новая папка 1 / 302204

292

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Липецкий государственный технический университет»

Кафедра высшей математики

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

Методические указания к самостоятельной работе

Составитель: И.А. Седых

Липецк Липецкий государственный технический университет

2014

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Липецкий государственный технический университет»

Кафедра высшей математики

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ Методические указания к самостоятельной работе

Составитель: И.А. Седых

Липецк Липецкий государственный технический университет

2014

3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Липецкий государственный технический университет»

Кафедра высшей математики

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ Методические указания к самостоятельной работе

Составитель:

______________ И.А. Седых

Липецк Липецкий государственный технический университет

2014

4

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Липецкий государственный технический университет»

Кафедра высшей математики

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ Методические указания к самостоятельной работе

Составитель: И.А. Седых

Липецк Липецкий государственный технический университет

2014

5

УДК 519(07) С 285

Рецензент д-р техн. наук, проф. А.М. Шмырин

С 285 Седых, И.А. Математическая логика и теория алгоритмов [Текст]: метод. указ. к самостоятельной работе./ И.А. Седых. – Липецк: Изд-во Липецкого государственного технического университета, 2014. – 25 с.

Методические указания составлены в соответствии с ФГОС-3 и предназначены для студентов направлений 010800.62 – «Механика и математическое моделирование», 220100.62 – «Системный анализ и управление» по дисциплинам «Дискретная математика», «Математическая логика и теория алгоритмов» и другим, связанным с математической логикой и теорией алгоритмов. Приведены краткие теоретические сведения по математической логике. Даны темы лабораторных работ. Методические указания содержат задания по традиционным разделам курса математической логики и теории алгоритмов.

Библиогр.: 5 назв.

© ФГБОУ ВПО «Липецкий государственный технический университет», 2014

6

Введение в математическую логику

Под высказыванием принято понимать предложение, о котором имеет смысл говорить, истинно оно или ложно. Будем обозначать высказывание большими латинскими буквами A, B, C, …, а их значения, то есть истину и ложь, соответственно И и Л.

Отрицанием высказывания А называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда высказывание А ложно. Отрицание A обозначается A

(или А, А ) и читается «не А».

Конъюнкцией 2-х высказываний А и В называется высказывание,

истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания. Конъюнкция высказываний А и В обозначается А В (или А&В) и читается как «А и В».

Дизъюнкцией 2-х высказываний А и В называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны. Дизъюнкция высказываний А и В обозначается через А В и читается «А или В».

Импликацией 2-х высказываний А и В называется высказывание ложное тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно. Импликация высказываний А и В обозначается через A B (или A B, A B ) и читается «А влечёт В»

(или «если А, то В», «из А следует В»). Высказывание А называется посылкой импликации, а высказывание В – заключением импликации.

Эквивалентностью 2-х высказываний А и В называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинностные значения А и В совпадают.

Эквивалентность высказываний А и В обозначается через А ~ В и читается «А эквивалентно В».

Суммой по mod 2 (исключающим или) 2-х высказываний А и В называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинностные значения А и В различны. Сумма по mod 2 обозначаются А В (или А В ).

3

Всякое сложное высказывание, составленное из некоторых исходных высказываний посредством применения вышеперечисленных операций, будем называть формулой алгебры высказываний.

Булевой функцией f X 1 ,... X n называется произвольная функция f,

действующая из множества 0,1 n в множество 0,1 . Как аргументы булевой функции, так и сама функция принимает значения из множества 0,1 .

Пусть значению И соответствует 1, а значению Л – 0. Тогда каждой формуле логики высказываний F можно поставить в соответствие булеву функцию f.

Всякую булеву функцию от n переменных можно записать таблицей из

2n столбцов, в которой в каждом столбце записывают одно из значений списка переменных. Составим таблицу истинности для булевых функций, соответствующих основным логическим операциям:

Алгебра на множестве булевых функций с заданными на нем двумя операциями и называется алгеброй Жегалкина. Многочленом Жегалкина функции f X 1 ,... X n называется многочлен вида:

4

Теорема Поста. Для того чтобы система булевых функций f1 ,..., f m

была полной, необходимо и достаточно, чтобы для каждого из классов

T0 ,T1 , S, M , L нашлась функция из системы, не принадлежащая этому классу.

Для проверки полноты по этой теореме удобно использовать таблицу

Поста.

принимают значения из некоторого множества М, а сама она принимает 2 значения: И или Л, то есть P X 1 ,..., X n : M n И , Л . Предикат от n аргументов называется n-местным предикатом. Высказывания считаются нульместными предикатами. Над предикатами можно производить обычные логические операции. В результате получаются новые предикаты.

Кроме операций логики высказываний, будем применять ещё операции

понимать высказывание, истинное, когда существует элемент множества М, для которого P X истинно, и ложное в противоположном случае:

5

существования.

Операцию связывания квантором можно применять и к предикатам

большего числа переменных.

Задание 1

Для заданных булевых функций выполнить следующие задания:

1)найти таблицу истинности;

2)найти ДНФ, КНФ;

3)найти СДНФ, СКНФ;

4)найти многочлен Жегалкина.

6

7