ЛР26_Анализ и эмпирический синтез цифровых фильтров

МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ

Кафедра общей теории связи

Лабораторная работа №26

“Анализ и эмпирический синтез цифровых фильтров”

по дисциплине

Цифровая обработка сигналов

Выполнил:

Студент гр. БСС1952

Проверил:

Ассистент

Кудряшова Анастасия Юрьевна

Москва, 2021

Лабораторная работа 26.1

Цель работы

На персональном компьютере провести анализ нерекурсивных (трансверсальных) цифровых фильтров (ЦФ) 1-го и 2-го порядка; исследовать частотные и временные характеристики фильтров, а также их взаимосвязь со значениями коэффициентов (параметров) ЦФ.

№ варианта
5	0	0	1	0,4	0	0-8кГц	8 кГц

Табл. 1. Таблица значений варианта

1. Для данных из таблицы 1 записать разностное уравнение и системную функцию нерекурсивного ЦФ 1-го порядка

Разностное уравнение в общем виде:

где – выходной сигнал;

– выходной сигнал, задержанный на один такт;

и – количество выходных и входных сигналов;

– входной сигнал, задержанный на m тактов.

Разностное уравнение будет иметь вид:

y_i=x_i + 0.4x_i-1

где - входной сигнал, а - выходной сигнал.

Системная функция ЦФ определяется отношением Z-преобразования отклика Y(z) и Z-преобразования входного воздействия X(z).

,

Подставив в формулу исходные данные из табл. 1., получаем:

2. Изобразите структурную схему ЦФ

Строится структурная схема в соответствии с разностным уравнением цифрового фильтра и системной функцией:

Рис. 1. Структурная схема заданного нерекурсивного ЦФ 1-го порядка ( )

3. Рассчитайте и постройте импульсную реакцию и АЧХ ЦФ(взять 20 значений частот в диапазоне 0-8 кГц)

Импульсной реакцией называется отклик ЦФ на входной единичный импульс:

В соответствии с формулами получаем импульсную реакцию заданного нерекурсивного ЦФ 1-го порядка:

Рис. 2. Импульсная реакция заданного нерекурсивного ЦФ 1-го порядка ( )

Для построения амплитудно-частотной характеристики необходимо произвести замену в системной функции (6), где – период дискретизации, и взять модуль от полученного выражения.

Рис. 3. Амплитудно-частотная характеристика заданного нерекурсивного ЦФ 1-го порядка ( )

Лабораторная работа 26.2

Цель работы

Провести экспериментальный анализ рекурсивных цифровых фильтров (ЦФ) 1-го и 2-го порядка; исследовать частотные и временные характеристики фильтров, их взаимосвязь со значениями коэффициентов ЦФ; определить область устойчивости рекурсивных фильтров 1-го и 2-го порядка.

№ варианта
5	0,4	0	1	0	0	0-8кГц	8 кГц

Табл. 2. Таблица значений варианта

1. Для данных из таблицы 2 записать разностное уравнение и системную функцию нерекурсивного ЦФ 1-го порядка

Разностное уравнение ЦФ записывается в виде

где и – совокупности коэффициентов ЦФ;

и - задержанные копии входного и выходного сигналов ЦФ (на m и l периодов дискретизации).

В соответствии с номером варианта и формулой разностное уравнение заданного ЦФ имеет вид:

Системная функция ЦФ определяется отношением Z-преобразования отклика Y(z) и Z-преобразования входного воздействия X(z).

В соответствии с номером варианта и формулой (3) системная функция заданного ЦФ будет иметь вид:

2. Изобразите структурную схему ЦФ

Рис. 4. Структурная схема заданного рекурсивного ЦФ 1-го порядка

(b₀ = 1; b₁ = b₂ = a₂ =0, a₁ = 0,4)

3. Рассчитайте и постройте по 20 точкам импульсную реакцию и АЧХ. Частота дискретизации = 8 кГц

Импульсной реакцией называется отклик ЦФ на входной единичный импульс:

В соответствии с формулами получаем импульсную реакцию заданного рекурсивного ЦФ 1-го порядка:

График импульсной характеристики ,

Рис. 5. Импульсная реакция заданного рекурсивного ЦФ 1-го порядка

(b₀ = 1; b₁ = b₂ = a₂ =0, a₁ = 0,4)

Для построения амплитудно-частотной характеристики необходимо произвести замену в системной функции (4), где – период дискретизации, и взять модуль от полученного выражения.

Подставив заданные коэффициенты, получим следующую формулу:

Полученный таким образом график АЧХ:

Рис. 6. Амплитудно-частотная характеристика заданного рекурсивного ЦФ 1-го порядка

(b₀ = 1; b₁ = b₂ = a₂=0; a₁=0,4)

Лабораторная работа 26.3

Цель работы

Провести экспериментальный анализ нерекурсивных и рекурсивных цифровых фильтров (ЦФ) 1-го и 2-го порядка; провести эмпирический синтез ЦФ для цифровых прототипов (ФНЧ, ФВЧ и др.) в рамках полного ЦФ второго порядка.

№ варианта
5	0,3	0,5	0,8	2,9	0,1	0-8кГц	8 кГц

Табл. 3. Таблица значений варианта

1. Записать разностное уравнение ЦФ

Разностное уравнение ЦФ записывается в виде

где и – совокупности коэффициентов ЦФ;

и - задержанные копии входного и выходного сигналов ЦФ (на m и l периодов дискретизации).

В соответствии с номером варианта и формулой разностное уравнение заданного ЦФ имеет вид:

Системная функция ЦФ определяется отношением Z-преобразования отклика Y(z) и Z-преобразования входного воздействия X(z). Применяя к правой и левой частям разностного уравнения ЦФ прямое Z-преобразование и используя свойства последнего, получаем следующий вид его системной функции:

В соответствии с номером варианта и формулой системная функция заданного ЦФ будет иметь вид:

2. Изобразить структурную каноническую схему ЦФ

Структурная схема заданного рекурсивного ЦФ 2-го порядка на основе разностного уравнения:

Рис. 7. Структурная схема заданного рекурсивного ЦФ 2-го порядка

(b₀ = 0,8; b₁ =2,9; b₂ =0,1; a₂ =0,3, a₁ = 0,5)

3. Расчет и построение импульсной реакции и амплитудно-частотной характеристики ЦФ

Импульсной реакцией называется отклик ЦФ на входной единичный импульс:

В соответствии с формулами (2) и (5) получаем импульсную реакцию заданного рекурсивного ЦФ 1-го порядка:

График импульсной характеристики , построенный в соответствии с заданными параметрами и формулой:

Рис. 8. Импульсная реакция заданного рекурсивного ЦФ 2-го порядка

(b₀ = 0,8; b₁ =2,9; b₂ =0,1; a₂ =0,3, a₁ = 0,5)

Для построения амплитудно-частотной характеристики необходимо произвести замену в системной функции (4), где – период дискретизации, и взять модуль от полученного выражения.

Подставив заданные коэффициенты, получим следующую формулу:

Полученный таким образом график:

Рис. 9. Амплитудно-частотная характеристика заданного рекурсивного ЦФ 1-го порядка

(b₀ = 0,8; b₁ =2,9; b₂ =0,1; a₂ =0,3, a₁ = 0,5)

4. Рассчитать нули и полюса системной функции ЦФ. Определить является ли данный ЦФ устойчивым.

Нули zo₁ и zo₂ передаточной функции находятся как корни уравнения: b₀z² + b₁z + b₂ = 0. Полюса zp₁ и zp₂ передаточной функции находятся как корни уравнения: z² – a₁z – a₂ = 0. Цифровой фильтр устойчив, если выполняются условия: модули zp₁ и zp₂ меньше единицы.

Найдем нули передаточной функции:

Найдем полюса передаточной функции:

Так как модули zp₁ и zp₂ меньше единицы, то цифровой фильтр устойчив.