Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

новая папка 1 / 603891

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.02.2023

Размер:

397.48 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

∞

kπx

ak cos

+ bk

sin

f (x)

k =1

для всех x ≠ l(2k + 1) , k = 0,±1,±2, Кроме того,

(x) для x (−l, l) .

f (x) = f

Следствие 2. Если

f (x) – непрерывная

на отрезке [−l, l] функция,

имеющая кусочно-непрерывную производную, причем

f (−l) = f (l) , то ее ряд

Фурье сходится к значению

f (x) на этом отрезке,

то есть для любого

x [−l,l]

∞

kπx

+ ak cos

+ bk sin

= f (x) .

k =1

Доказательство следствия основано на том факте, что периодическое

продолжение непрерывной на отрезке [−l,l] функции

f (x) является функция

непрерывная на всей числовой оси функция, если f (−l) = f (l) .

5. Неполные ряды Фурье

Определение. Функция

f (x) , определенная на отрезке [−l, l], называет-

ся нечетной, если для любого x (0,l] справедливо равенство f (− x) = − f (x) . Определение. Функция f (x) , определенная на отрезке [−l,l], называет-

ся четной, если для любого x (0,l] справедливо равенство								f (− x) = f (x) .
Теорема 3.	Пусть	f (x) – четная,			абсолютно интегрируемая на про-
межутке (−l, l) функция, тогда ее ряд Фурье имеет вид
	f (x)			a0	+ ak cos kπx ,		где
					∞
			2		k =1	l
ak = 2	l	πkx dx ,	a0 = 2		l			k N .
ak = 2	f (x) cos	πkx dx ,	a0 = 2		f (x)dx ,	bk	= 0 ,	k N .
l	0	l		l	0
Доказательство теоремы вытекает из лемм 5 и 6 в силу того, что функ-

ция	f (x) cos πkx – четная, а		f (x) sin πkx – нечетная. Следовательно, коэффици-
	l			l
енты bk = 0 , а коэффициенты ak = 1				l	πkx dx = 2				l	πkx dx .
енты bk = 0 , а коэффициенты ak = 1				f (x) cos	πkx dx = 2			f (x) cos		πkx dx .
			l	−l	l		l	0		l
	Теорема 4. Пусть f (x) – нечетная, абсолютно интегрируемая на про-
межутке (−l, l) функция, тогда ее ряд Фурье имеет вид
				∞			kπx
	f (x)			ak		sin	kπx		,
	f (x)			ak		sin			,
				k =1			l
	где bk = 2	l						k N .
	где bk = 2	f (x) sin πkx dx , a0			= ak = 0 ,			k N .
	l	0		l

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 3.

x [0,l]

Предположим, что функция f (x) задана на отрезке [0,l], в этом случае

можно получить для нее ряд Фурье по косинусам или по синусам. Для этого функциюнеобходимопродолжитьнаотрезок [−l,l] соответствующимобразом.

Определение.	Функция	~	f (x),	если x [0,l]	называется про-
		f	(x) =	если x [−l,0)
			f (− x),
должением функции f (x) , определенной на отрезке [0, l] , по четности.
Определение.	Функция	~	f (x),	если x [0,l]	называется про-
		f (x) =		если x [−l,0)
			− f (− x),

должением функции f (x) , определенной на отрезке [0, l] , по нечетности.

Если функция f (x) абсолютно интегрируема на отрезке [0, l] , то ее

продолжения по четности	~	и по нечетности	~	абсолютно интегри-
	f (x)		f (x)

руемы на отрезке [−l,l]. Каждой из них можно поставить в соответствие ряд

Фурье.

– четная функция, то

Поскольку

f (x)

∞

f (x)

+ ak cos kπ x

(6)

k =1

где ak =

2 l ~

πkx

dx =

2 l

πkx

dx , a0

2 l

f (x) cos

f (x)dx =

f (x)dx .

l 0

Определение. Ряд Фурье (6) для продолжения функции по четности

называется рядом Фурье функции f (x)

по косинусам.

f (x)

Теорема

5. Если

f (x) –

непрерывная

на

отрезке [0,l] функция,

имеющая кусочно-непрерывную производную, то ее ряд Фурье по косинусам сходится к значению f (x) на [0,l] , то есть для любого

∞

kπx

f (x) =

ak cos

k =1

Для доказательства достаточно заметить, что функция

f (x) , которая

является продолжением функции

f (x)

по четности, является непрерывной

функцией на

отрезке

[−l,l],

производная ее

кусочно-непрерывна, и

f (−l) = f (l) (смотри следствие 2 к теореме 2).

Поскольку

f (x) – нечетная функция, то ей ставится в соответствие ряд

Фурье

∞

sin kπ x ,

f (x)

где

(7)

k =1

bk =

2 l ~

πkx

dx =

2 l

πkx

dx .

f (x) sin

Определение. Ряд Фурье (7) для продолжения функции f (x) по нечет-

ности	~	называется рядом Фурье функции f (x) по синусам.
	f (x)

Теорема 6. Если f (x) – непрерывная на отрезке [0,l] функция, имеющая кусочно-непрерывную производную, то ее ряд Фурье по синусам схо-

дится к значению f (x)	для любого x (0,l) , то есть		(8)
	f (x) = bk sin kπx .		(8)
	∞
Если, кроме того,	k =1	l
Если, кроме того,	f (0) = f (l) = 0 , то ряд (8) сходится на всем отрезке
[0,l] .			~
Для доказательства теоремы достаточно заметить, что функция			~
Для доказательства теоремы достаточно заметить, что функция			f (x) –

нечетная функция. Она может иметь разрыв в точке x = 0 и является непре-

рывной функцией на отрезке [−l,l] только при выполнении условия f (0) = 0 .
~
Для сходимости ряда Фурье (8) к функции f (x) на отрезке [−l,l] по следст-
~	~
вию из теоремы 2 требуется выполнение условия f (−l) = f (l) , которое вы-

полняется только, если f (l) = 0 .

6. Примеры

Рассмотрим примеры построения рядов Фурье, а также выясним, в каких точках эти ряды сходятся. На вопрос о равномерной сходимости рядов ответ дается в последнем разделе.

Ряд Фурье периодической функции

Пример 1.

f (x) = arcsin(cos x)

Эта функция непрерывна на всей числовой оси, 2π -периодическая и имеет кусочно-непрерывную производную (она не дифференцируема толь-

ко в

точках

x = kπ ,

k Z ). В

самом

деле,

если x [0,π ] , то

− x , если

x [−π ,0],

силу

четности функции

f (x) = arcsin sin

− x)

f (x) = π

+ x ,

кроме того

f (π ) = f (−π ) = −π / 2 .

Следовательно, ряд Фурье

f (x) в каждой точке

x (−∞,+∞) .

Учитывая четность

сходится к функции

функции, имеем

bk = 0 , k N ,

a0 =

− x dx = 0 .

Используя формулу интегрирования по частям, получаем

π π

2 π

− 2

2 π

ak =

− x cos kxdx =

sin kx

−

xd(sin kx) =

x sin kx

sin kxdx =

0 2

πk 0

πk

πk 0

2((−1)

− 1)

если

k = 2n

cos kx

k = 2n − 1 ,

n N .

= −πk 2

= −

πk 2

, если

π (2n − 1)

Получаем разложение функции в ряд Фурье

∞

((−1)

− 1))

∞

arcsin(cos x) = −

cos kx =

cos(2n − 12)x для любого x R .

k =1

n=1

(2n − 1)

Пример 2.

f (x) = sgn(sin x)

Функция 2π -периодическая, нечетная. Ее можно представить в виде

	1,	если	x (2πn,π + 2πn)
	0,	если	x = πn , n Z .
f (x) =
		если	x (−π + 2πn,2πn)
− 1,

Эта функция является кусочно-дифференцируемой и терпит разрывы в точках x = πn . Ряд Фурье такой функции в точках разрыва сходится к значе-

нию	f (πk + 0) + f (πk − 0)	= 0 , но функция в этих точках тоже равно нулю. По-
	2

этому ряд Фурье сходится во всех точках числовой оси. В силу нечетности функции имеем a0 = ak = 0 ,

− 2

2((−1)

− 1)

если

k = 2m

bk =

1 sin kxdx

cos kx

= −

π 0

πk

если

k = 2m − 1

π (2m − 1)

m N . Получаем разложение в ряд Фурье

∞

(−1)

− 1

∞

sgn(sin x) = −

sin kx =

sin(2m − 1)x

для любого x R .

k =1

π m=1

2m − 1

Ряд Фурье функции, заданной на промежутке

Пример 3.

f (x) = x ,

x [a, a + 2l]

Функция непрерывна на отрезке [a, a + 2l] .

Если мы продолжим эту

функцию с полуинтервала [a, a + 2l)

периодическим образом,

то продолже-

(x)

будет кусочно-дифференцируемой функцией, имеющей разрывы

ние f

первого рода в точках a + 2kl ,

k Z . В этих точках ряд Фурье будет схо-

диться к значению

f (a + 0) + f (a + 2l − 0)

f (a) + f (a + 2l)

2a + 2l

= a + l . На ин-

тервале (−l,l) ряд Фурье будет сходиться к функции f (x) = f (x) . Вычисляем коэффициенты Фурье,

a+2l

(a +

2l)

− a

= 2(a + l) ,

xdx =

a+2l

1 a+2l x cos kπx dx =

a+2l xd(sin kπx ) =

sin

kπx

−

a+2l sin kπx dx =

l a

kπ

a + 2l

kπ

(a + 2l)

kπa

kπx

a+2l

+ 2l

kπa

sin

−

sin

cos

sin

−

kπ

k 2π 2

kπ

−

kπa

kπ

(a + 2l)

− cos

kπa

sin

cos

sin

kπ

k 2π 2

1 a+2l

πkx

1 a+2l

πkx

a+2l

1 a+2l

πkx

x sin

dx = −

xd cos

dx = −

cos

dx =

l a

πk

= − a + 2l cos kπ (a + 2l)

cos

kπa

sin πkx

a+2l

= −

cos

kπa

πk

2 k 2

πk

Для всех x (a, a + 2l) справедливо разложение функции в ряд Фурье, то

∞

kπa

kπx

− 1

kπa

kπx

kπ

есть x = a + l +

sin

cos

sin

= a + l +

sin

(a − x) ,

k =1

x (a, a + 2l) .

Пример 4.

f (x) = sin ax ,

x (−π ,π ) ,

a R / N

Функция непрерывно дифференцируема на интервале, нечетная, по-

этому

= ak = 0 ,

1 π

sin(a − k)x

sin(a + k)x

bk =

sin ax sin kxdx =

(cos(a − k)x − cos(a + k)x)dx

−

π 0

a − k

+ k

1 sin(a − k)π

sin(a + k)π

(−1)

sin aπ

(−1)

sin aπ

(−1)

2k sin aπ

−

a − k

a + k

a − k

a + k

π (a

−k

)

Ряд Фурье сходится к функции на всем интервале, то есть функция раскладывается в ряд Фурье

	∞	(−1)	k
sin ax =	2 sin aπ	(−1)			sin kx , x (−π ,π ) .
sin ax =	2 sin aπ	2		2	sin kx , x (−π ,π ) .
	π k =1	a − k
Пример 5.	f (x) = x sin 2x , x [−π ,π ]

Функция четная, непрерывная на отрезке, непрерывно дифференцируема на интервале (−π ,π ) , причем f (−π ) = f (π ) = 0 , поэтому ряд Фурье схо-

дится к функции на всем отрезке. В силу четности имеем bk

= 0 ,

a0 =

π x sin 2dx = −

π xd(cos 2x) = −

x cos 2x

π cos 2xdx = −1

+ sin 2x

= −1

2π

Если k ≠ 2 ,

k N

x sin 2x cos kxdx =

π x(sin(k + 2)x + sin(2 − k)x)dx =

− 1

xd(cos(k + 2)x)−

π (k + 2) 0

−

π xd(cos(2 − k)x) =

− x cos(k + 2)x

π cos(k + 2)xdx −

x cos(2 − k)x

π (2 − k)

π (k + 2)

π (k +

π (2 − k)

(−1)k

sin(k + 2)x

(−1)k

sin(2 − k)x

(−1)k 4

cos(2 − k)xdx

= −

−

π (2 − k)

(k + 2)

π (k + 2)

(2 − k)

π (2

− k)

− 4

Коэффициент a2 вычислим отдельно

x sin 2x cos 2xdx =

x sin 4xdx =

− 1

xd(cos 4x) = −

x cos 4x

1 π

cos 4xdx =

4π

4π 0

= − 1

+ sin 4x

= −

1 .

16π

Выпишем разложение функции в ряд Фурье

∞

(−

x sin 2x = − 1

+ 4 cos x −

1 cos 2x + 4

cos kx ,

x [−π / π ].

−

k =3

Неполные ряды Фурье

Пример 6.

f (x) =

если

x [0,π / 2]

π / 2,

если

x (π / 2,π ]

Построить ряд Фурье функции а) по синусам, б) по косинусам крат-

ных дуг.

а) Функция

, продолжение функции f (x)

по четности, является не-

f (x)

прерывной на отрезке [−π ,π ], производная ее кусочно-непрерывна, причем

f (−π )

f (π ) , поэтому ряд Фурье по косинусам сходится к функции f (x) на

всем отрезке [0,π ]. Вычислим коэффициенты ряда Фурье

2 π

π / 2

2 x2

π / 2

3π

f (x)dx =

xdx

+ x

f (x)dx + f (x)dx

dx =

π / 2

2 π

π / 2

f (x) cos kxdx =

f (x) cos kxdx +

f (x) cos kxdx =

x cos kxdx +

π / 2

2 π / 2

sin kx

2x sin kx

π / 2

2 π / 2

sin πk

xd(sin kx))+

−

sin kxdx +

−

+ π / 2 cos kxdx

πk

π / 2

−

sin

2 k

sin 2 k

+ 2 cos kx

π / 2

−

sin

2 k

cos πk

− 1

πk 2

k = 2m − 1

−

если

π (2m − 1)2

(−1)m − 1

, m N .

если

k = 2m

2πm

Получаем разложение в ряд Фурье функции по косинусам на отрезке

[0,π ].

3π

∞

πk

f (x) =

cos

−

1 cos kx =

k =1

3π 1

∞

− 2

(−1)m

− 1

[0,π ] .

cos(2m − 1)x +

(2m

− 1)

cos 2mx

π m=1

б)

Функция

по нечетности,

является непре-

f (x) , продолжение f (x)

рывной на отрезке [−π ,π ]

функцией, ее производная – кусочно непрерывна,

но на концах отрезка ее значения

различны,

f (−π ) = − f (π ) = −π / 2 . Следова-

тельно, ряд Фурье функции

сходится на интервале (−π ,π ) ,

а ряд Фурье

f (x)

по синусам сходится к функции

f (x)

на полуинтервале [0,π ) . В точке x = π

ряд Фурье сходится к нулю. Определяем коэффициенты ряда Фурье.

2 π

π / 2

bk =

f (x)dx =

f (x) sin kxdx + f (x) sin kxdx

x sin kxdx + π

/ 2sin kxdx =

π 0

π / 2

− 2 π / 2

cos kx

2x cos kx

π / 2

cosπk

cos 2 k

xd(cos kx)−

= −

cos kxdx −

πk

π / 2

πk

m+1

cosπ k

2sin π k

cos

π k

(−1)

, если k = 2m −1

2sinkx

(−1)

π (2m −1)

= −

−

π k

(−1)m

если k = 2m

m N . Получаем для любого x [0,π )

∞

(−1)m+1 2

(−1)m

sin(2m −

1)x +

f (x) =

π (2m − 1)

sin 2mx .

m=1

7. Ряд Фурье функции, интегрируемой с квадратом

Определение. Функция

f (x)

называется интегрируемой с квадратом

на промежутке (a,b) , если сходится интеграл

f 2 (x)dx .

Так как справедливо неравенство \| f (x) \|≤	1 + f 2 (x) , в силу признака
	2

сравнения, если сходится интеграл f 2 (x)dx , то сходится и интеграл

| f (x) | dx . Это означает, что функция, интегрируемая с квадратом на конеч-

ном промежутке, является абсолютно интегрируемой на нем, и для нее можно построить ряд Фурье.

Теорема 7. Пусть функция f (x) интегрируема с квадратом на интервале (−π ,π ) , тогда справедливо неравенство

a02	+ ∞ (ak2 + bk2 )≤	1	π f 2 (x)dx (неравенство Бесселя),

2	k =1	π −π
где a0 ,	ak , bk – коэффициенты Фурье функции f (x) .
В частном случае неравенство Бесселя переходит в равенство.
Теорема 8. Пусть функция				f (x) непрерывна на	отрезке [−π ,π ] ,
f (−π ) = f (π ) , a0 , ak ,		bk	– коэффициенты Фурье функции		f (x) , тогда спра-
ведливо равенство
a02	+ ∞ (ak2 + bk2 )=	1	π f 2 (x)dx	( равенство Парсеваля).
2
	k =1	π −π

Ряд Фурье функции, интегрируемой с квадратом, сходится к функции в среднеквадратическом смысле, то есть справедлива следующая теорема.

Теорема 9. Пусть функция f (x) интегрируема с квадратом на интер-

вале

Sn (x)

(−π ,π ) , тогда lim π ( f (x) − Sn (x))2 dx = 0 , где

n→∞ −π

= a0	n
= a0	+ (ak cos kx + bk sin kx) – частичная сумма ряда Фурье функции f (x) .
2	k =1

8. Коэффициенты Фурье. Дифференцирование ряда Фурье

Теорема 10.		Пусть функция f (x) абсолютно интегрируема на проме-
жутке	(a, a + 2l) ,	и ak , bk – коэффициенты Фурье этой функции, тогда
lim ak = lim bk = 0 .
k →∞	k →∞

Доказательство теоремы следует непосредственно из теоремы Римана.

Теорема 11. Пусть функция				f (x)	непрерывна на отрезке			[a, a + 2l] ,
f (a) = f (a + 2l) , ее производная			f	(x) – кусочно-непрерывна, и ряд Фурье
				′
функции f (x) имеет вид
	a0	∞			kπx		kπx
f (x) =		+ ak cos			l	+ bk sin	,	(9)
f (x) =	2	+ ak cos				+ bk sin	,	(9)
	2	k =1					l

тогда ряд Фурье ее производной получается формальным почленным дифференцированием ряда (9) , то есть

′

∞

kπ

kπx

kπ

kπk

(x)

ak sin

bk cos

k =1

Замечание. Равенство (9) справедливо в силу следствия 2 к теореме 2.

Теорема 12. Пусть функция	f (x) непрерывна вместе с производными
до порядка m − 1 включительно,	f ( j) (a) = f ( j ) (a + 2l) j = 0,1,..., m − 1, ( m ≥ 1),
имеет кусочно-непрерывную на отрезке [a, a + 2l] производную порядка m ,

и ряд Фурье функции f (x)

имеет вид

∞

kπx

(x) =

+ ak

cos

+ bk sin

k =1

θ k

∞

тогда

| ak |≤

| bk |≤

, k = 1,2,3,... , где θ k

≥ 0

и ряд θ k2

сходится.

k =1

9. Равномерная сходимость ряда Фурье

Теорема 13.

Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке

[a, a + 2l] ,

f (a) = f (a + 2l) ,

ее производная

′

– кусочно-непрерывна, и ряд Фурье

(x)

имеет вид

∞

kπx

f (x)

+ ak

cos

+ bk sin

(10)

k =1

тогда ряд Фурье сходится абсолютно и равномерно на отрезке [a, a + 2l] .

Напомним, что равномерная сходимость ряда Фурье означает следую-

		a0	n	kπx		kπx
щее. Пусть	Sn (x) =		+ ak cos		+ bk sin		– частичная сумма ряда Фу-
		2		l		l
			k =1

рье. Ряд (10) сходится равномерно на отрезке [a, a + 2l] , по определению, ес-

ли для любого ε > 0 найдется номер N такой, что для всех натуральных n ≥ N и для любого x [a, a + 2l] выполняется неравенство | f (x) − Sn (x) |< ε .

Теорема 13 дает достаточные условия равномерной сходимости ряда Фурье. Можно уточнить теорему, указав скорость сходимости ряда в зависимости от свойств функции.

Теорема 14.	Пусть функция	f (x) непрерывна вместе с производными
до порядка m − 1	включительно	на отрезке [a, a + 2l] , f ( j) (a) = f ( j ) (a + 2l)

j = 0,1,..., m − 1, ( m ≥ 1 ), имеет кусочно-непрерывную производную порядка m

на отрезке, тогда ряд Фурье функции сходится абсолютно и равномерно на отрезке [a, a + 2l] к самой функции, причем для любого x [a, a + 2l] спра-

ведливо неравенство

\| f (x) − Sn	(x) \|<	η n	,
		nm−1/ 2
где η т – числовая последовательность,
	limη n = 0 .
	n→∞

Вернемся к рассмотренным выше примерам. Так, в примерах 1 и 5 ряды Фурье, а также ряд Фурье по косинусам в примере 6 сходятся равномерно.

Отметим, что сумма равномерно сходящегося тригонометрического ряда является непрерывной функцией. Поэтому ряд Фурье в примере 2 не может сходиться равномерно, так как сумма его является разрывной функцией.

Задания для домашней контрольной работы:

Вариант 1.

1. Построить ряд Фурье функции	1,	если	0	≤ x ≤ π	на от-
	f (x) =	если	− π ≤ x < 0
	0,

резке [−π ,π ] . Определить, в каких точках сходится ряд, и чему равна его сумма. Сходится ли ряд равномерно на отрезке [−π ,π ] ?

2. Построить ряд Фурье по синусам функции f (x) = eax на отрезке [0,π ]. Определить, в каких точках сходится ряд, и чему равна его сумма. Сходится ли ряд равномерно на отрезке [0,π ]?

Вариант 2.

1. Построить ряд Фурье функции f (x) = π − 2 | x | на отрезке [−π ,π ] .

Определить, в каких точках сходится ряд, и чему равна его сумма. Сходится ли ряд равномерно на отрезке [−π ,π ] ?

2.	Построить	ряд	Фурье	по	косинусам	функции
1,	если	0 < x ≤ π / 2	на интервале (0,π ) . Определить, в каких точ-
f (x) =	если − π / 2 ≤ x < π		на интервале (0,π ) . Определить, в каких точ-
0,	если − π / 2 ≤ x < π

ках сходится ряд, и чему равна его сумма. Сходится ли ряд равномерно на интервале (0,π ) ?

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке новая папка 1

#
26.02.2023470.18 Кб0599910.pdf
#
26.02.2023596.83 Кб0603113.pdf
#
26.02.2023275.98 Кб1603881.pdf
#
26.02.2023477.32 Кб1603886.pdf
#
26.02.2023334.47 Кб3603889.pdf
#
26.02.2023397.48 Кб0603891.pdf
#
26.02.2023610.59 Кб0603896.pdf
#
26.02.2023580.06 Кб0603897.pdf
#
26.02.2023334 Кб0603898.pdf
#
26.02.2023236.08 Кб0603899.pdf
#
26.02.2023282.33 Кб2603984.pdf