новая папка 1 / 270286

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ САРАТОВСКОЙ ОБЛАСТИ

государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Саратовской области

«Саратовский архитектурно-строительный колледж»

«Утверждаю» зам. директора по учебной работе

Муравьёва О.И.______________

______________________2014 г.

Методическое пособие для студентов по изучению

Раздела 3. Основы теории вероятностей и математической статистики

дисциплины «Математика» для специальности среднего профессионального образования

270802.52 «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений» на базе среднего общего образования

Саратов, 2014

Разработал преподаватель математики ГАПОУ СО «САСК» Дерябина Н.И.

2

Содержание

3

1. Предмет теории вероятностей

Наблюдаемые нами события (явления ) можно подразделить на три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Событие называют достоверным в данном опыте, если оно обязательнопроизойдёт в этом опыте.

Например, если в ящике находятся только голубые шары, то событие « из ящика извлечён голубой шар» является достоверным.

Событие называют невозможным в данном опыте, если оно не можетпроизойти в этом опыте. Например, если в ящике находятся только голубые шары, то событие «из ящика извлечён красный шар» является невозможным.

Событие называют случайным в данном опыте, если оно может произойти, а может и не произойти в данном опыте.

Например, событие «при бросании монеты выпал «герб» - случайное».

Невозможно учесть влияние на результат всех причин ( при бросании монеты: сила, с которой брошена монета, форма монеты и т. д.), поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны. Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать исход события, она просто не в силах это сделать. Если же рассматриваются события, которые могут многократно наблюдаться при одних и тех же условиях, то оказывается, что они подчиняются определённым закономерностям, а именно вероятностным закономерностям. Установлением этих закономерностей и занимается теория вероятностей.

Итак, предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Теория вероятностей возникла в 17 веке в работах Паскаля, Ферма, Гюйгенса,Кардано, причём её первоначальное развитие связано с исследованием азартных игр. Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли (1654-1705). Доказанная им теорема, получившая впоследствии название «Закона больших чисел», была первым теоретическим обоснованием ранее накопленных фактов.

Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др. Благодаря П.Л.Чебышеву(1821-1894), его ученикам А.А.Маркову(1856-1922) и

А.М.Ляпунову(1857-1918) теория вероятностей становится стройной математической наукой. Её последующее развитие обязано в первую очередь русским и советским математикам: С.Н.Бернштейн, В.И.Романовский, А.Н.Колмогоров и др.

2. Классическое определение вероятности.

Вероятностью Р(А) события А, связанного с опытом с равновероятными исходами,

называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А, к числу всех исходов. m

Рn (А) = ----- ,

n

где m –число исходов, благоприятствующих событию А; n – число всех возможных исходов опыта.

Свойства вероятности:

1. Вероятность достоверного события равна единице. m=n, поэтому

4

Пример 1. В урне 10 одинаковых шаров, из которых 4 красных и 6 голубых. Какова вероятность, что извлечённый шар окажется голубым?

Решение:

Данное испытание имеет 10 равновозможных элементарных исходов, из которых 6 благоприятствуют событиюА.

m 6 Р(А) = ---- = ---- = 0,6 .

n 10

Пример 2. Из букв слова дифференциал наугад выбирается одна буква. Какова вероятность того, что эта буква будет: а) гласной, б) буквой ч?

Решение:

В слове дифференциал 12 букв, из них 5 гласных. Буквы ч в этом слове нет.

Р(А) = ---- = 0,417 ; Р(В) = 0 .

12

3. Комбинаторика и вероятность.

Размещения, сочетания, перестановки.

Комбинаторными задачами принято называть задачи, в которых необходимо подсчитать, сколькими способами можно осуществить то или иное требование, сделать тот или иной выбор.

Множества элементов, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся друг от друга только порядком следования, называются перестановками этих элементов. Число всевозможных перестановок из n элементов обозначают через Рn , это число равно эн – факториал:

Рn = n!, n! = 1 2 3…n .

Пример3. На собрании пожелало выступить 4 человека. Сколькими способами их можно расположить в списке ораторов?

Решение: Множества из 4 элементов отличаются только порядком следования :

Р = 4! = 4 3 2 1 =24

Размещениями называют множества, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех

возможных размещений определяется формулой.

Аm = n ( n- 1) ( n- 2)…( n- m + 1).

5

Пример 4. Сколькими способами группа из 5 человек может выбрать из своей среды делегатов: одного на конференцию по математике и одного на конференцию по физике?

Решение: Множества из 5 элементов по 2 элемента отличаются как составом, так и порядком следования :

An = 5 ( 5- 4 + 1) = 5 4 =20.

Сочетаниями из n различных элементов по m называются множества, содержащие m элементов из числа n заданных, и которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n элементов по m обозначают: С . Это число выражается формулой.

Пример 5. Группу студентов колледжа должна экзаменовать комиссия из двух преподавателей математики. Сколькими способами может быть составлена такая комиссия, если в колледже пять преподавателей математики?

Решение: Множества из 5 элементов по 2 отличаются только составом:

Пример 6. В урне 4 чёрных и 6 белых шаров. Из урны случайным образом берут один шар. Какова вероятность того, что шар окажется чёрным?

Решение: Найдем число всевозможных перестановок из 5 элементов.

Р5 = 5 ! = 5 4 3 2 1 =120.

Пример 8. Из числа экзаменационных билетов, занумерованных всеми двузначными числами, наугад берётся один. Какова вероятность того, что номер взятого билета состоит из одинаковых знаков?

Решение: Число всех билетов n = А = 10 ( 10 – 9 + 1 ) = 90, Число билетов с одинаковыми цифрами : ( 11, 22, 33, 99) = 9, Вероятность равна:

9 Р(А) = ------ = 0,1.90

Числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством

6

Аn =Рm Сn

При решении комбинаторных задач используют правила:

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В - n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов

(А,В) в указанном порядке может быть выбрана mn способами.

Пример9. В ящике находятся 15 красных, 9 голубых и 6 зелёных шаров. Наугад вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что вынуты 1 зелёный, 2 голубых и 3 красных шара? (событие А) Решение. В ящике всего 30 шаров. Число всех равновозможных исходов будет С . Найдём число исходов, благоприятствующих событию А. Три красных шара можно выбрать из 15 С способами, Два голубых из 9 С способами, один зелёный из 6 С способами. Следовательно ( в силу принципа произведения в комбинаторике), число исходов, благоприятствующих событию А, будет

4.Случайные величины

Дискретные и непрерывные случайные величины.

Под случайной величиной, связанной с некоторым опытом, понимается всякая величина ,которая при осуществлении этого опыта принимает то или иное числовое значение. Например: а) число родившихся мальчиков среди ста новорождённых есть случайная величина, которая имеет следующие случайные возможные значения: 0,1,2,…,100.

б) расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от силы и направления ветра, температуры и т.д., которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку ( а,б ).

В первом примере случайная величина Х могла принять только одно из случайных возможных значений: 0,1,2,…,100. Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений Х. Во втором примере случайная величина могла принять любое из значений промежутка ( а,б ). То есть следует различать дискретные ( прерывные ) и непрерывные случайные величины.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определёнными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

7

5. Закон распределения дискретной случайной величины.

Для задания дискретной случайной величины необходимо перечислить все возможные её значения и их вероятности.

Задания только возможных значений дискретной величины недостаточно, так как случайные величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а вероятности их - различные.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически ( в виде формулы) и графически.

При табличном задании, первая строка таблицы – возможные значения дискретной величины, а вторая – их вероятности:

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что события Х. = х1, Х. = х2,…,Х. = хn образуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий равна единице:

р1 + р2+ …+ рn = 1.

(Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Стрелок произвёл выстрел по цели. Обязательно произойдёт одно из следующих событий: попадание, промах. Эти два несовместных события образуют полную группу.)

Пример 1. Задают ли законы распределения дискретной случайной величины следующие таблицы?

Решение. Первая таблица задаёт закон распределения дискретной случайной величины, поскольку выполняется равенство:

0,1+0,4+0,3+0,2=1.

Вторая таблица не задаёт закон распределения дискретной случайной величины так как сумма вероятностей не равна единице:

0,1+0,2+0,3+0,5 / 1.

Пример 2. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 рублей и 10 выигрышей по 1 руб. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение. Возможные значения Х : х1 =50, х2 =1, х3 =0. Вероятности этих возможных значений

Контроль: 0,01+0,1+0,89=1.

Пример 3. Дискретная случайная величина имеет закон распределения:

8

6. Закон распределения непрерывной случайной величины.

Функция распределения случайной величины Х есть функция F(x), представляющая собой вероятность того, что случайная величина Х в результате испытаний примет значение, меньшее некоторого фиксированного числа х, т.е.

F(x) = P( X < x).

Пример 4. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид

График её распределения:

F(x)

Функция F(x) существует как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.

Закон распределения непрерывной случайной величины удобно задавать с помощью так называемой функции плотности вероятности f(x) (или плотности распределения).

Вероятность Р(а< Х <в) того, что значение, принятое случайной величиной Х, попадёт в промежуток ( а,б), определяется равенством

Р(а<Х< в) = f(х)dх

Пример5. Плотность вероятности случайной величины Х задана функцией

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение из интервала

9

0 при x<0,

F(x)=

при x>0.

Найти её плотность распределения.

Решение. Функция плотности распределения вероятности f (х) равна производной от функции распределения вероятности F(x)

Плотность распределения данной случайной величины определяется функцией

0 при x<0,

f(x) = _2x при x>0. (1+x2) 2

Пример7.Даны вероятности значений случайной величины Х : значение 10 имеет вероятность 0,3; значение 2 имеет вероятность 0,4; значение 8 – вероятность 0,1; значение 4 – вероятность 0,2. Построить ряд распределения случайной величины Х.

Решение. Расположив значения случайной величины в возрастающем порядке, получим ряд распределения:

На плоскости х0р отложим точки (2; 0,4), (4; 0,2) и т. д. Соединив последовательные точки прямолинейными отрезками, получим так называемый многоугольник (или полигон) распределения случайной величины Х.

Р

0,4

0,3

0,2

0,1

0

10