новая папка 1 / 238867

Порядок работы

1.Заполните табл. 4.3.

2.Проверьте ваши апостериорные предположения.

Таблица 4.3

Вопросы к лабораторной работе № 4

1.Понятие эксперимента. Геофизический эксперимент.

2.Событие как результат эксперимента.

3.Элементарный исход.

4.Пространство событий.

5.События, происходящие в результате геофизических экспериментов.

Лабораторная работа № 5

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ДАННЫХ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ ВЫБОРКАМИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН (НА ПРИМЕРЕ ОБРАБОТКИ ИЗМЕРЕНИЙ ФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ГОРНЫХ ПОРОД). ПОСТРОЕНИЕ ГИСТОГРАММЫ

Знание физических свойств горных пород необходимо при анализе геофизических наблюдений, при моделировании геофизических полей. Физические свойства горных пород обычно изучаются в петрофизических лабораториях. Результаты измерений физических свойств горных пород можно рассматривать как выборки значений случайной величины. Статистическая обработка выборки значений случайной величины включает несколько этапов.

•Построение гистограммы.

•Оценка числовых характеристик.

•Построение статистических оценок дифференциальной (плотности) и интегральной функций распределения.

Для построения гистограммы весь диапазон значений случайной величины разбивается на интервалы (разряды, карманы) и подсчитывается частота – число значений случайной величины, попавших в каждый интервал.

11

Для определения длины интервала ( x) или количества интервалов (r) используют эмпирические правила, например:

x = 3ε или x = 2ε , где ε – погрешность измерения величины х. Число значений случайной величины, приходящееся на i-й интервал

(mi), называется частотой, а отношение частоты к объему выборки – частостью ( Pi = mni ). Частость является статистической вероятностью того, что

значение исследуемой случайной величины находится в i-м интервале и, следовательно, частость – статистический аналог плотности распределения. Статистическим аналогом интегральной функции распределения является накопленная частость.

График зависимости частоты от соответствующих интервальных значений случайной величины называется гистограммой (рис. 5.1). В качестве исходных данных рассмотрим значения плотности, измеренные в лаборатории на образцах различных горных пород. Необходимо выполнить статистическую обработку данных и сделать выводы о характере распределения плотности конкретной горной породы.

m

частота

30

25

20

15

10

5

x 2.95 3.05 3.15 3.25 плотность

диапазон значений случайной величины

Рис. 5.1. Гистограмма распределения плотности, измеренной на 72 образцах массива гранодиоритов

Порядок работы

1.Расположить исходные данные в порядке возрастания.

2.Определить диапазон изменения значений плотности (найти минимальное и максимальное значение).

12

3.Разбить диапазон изменения на равные интервалы, исходя из того, что точность определения плотности ε = 0,01 г/см3.

4.Подсчитать частоту попадания в интервал.

5.Определить частость по формуле Pi = mni , где mi – частота попадания

винтервал, n – объем выборки.

6.Подсчитать накопленную частоту попадания в интервал.

7.Подсчитать накопленную частость.

8.Результаты представить в виде табл. 5.1.

9.Построить гистограмму распределения плотности: по оси х – отложить значения плотности, по оси y – частоту.

10.Построить график зависимости накопленной частости от значений плотности.

11.Определите интервал наиболее вероятного значения плотности изучаемой горной породы.

12.Сделайте вывод о возможном законе распределения этой случайной величины.

Вопросы к лабораторной работе № 5

1.Правила разбиения выборки случайных величин на интервалы.

2.Классическое и статистическое определение вероятности.

3.Статистический аналог интегральной функции распределения.

4.Статистический аналог вероятности.

Лабораторная работа № 6

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ДАННЫХ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ ВЫБОРКАМИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН (НА ПРИМЕРЕ ОБРАБОТКИ ИЗМЕРЕНИЙ ФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ГОРНЫХ ПОРОД). РАСЧЕТ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Для каждого распределения можно рассчитать постоянные числовые характеристики, часть из которых являются параметрами распределения. Распределение той или иной случайной величины изучается по выборкам. Состав и объем выборки в каждом конкретном случае может быть различным. Очевидно, мы не способны определить точное значение той или иной характеристики, а можем лишь приближенно ее оценить. Приближенное

13

значение числовой характеристики, полученное по экспериментальным данным, называется оценкой. В табл. 6.1 приведены формулы для расчета точечных оценок некоторых числовых характеристик случайной величины и формулы их расчета по выборке наблюденных данных.

Анализ формул (табл. 6.1) помогает понять смысл данных числовых характеристик. Очевидно, что оценкой математического ожидания является среднее значение, дисперсия и стандарт характеризуют меру разброса (отклонения) значений случайной величины от среднего значения. Заметим, что оценка Q числовой характеристики некоторой случайной величины сама является случайной величиной и зависит от конкретных наблюденных значений.

Порядок работы

1. Рассчитать оценки числовых характеристик исходной выборки по формулам, приведенным в табл. 6.1.

Вопросы к лабораторной работе № 6

1.Перечислите и дайте определение основным числовым характеристикам случайной величины.

2.Что такое оценка числовой характеристики?

Лабораторная работа № 7

ОЦЕНКА ТЕСНОТЫ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ СВЯЗИ МЕЖДУ РАЗЛИЧНЫМИ ПЕТРОФИЗИЧЕСКИМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

Корреляционный анализ решает задачи установления зависимости между изучаемыми признаками или показаниями различных методов и выявляет тип этой зависимости. Самый простой вид связи – линейная зависи-

14

мость. Для оценки тесноты линейной связи используются две числовые характеристики: корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционный момент (ковариация) – математическое ожидание произведения центрированных случайных величин:

где N – размерность векторов X, Y; μX , μY – оценки математических ожиданий случайных величин.

Коэффициент корреляции связан с корреляционным моментом соот-

где N – объем выборок X и Y; σX, σY – оценки стандартных отклонений; μX, μY – оценки математических ожиданий.

Выборочный коэффициент корреляции rˆXY имеет следующие свойства:

–rˆXY ≤1;

–если rˆXY = 0, то величины X и Y не связаны линейной корреляционной

связью;

– если rˆXY =1, имеет место линейная функциональная зависимость

между X и Y.

На рис. 7.1 показаны примеры различных корреляционных связей. Такая диаграмма, отражающая связь между случайными величинами X и Y, называется корреляционным полем.

Порядок работы

1.Оценить тесноту линейной связи двух случайных выборок (значений плотности и скорости распространения упругих волн).

2.Построить корреляционное поле.

3.Сделать и обосновать вывод о степени и форме связи между исследуемыми случайными величинами.

15

X X

Рис. 7.1. Примеры корреляционных связей:

1 – отсутствие корреляции; 2 – слабая положительная корреляция; 3 – слабая отрицательная корреляция; 4 – положительная корреляция

Вопросы к лабораторной работе № 7

1.Какие числовые характеристики определяют тесноту связи между случайными величинами?

2.Какие значения может принимать выборочный коэффициент корре-

ляции?

3.Как можно охарактеризовать степень связи между случайными величинами, если выборочный коэффициент корреляции приблизительно ра-

вен 1, –1, 0?

16

ЛИТЕРАТУРА

1.Богословский В.А. Экологическая геофизика : учеб. пособие для студ. геофиз., геол. и геоэкол. специальностей / В.А. Богословский, А.Д. Жигалин, В.К. Хмелевской. – М. : Изд-во Моск. ун-та, 2000. – 253 с.

2.Мостеллер Ф. Вероятность / Ф. Мостеллер, Р. Рурке, Дж. Томас. – М. :

Мир, 1969. – 428 с.

3.Никитин А.А. Теоретические основы обработки геофизической информации : учебник для вузов / А.А. Никитин. – М. : Недра, 1986. – 340 с.

17

Учебное издание

Муравина Ольга Михайловна

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА В ГЕОФИЗИКЕ

Практикум для вузов

Корректор В.П. Бахметьев

Подп. в печ. 09.04.2012. Формат 60×84/16.

Усл. печ. л. 1,04. Тираж 25 экз. Заказ 202.

Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета.

394000, г. Воронеж, пл. им. Ленина, 10. Тел. (факс): +7 (473) 259-80-26 http://www.ppc.vsu.ru; e-mail: pp_center@ppc.vsu.ru

Отпечатано в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета.

394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3. Тел. +7 (473) 220-41-33

18