Ответы к ГОСу / 20
.doc20. Простейшая формулировка транспортной задачи (ТЗ), кот получила название задачи по критерию стоимости, состоит в след : имеется m пунктов произ-ва некот прод-ции с номерами i=1,m. Эти пункты назовем пунктами произ-ва.Имеется n пунктов потреб-ия этой прод-ции. Назовем их пунктами потребления,кот имеют номер j=1,n . Известна стоимостьCij перевозки единицы прод-ции из i-ого пункта произ-ва в j-й пункт потреб-ия. В i прод-ция произ-ся в кол-ве Ai>0; В j потреб-ся в кол-ве Bj>0.
Треб-ся составить план перевозок, кот полностью удовлетворит спрос потреб-лей в прод-ции т о , чтобы при этом суммарные трансп-ые издержки б/миним-ми. Объемы хранения и потребления грузов предполаг-ся сбалансированными, т е Σ Ai=Bj Предполагается также, что перевозки м/б организованы из любого пункта произ-ва в любой пункт потреб-ия, а трансп-ые издержки пропорциональны объему перевозок. Об-им ч/з Хij(i=1,m;j=1,n) кол-во единиц прод-ции, перевозимого от i-ого отправителя к j-му получателю. Сов-сть (mn) чисел Хij образует матрицу Х=(Хij), кот называют планом перевозок, а сами величины Хij –перевозками. Удельные транспортные издержки (расходы) записывают в форме матрицы С=Сij и наз-ют матрицей тарифов. Исх-е данные ТЗ удобно распол-ть в след т-це , кот наз-ют распред-й таблицей
|
Bj Ai |
B1 |
… |
Bn |
|
A1 |
C11 Х11 |
… |
С1n Х1n |
|
…. |
… |
… |
… |
|
Am |
Cm1 Хm1 |
… |
Cmn Хmn |
Составим математ-ую модель ТЗ. Она
д/отражать все условия и цель з-чи в
матем форме. Цель ТЗ – миним-ть общие
затраты на реаз-ию плана перевозок
–запис-ся след образом F(Х)=ꗬÁIЙ
橢橢뎲뎲
Треб-ся составить план перевозок, кот полностью удовлетворит спрос потреб-лей в прод-ции т о , чтобы при этом суммарные трансп-ые издержки б/миним-ми. Объемы хранения и потребления грузов предполаг-ся сбалансированными, т е Σ Ai=Bj Предполагается также, что перевозки м/б организованы из любого пункта произ-ва в любой пункт потреб-ия, а трансп-ые издержки пропорциональны объему перевозок. Об-им ч/з Хij(i=1,m;j=1,n) кол-во единиц прод-ции, перевозимого от i-ого отправителя к j-му получателю. Сов-сть (mn) чисел Хij образует матрицу Х=(Хij), кот называют планом перевозок, а сами величины Хij –перевозками. Удельные транспортные издержки (расходы) записывают в форме матрицы С=Сij и наз-ют матрицей тарифов. Исх-е данные ТЗ удобно распол-ть в след т-це , кот наз-ют распред-й таблицей
Bj
AiB1…Bn A1 C11
Х11… С1n
Х1n….………Am Cm1
Хm1… Cmn
ХmnСоставим математ-ую модель ТЗ. Она д/отражать все условия и цель з-чи в матем форме. Цель ТЗ – миним-ть общие затраты на реаз-ию плана перевозок –запис-ся след образом F(Х)=к д/б (m+n-1), а ост-ые (m-1)(n-1)клеток б/своб-ми.Опорность плана при записи усл-й ТЗ в виде распр т-цы закл-ся в его ацикличности
Т е в т-це нельзя построить замкнутый цикл ,все вершины кот лежат в занятых клетках. Если из занятых клеток обр-ся цикл, то план не яв-ся опорным.Т о,допустимый план перевозок(табл) б/опорным если:он ацикличен;число занятых им клеток равно (m+n-1). Сущ-ет 2 сп-ба постр-ия начального опорного плана: 1) «метод северо-западного угла» - исх-ые данные записаны в распр т-цу, где пока не указаны объемы перевозок, кот обр-ют опорныйплан ТЗ. Для этого в т-це находим клетку, распол-ую в северо-западном угле (1,1). В ней назначаем макс-ый объем перевозки:Х11=min{A1,B1}-закрылся 1 ряд(либо 1 строка, либо 1 ст-ц). Незакрытые части т-цы:нах-м северо-зап-ую клетку, в ней назначаем макс-но возм-ый объем перев-ки. В рез те закр-ся 1 ряд. В ост-ся части т-цы находим след-ю сев –зап-ю клетку – закроется 1 ряд. Это прод-ся до тех пор пока не б/закрыты все ряды. Это случ-ся ч/з (m+n-1) шагов. На этом шаге закр-ся 2 посл-х ряда. В рез-те в распр т-це в (m+n-1) клетках записаны объемы перевозок Хij, ост клетки пустые- в них объемы перев-к Хij=0.М/показать, что в рез-те указ-ого постр-ия получится опорный план ТЗ . 2) «метод наим стоим-сти» - позв-ет постр-ть нач опорный план более близкий к оптим опорному плану.В распред т-це находим клетку где Сij=min. В ней назн-м maх объем перев-ки.В незакр-й части распр т-цы находим клетку, имеющую наим стоимость ед-цы прод-ции.В ней назн-ем мах объем перев-ки. В рез-те закр-ся 1 ряд. Прод-ая этот процесс ч/з (m+n-1) клетках б/записаны объемы перевозок и закр-ся все ряды. В рез-те получим опорный план. Для того чтобы опорный план Х=(Хij) ТЗ (1)- (4) яв-ся оптим, необ и дост, чтобы сущ-ла система (m+n) чисел Ui и Vj, кот бы удовл след усл-м: Ui+Vj=Cij –для всех занятых клеток (6) Ui+VjCij- для всех своб-х клеток (7) . Числа Ui, Vj –потенциалы соотв-но пунктов про-ва и потр-ия. Сформ-ая теорема носит назв-ие теоремы о потен-х