деформации, равной единице) равен

EM aS ; отсюда vs a m . Линейная зависимость (5.7’) хорошо аппроксимирует

закон дисперсии при малых значениях волнового вектора, пунктирная линия на Рис. 5.1.

(q ) (q ) qa /M

/a 0 /a

Смещениями узлов линейной цепочки (5.6) в произвольный момент времени задается мгновенная картина волны, распространяющейся в дискретной среде. Для разных волновых

чисел q эти волны отличаются длиной волны q . Набор возможных значений

волнового числа в пределах 1 ой зоны Бриллюэна определяется как q 2 naN , гдеN2 n N2 , т.е. a q a (к этому результату можно придти в результате тех же суждений, которые привели нас к выводам (2.15), (2.16) в Разд.2). Таким образом, в

дискретной линейной цепочке с одним атомом на элементарную ячейку могут распространяться N волн смещений с длинами волн

Следующей простейшей моделью колебаний решетки является линейная цепочка с двумя атомами в элементарной ячейке. Смещения атомов Ul , ul (с массами М и m,

соответственно) удовлетворяют системе уравнений движения:

MUl 2Ul

ul 1 ,

mul 2ul Ul

Ul 1 .

(5.8)

Решения ищем в виде Ul Aexp iwt iqal ,

ul Bexp iwt iqal , где a -

постоянная решетки. После подстановки этих выражений в (5.8) получаем:

2 Mw2

A 1 e iqa

B 0,

1 eiqa

2 w2m

(5.9)

Система (5.9) разрешима при равенстве нулю определителя, составленного из ее

коэффициентов. Это определяет возможные частоты колебаний, как решения уравнения:

w4 w2 2 M m 4

1 e

iqa

0 ,

M m

2 M m 2

4 2Mm

cos2

Mm 2

1,2

Mm 2

M m

M m 2

4 2Mm

w1,2

sin

(5.10)

Таким образом,

наше

предположение о характере колебаний атомов Ul и ul

оправдывается, если закон дисперсии, согласно (5.10), представляет собой двухзначную функцию волнового числа, w1 q и w2 q . Это означает, что теперь, в отличие от одноатомной линейной цепочки, имеется две ветви закона дисперсии, или два типа волн смещений. Зависимости w1 q и w2 q представлены на Рис.5.2., откуда видно, что

каждому значению q (длине волны) соответствуют две частоты,											в частности:
	w	q 0 0 ,		w		q			2 1 2	,		(5.11)
	w	q 0 0 ,		w		q				,		(5.11)
	1				1
							a		M
w	q 0		2 M m	1 2	,		w	q				2	1 2 .	(5.12)
w	q 0				,		w	q					1 2 .	(5.12)
2							2
			mM						a			m

w2 q

Отличие двух типов волн друг от друга становится очевидным, если определить отношение смещений двух атомов в одной и той же элементарной ячейке. Из (5.9) легко найти, например, пользуясь (5.11) и (5.12):

ul w1 q 0

1 e iqa

w1 q 0 2 Mw12 q q 0 1,

1 e iqa

w2 q 0

q 0

2 Mw22 q

Первый результат означает, что частотная ветвь

w1 q в длинноволновой области

соответствует колебаниям атомов в элементарной ячейке в унисон, т.е. они колеблются в

одной фазе и с одной и той же амплитудой. Именно так ведут себя звуковые колебания в непрерывной среде. Поэтому w1 q называется акустической ветвью колебаний. Напротив,

для частотной ветви w2 q в пределе q 0 атомы одной элементарной ячейки

колеблются в противофазе, а их амплитуды соотносятся как обратные массы. Такие колебания являются оптически активными, т.е. они являются источником излучения оптических фотонов или могут быть возбуждены внешним оптическим излучением.

Частотная ветвь называется оптической.

Результаты, полученные для продольных колебаний цепочки, можно обобщить. 1)

Наряду с продольными волнами в цепочке могут распространяться и поперечные волны,

когда смещения атомов происходят перпендикулярно цепочке. Имеется два независимых направления поперечных смещений. Рис. 5.3 представляет законы дисперсии для продольной L и поперечных T1 , T2 волн, распространяющихся в определенном направлении кристалла.

Квантование колебаний решетки.

Колебания линейной цепочки. Смещение l-ого узла цепочки (см. (5.6)) запишем как:


	ul (t) exp iqal		u0 exp iw q t exp iqal Qq t ,
где Qq t не зависит от l и			удовлетворяет уравнению	классического гармонического
осциллятора.

		Qq t w2 q Qq 0 .		(5.13)

Задача этого параграфа – ввести квантовое описание гармонического осциллятора.

Рассмотрим наиболее простой случай, описываемый уравнением (5.13), - движение точечной массы под действием упругой силы. Функция Лагранжа этой системы равна:

L T U mx2 x2 , 2 2

классическое уравнение движения этой системы (полученное в соответствие с уравнением

Лагранжа	d dL	dL	0 ) имеет вид (5.13):

	dt x	dx
	dt x	dx
		x			2 x 0 ,	x 2 x 0 .
		x		m	2 x 0 ,	x 2 x 0 .

В классической механике, такой осциллятор может быть описан также функцией Гамильтона

H		T U	1	p2		1	x2 ,	(5.14)
	кл
			2 m		2

которой в квантовой механике сопоставляется оператор Гамильтона:

H	1	p2	1	x2		2	2		,	(5.15)

	2	m	2		2			2

где

p i

- оператор импульса и

x - безразмерная координата.

Гамильтонианом (5.15) определяется уравнение Шредингера для квантового

осциллятора,

H n

n En n .

(5.15’)

Данное

уравнение

математической

физики

имеет

собственные

значения

En 2n 1

n 1

2 ,

n 0,1,2,3,... и собственные функции n , которые

выражаются через полиномы Эрмита Hn ,

e 2

2 1 n ,

(5.16)

- нормировочный множитель.

Для

n 0

имеем

функцию

основного

состояния

осциллятора 0 и энергию основного состояния осциллятора E0

(нулевую энергию):

m x2

4 e

e 2

, E

(5.17)

В общем случае энергию

состояния

можно интерпретировать как энергию

основного состояния

2 плюс энергию n квантов колебательного движения (фононов),

по

у каждого

кванта.

Это

позволяет

интерпретировать n

как n-фононное

колебательное состояние осциллятора. Если ввести операторы a и a

соотношениями:

ipˆ

aˆ

ipˆ

(5.18)

то их действие на n , как легко проверить, (см. (5.16)) выражается соотношениями

aˆ

n 1

aˆ

n 1

(5.18’)

Т.е. эти операторы переводят n-фононное состояние в состояния с n 1

фононами и n 1

фононами, соответственно. Поэтому их называют операторами рождения и уничтожения

фонона. Действие произведения этих операторов,	nˆ aˆ	aˆ , на		, как легко показать на
			n
основании (5.18’), сводится к умножению	этой	функции		на число фононов:

nˆ aˆ aˆ :

aˆ aˆ

aˆ aˆ n nˆ n n n .

называют оператором

показать, что aˆ aˆ 1

Поэтому произведение (именно в указанном здесь порядке)

числа частиц, nˆ aˆ aˆ . Пользуясь определениями (5.18) легко и гамильтониан (5.15) можно выразить через оператор

ˆ		2	2			1
H	2			2	nˆ	2	. (5.19)
	2					2

Теперь удобно перейти от координатного представления собственных функций осциллятора к представлению чисел заполнения: n n , где n описывает n -фононное состояние, которое может меняться под действием операторов рождения и уничтожения (см.

(5.18’)):

aˆ
aˆ	n	n 1		n 1 , aˆ	n	n		n 1 .

Через операторы рождения и уничтожения можно выразить и операторы других физических величин, например, из (5.18) легко получить операторы координаты и импульса

для одномерного осциллятора:

xˆ

aˆ aˆ ,

pˆ i

aˆ aˆ . (5.20)

Все, что говорилось об одномерном осцилляторе, применимо для амплитуды

0q t

коллективных колебаний ( Qq в случае линейного кристалла (5.13) и U

в трехмерном

случае, см.(5.3) для s 1).

ul (t) exp iqal u0 exp iw q t exp iqal Qq t

t eiql U0sq t

U0jq 2j q U0jq

0, с поляризациями

j 1,2,3.

(5.21)

В приближении малых колебаний,

состояние кристалла задается совокупностью 3sN

независимых осцилляторов (гармоническое приближение). Оператор смещения и оператор

импульса для узла решетки l

выражаются через 3N операторов рождения и уничтожения

фононов, по аналогии с (5.20), как (моноатомная решетка, т.е. s=1):

iql

j aˆqje

U l

aˆqje

2m j q

m j

iql

j aˆqje

P l

aˆqje

(5.22)

j - единичные векторы поляризации, j =1,2,3.

В общем случае для трехмерного кристалла число осцилляторов будет 3sN , где N –

число волновых векторов q (элементарных ячеек в кристалле), s (число атомов в

элементарной ячейке) определяет число ветвей колебательного спектра, коэффициент 3

учитывает три поляризации для каждой ветви. Каждой колебательной моде qj

( j 1,2,3,..3s ) соответствует своя частота и энергия фонона: qj j q j q .

Закона дисперсии j q , в принципе, определяется решением секулярной задачи (5.4). Выражения для операторов смещения и импульса, аналогичные (5.22), в случае

полиатомной решетки ( s 1) можно найти в [1].

Тепловая энергия колебаний.

Таким образом, в рамках квантовой теории колебательное движение решетки в приближении малых колебаний описывается совокупностью 3sN независимых осцилляторов. Каждый осциллятор имеет эквидистантный энергетический спектр.

Сосредоточимся теперь на возможных состояниях одного осциллятора. 1) Прежде всего,

осциллятор может находиться в состоянии с определенным числом фононов n (в

координатном представлении это состояние определяется как n ). Однако реализовать состояние с определенным числом фононов весьма трудно. 2) Следующее возможное

состояние -

когерентное состояние

осциллятора. Такое состояние

представляется как

линейная

комбинация

состояний

n ,

т.е.

имеет

вид

n ,

cn exp

2 2 n

n 0

n! , где -

комплексное число. Состояние

нормировано на

единицу и

является собственным состоянием

оператора уничтожения,

т.е.

1 и

aˆ . Данному состоянию нельзя приписать определенное число фононов. В то же

время для состояния			можно ввести вероятность обнаружить n - фононное состояние,
время для состояния			можно ввести вероятность обнаружить n - фононное состояние,
P	n ,	которая	определяется	нормированным	распределением	Пуассона

2 exp

с максимумом

при

свойством

n .

Среднее

значение

энергии

осциллятора

в состоянии

1 2

n 1 2 .

следовательно,

равно

Квантовые

когерентные состояния максимально точно соответствуют классическим состояниям осциллятора, имеющим определенную фазу, в пределе 2 n . Представление когерентных состояний для осцилляторов сыграло большую роль в развитии теории лазеров

иквантовой оптики (Рой Глаубер, Нобелевская премия по физике 2005 г.).

3)Теперь заметим, что состояния n , являются чистыми квантовомеханическими

состояниями, в отличие от смешанных состояний. Чаще всего, осциллятор в результате обмена энергией с термостатом находится в термодинамически равновесном (смешанном)

состоянии. Это состояние описывается матрицей плотности и характеризуется заселенностями exp En kT n - фононных квантовых (чистых) состояний осциллятора.

Термодинамически средняя энергия осциллятора в этом случае равна:

					n 1 2 , (5.23)
Eосц En exp En kT			exp En	kT	n 1 2 , (5.23)
	n0		n0
где En	n 1 2 ,	n 1 exp kT 1 - функция распределения				Бозе-

Эйнштейна.

Переход от термодинамически средней энергии одного осциллятора к энергии колебаний трехмерной решетки осуществляется суммированием средних энергий всех осцилляторов (гармоническое приближение):

	Eосц qj				1
			j q	nqj		.	(5.24)
			j q	nqj	2	.	(5.24)
реш	qj	qj			2
реш	qj

Целесообразно в выражении (5.24) перейти от суммирования к интегрированию, чтобы получить хотя и приближенный, но аналитический результат. Это достигается упрощением закона дисперсии.

Существует несколько моделей для такого упрощения. Модель Эйнштейна исходит из того, что атомы в каждом узле решетки колеблются независимо от колебаний других узлов,

т.е. в этом случае имеется 3sN осцилляторов с одинаковой частотой E (частота

Эйнштейна). Эти колебания локализованы вблизи узлов решетки. В этом случае тепловая энергия кристалла выглядит как:

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ФТТ_Садыков_13-14

#
10.02.2015745.62 Кб35FTT_Sadykov_1.pdf
#
10.02.2015804.52 Кб35FTT_Sadykov_10aud.pdf
#
10.02.20151.03 Mб37FTT_Sadykov_2.pdf
#
10.02.2015409.86 Кб35FTT_Sadykov_3.pdf
#
10.02.2015445.48 Кб34FTT_Sadykov_4.pdf
#
10.02.2015635.77 Кб36FTT_Sadykov_5.pdf
#
10.02.2015552.19 Кб36FTT_Sadykov_6.pdf
#
10.02.2015573.11 Кб35FTT_Sadykov_7.pdf
#
10.02.2015390.39 Кб35FTT_Sadykov_8.pdf
#
10.02.2015456.5 Кб35FTT_Sadykov_9aud.pdf
#
10.02.201542.5 Кб35FTT_vvedenie.doc