Ответы к ГОСу / 21

21. Транспортная задача незамкнутого типа. Постановка, способ сведения к задаче замкнутого типа (с обоснованием). Алгоритм решения

Простейшая формулировка транспортной задачи (ТЗ), кот получила название задачи по критерию стоимости, состоит в след : имеется m пунктов произ-ва некот прод-ции с номерами i=1,m. Эти пункты назовем пунктами произ-ва.Имеется n пунктов потреб-ия этой прод-ции. Назовем их пунктами потребления,кот имеют номер j=1,n . Известна стоимостьCij перевозки единицы прод-ции из i-ого пункта произ-ва в j-й пункт потреб-ия. В i прод-ция произ-ся в кол-ве Ai>0; В j потреб-ся в кол-ве Bj>0.

Треб-ся составить план перевозок, кот полностью удовлетворит спрос потреб-лей в прод-ции т о , чтобы при этом суммарные трансп-ые издержки б/миним-ми. Объемы хранения и потребления грузов предполаг-ся сбалансированными, т е Σ Ai=Bj Предполагается также, что перевозки м/б организованы из любого пункта произ-ва в любой пункт потреб-ия, а трансп-ые издержки пропорциональны объему перевозок. Об-им ч/з Хij(i=1,m;j=1,n) кол-во единиц прод-ции, перевозимого от i-ого отправителя к j-му получателю. Сов-сть (mn) чисел Хij образует матрицу Х=(Хij), кот называют планом перевозок, а сами величины Хij –перевозками. Удельные транспортные издержки (расходы) записывают в форме матрицы С=Сij и наз-ют матрицей тарифов. Исх-е данные ТЗ удобно распол-ть в след т-це , кот наз-ют распред-й таблицей

Bj Ai	B1	…	Bn
A1	C11 Х11	…	С1n Х1n
….	…	…	…
Am	Cm1 Хm1	…	Cmn Хmn

Составим математ-ую модель ТЗ. Она д/отражать все условия и цель з-чи в матем форме. Цель ТЗ – миним-ть общие затраты на реаз-ию плана перевозок –запис-ся след образом F(Х)= Σ Σ Cij Хijmin (1) Cоответ-но м/б представлены и огран-ия : Σ Хij=Ai (i=1,m) (2) Σ Хij=Bj (j=1,n) (3) Хij0 (i=1,m;j=1,n) (4) Ур-ия (2) выр-ют треб-ия, чтобы из любого пункта произ-ва б/вывезена ; (3)-чтобы удовл-ть потр-сти всех пунктов потр-ия . Система неравенств (4)означает, сто перевозки осущ-ся только из пунктов отправления в пункты потребления, а обратных перевозок нет. Итак, чтобы решить ТЗ, н/найти mn перем-х величин Хij , удовл-х системе (m+n) урав-ий (2),(3) и усл неотриц-сти (4), для кот ц/ф (1) принимает миним-е значение. Необх и достат усл-ем разрешимости ТЗ (1)-(4) яв-ся равенство всех запасов груза в пунктах отправ-ия (произ-ва)потреб-ям в этих грузах в пунктах назначения(потр-ия) : Σ Ai= Σ Bj (5) Матем-ая модель ТЗ при усл-ии (5) наз-ся закрытой и она служит для ТЗ как бы осн моделью. Однако, на практике часто встр-ся ТЗ, в кот баланс запасов и потр-тей нарушен, т е Σ Ai Σ Bj (6)-такие ТЗ наз-ют несбалансир-ми(незамкнутого типа),или задачами с наруш-м балансом. ТЗ (1)- (4) при (6) не м/б решена. Более того , она не имеет даже допустимых решений, т к для любого допустимого решения Хij д/вып-ся Σ Ai= Σ ΣХij= Σ ΣХij= Σ Bj (i=1,m;j=1,n)(в силу (2), (3) ), что против-ит (6). Это естест-но и с экон-й т зр-я, т к при ус-ии (6) либо не м/б обеспечены треб-ия потр-ей, либо у поставщиков д/остаться невывезенная продукция. Пусть в практике орган-ции перевозок однородного продукта возникла з-ча с усл-ем Σ Ai< Σ Bj (7) Тогда матем модель з-чи орган-ции перевозок с наимен суммарной стоим-тью закл-ся в мин-ции линейной формы: Σ Σсij Хij (8) при огр-х : Σ Хij=Ai, i=1,m (9); Σ ХijBj , j=1,n (10); Хij0, (11). З-ча (8) -(11) м/б решена методом доп перем-х. Для этого к левой части j –ого нер-ва в системе (9) прибав-ся доп-ая перем-я Хm+1,j0, нер-ва (9) зам-сярав-ми Σ Хij=Bij, j=1,n (12) – при этом линейная форма (8) не изм-ся. Согласно этому методу компоненты Хij(i=1,m;j=1,n) реш-я вспом-й з-чи мин-ции ф-ии (8) при огр-х (9) (11) (12) и Х m+1,j0 пред-ют собой решение з-чи (8)- (11). Однако з-ча мин-ции (8) при огр-х (9)(11) (12) и Х m+1,j0 еще не м/б решена методом потенциалов, т к не достает усл-я вида (9 ) с i=m+1. Суммируя рав0ва (12) и учитывая (9), находим Х m+1,j= Bj-  Х ij= Bj- Ai Об-м Bj- Ai=Am+1 Теперь возникла з-ча мин-ции линейной ф-ции (8) при огр-х ( Хij=Ai, i=1,…, m+1 Хij=Bj, j=1,…,n Хij0, i=1,…,m+1;j=1,…,n.) (13) кот м/решаться методом потенциалов. Обоснов-й метод сведения решения з-чи (8)- (11) к мин-ции линейной формы (8) при огр-х (13) имеет след экон смысл . К m пост-ам доб-ся фиктив-й m+1 –й пост-к с запасом прод-ции A m+1= Bj- Ai. Стоимости перевозок из m+1 –го пункта снабжения полаг-ся =0, т е Cm+1,j=0 (люб j=1,…,n)Пол-ая з-ча реш-ся м-ом потенциалов.(при  Ai> Bj  ХijAi,i=1,m; Σ Хij=Bj , j=1,n ; Хij0)