Методички, лабы, задачи, РГР / Манжосов [УлГТУ] - Лабораторные работы по сопротивлению материалов часть 1
.pdf
σ = − Мz y, |
(9.1) |
J z |
|
где J z – момент инерции относительно нейтральной оси |
z , y – координата |
точки сечения, в которой определяется напряжение. |
|
Рис. 9.2
Максимальные нормальные напряжения (рис. 9.2) возникают в точках сечения, наиболее удаленных от нейтрального слоя и равны
σмак = |
ΜΖ |
, |
(9.2) |
|
|||
|
WΖ |
|
|
где W z – осевой момент сопротивления сечения.
Касательные напряжения в поперечном сечении определяются по формуле Журавского
Q S*
τ = y z , (9.3) bу J z
где S*z – статический момент отсеченной части сечения относительно нейтральной оси; b у – ширина сечения в месте горизонтального среза (горизон-
тальный срез проводится параллельно плоскости XZ через точку сечения, в которой определяется напряжение).
Распределение касательных напряжений по высоте прямоугольного сечения показано на рис. 9.2.
Сравнение теоретического и экспериментального значений напряжений проводится для двухопорной балки
(рис. 9.3) в сечениях 1 – 1 и 2 – 2. Максимальное теоретическое значение напряжения в сечениях 1 – 1 и 2 – 2
равно
21
|
M z |
|
P |
c |
|
|
3Pc |
|
|
||
σmax = |
= |
2 |
|
= |
. |
(9.4) |
|||||
|
|
bh |
2 |
|
|
||||||
|
Wz |
|
|
|
|
|
bh2 |
|
|||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Экспериментальные значения σmax в сечениях 1 – 1 и 2 – 2 определяются электротензометрическим методом.
Рис. 9.3
Если T приращение показаний датчиков от нагрузки P , то |
|
σmax = γσ T , |
(9.5) |
где γσ – коэффициент тензочувствительности по напряжениям.
Для повышения точности эксперимента проводится несколько нагруже-
ний образца с постоянным шагом по нагрузке |
P и определяется σmax |
от дей- |
|
ствия P . Формула (9.5) принимает вид |
|
|
|
σmax = γσ Tср , |
(9.6) |
||
где Tср – среднее приращение показаний тензодатчиков от нагрузки |
P . Так |
||
при трех ступенях нагружения |
|
|
|
Tср = |
∑ T1 + ∑ T2 |
, |
|
6 |
|
||
|
|
|
|
22
где T1 , T2 – приращения показаний первого и второго датчиков.
9.4. Постановка опыта
На балку наклеиваются два тензодатчика (рис. 9.3). С помощью прибора ИД-70 снимаются показания датчиков без нагрузки. Проводится три нагружения балки сосредоточенной силой, которую создает сила тяжести груза массой в 1 кг, 2 кг, 3 кг. Сила тяжести приложена в середине пролета балки, шагом по нагрузке P = 9,81 Н. На каждом шаге нагружения снимаются показания тензодатчиков. Показания тензодатчиков заносятся в таблицу.
9.5.Бланк отчета
1.Цель работы.
2.Схема двухопорной балки.
3. |
Размеры и геометрические характеристики балки: |
l = |
2 |
|
(м) , b= |
(м), |
||||||||||||||||||
|
h= (м), с= |
(м), J z |
= |
|
bh3 |
= |
(м4 ), |
W z = |
|
bh |
= |
(м3 ). |
|
|
||||||||||
|
12 |
|
6 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
Теоретическое значение |
σmax |
в сечениях 1 – 1 и 2 – 2 от нагрузки |
|
P |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
σmaxтеор = |
M z |
= |
|
2 c |
= |
3 P c |
|
= |
|
(МПа) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Wz |
bh2 |
bh2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Коэффициент тензочувствительности по напряжениям |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γσ = |
(МПа/ед. шкалы). |
|
|
|
|||||
6. |
Таблица результатов опыта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Масса |
Сила, |
|
|
P( H ) |
|
|
|
Т1 |
|
T1 |
|
|
Т1 |
T2 |
|
|
||||||||
груза, кг |
Р(Н) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
9,8 |
|
9,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
19,6 |
9,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
29,4 |
9,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7. |
Среднее приращение показаний тензодатчиков при трех ступенях нагруже- |
|||||||||||||||||||||||
|
ния |
|
|
|
T = ∑ T1 + ∑ T2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ср |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Экспериментальное значение |
σmax в сечениях 1 – 1 и 2 – 2 от нагрузки |
|
P |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
σ эксп = γ |
σ |
|
T |
|
= |
|
(МПа). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
max |
|
|
ср |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.Сопоставление теоретического и экспериментального значений напряжений
σтеор −σ эксп
σ= max max 100 % = (%) .
σmaxтеор
9.6.Контрольные вопросы
1.Какой вид деформации балки называется поперечным изгибом ?
2.Как определяются нормальные напряжения в поперечном сечении при изгибе балки ?
3.Как определяются касательные напряжения в поперечном сечении при изгибе балки ?
4.Что такое нейтральный слой и нейтральная ось и как они расположены ?
5.Как определяются геометрические характеристики поперечного сечения и какую они имеют размерность ?
6.В каких точках поперечного сечения возникают при изгибе максимальные нормальные напряжения?
7.В каких точках поперечного сечения возникают при изгибе максимальные касательные напряжения?
8.Как определяются напряжения электротензометрическим методом?
9.Чем объясняется расхождение теоретического и экспериментального значений нормальных напряжений?
9.7.Библиографический список
15.Феодосьев В. И. Сопротивление материалов / В. И. Феодосьев. – М.: Высшая школа, 1989. – 624 с.
16.Дарков А. В. Сопротивление материалов / А. В. Дарков, Г. С. Шпиро. – М.: Высшая школа, 1989. – 624 с.
17.Александров А. В. Сопротивление материалов / А. В. Александров, В. Д. Потапов, Б. П. Державин. – М.: Высшая школа, 1995. – 540 с.
18.Грибов А. П. Сопротивление материалов: сборник лабораторных работ
/А. П. Грибов, А. М. Стахорский, С. В. Черная. – Ульяновск: УлПИ, 1989.
– 68 с.
19.Манжосов В. К. Лабораторные работы по сопротивлению материалов. Часть 1 / В. К. Манжосов. – Ульяновск: УлГТУ, 2004. – 28 с.
20.Манжосов В. К. Расчет стержней при поперечном изгибе: методические указания / В. К. Манжосов. – Ульяновск: УлГТУ, 1996. – 84 с.
21.Манжосов В. К. Расчет стержней при поперечном изгибе: методические указания / В. К. Манжосов. – Ульяновск: УлГТУ, 2001. – 30 с.
22.Манжосов В. К. Сопротивление материалов. Основные положения и примеры решения заданий. Часть 1: учебное пособие / В. К. Манжосов, О. Д. Новикова. – Ульяновск: УлГТУ, 2004. – 136 с.
24
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10 «ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИ ИЗГИБЕ БАЛКИ»
10.1. Цель работы
Опытное определение прогибов балки и сравнение их с теоретическими значениями.
10.2. Оборудование
Работа проводится на специальной установке, схема которой приведена на рис. 10.1. Установка состоит из шарнирно-закрепленной балки (1), гиревого подвеса (2), основания (3), двух шарнирных опор (4) и набора грузов. Для измерения прогибов применяется индикатор часового типа (5). Индикатор имеет две шкалы: малую с ценой деления 1 мм и большую – с ценой деления 0,01 мм.
Рис. 10.1
10.3. Основные теоретические положения
Рассмотрим деформацию балки прямоугольного поперечного сечения, закрепленную на двух шарнирных опорах, на которую действует сосредоточенная сила P (рис. 10.2).
25
Рис. 10.2
При деформации точки оси балки получают вертикальные перемещения (прогибы), а поперечные сечения поворачиваются на некоторые углы.
Пусть С произвольная точка оси балки. Прогиб точки С обозначим через v , а угол поворота сечения , проходящего через точку С оси балки, как θ.
В теории изгиба балок прогибы считаются малыми по сравнению с длиной балки, а квадраты углов поворота малыми по сравнению с единицей.
Прогибы и углы поворота сечений связаны зависимостью
θ(x) = |
∂v(x) . |
(10.1) |
|
∂x |
|
Между кривизной оси изогнутой балки, жесткостью и изгибающим моментом существует зависимость
|
|
1 |
= |
Мz |
, |
(10.2) |
||
|
|
|
ρ |
EJ z |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
где |
1 |
– кривизна изогнутой оси балки, M z – изгибающий момент, |
EJ z – из- |
|||||
ρ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
гибная жесткость поперечного сечения.
Формула (10.2) получена в предположении выполнения гипотезы плоских сечений исправедливости закона Гука при растяжении.
По гипотезе плоских сечений: поперечные сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Из зависимости (10.2) с использованием исходных гипотез и выражения для кривизны изогнутой оси балки выводится дифференциальное уравнение упругой линии
∂2v |
= |
M z |
. |
(10.3) |
|
∂x2 |
EJ z |
||||
|
|
|
Результат интегрирования дифференциального уравнения для балки (рис. 10.3), нагруженной различными видами нагрузок, можно представить в виде универсального уравнения упругой линии.
EJ v = EJ v0 + EJ θ0 |
x |
+ |
М(x − a)2 |
|
+ |
P(x −b)3 |
− |
q(x −c)4 |
+ |
q(x − d)4 |
. |
(10.4) |
2! |
|
3! |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
4! |
4! |
|
|
||||
|
|
I |
|
II |
|
III |
IY |
Y |
|
|||
26
В уравнении (10.4) v0 и θ0 – прогиб и угол поворота в начале коорди-
нат (начальные параметры). Чтобы получить аналитическое уравнение упругой линии на каком-либо участке, в универсальном уравнении нужно сохранить члены, стоящие слева от вертикальной черты с номером этого участка. Начальные параметры v0 и θ0 определяются из граничных условий.
Рис. 10.3
Определим методом начальных параметров прогиб середины пролета балки, изображённой на рис.10.1.
Из уравнений равновесия балки реакции в опорах А и В равны
R A = R B = |
P |
. |
|
2 |
|||
|
|
Универсальное уравнение (10.4) принимает вид
|
|
|
|
(x − |
l |
3 |
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
EJ v = EJ v0 + EJ θ0 x + R A |
|
− P |
2 |
|
|
. |
(10.5) |
|||
3! |
|
3! |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
II |
|
|
Граничные условия: при x = 0 y = 0 , при x = l ловий
EJ v0 = 0, |
EJ θ0 |
= |
Pl 2 |
− |
Pl 2 |
|
48 |
12 |
|||||
|
|
|
|
y = 0. Из граничных ус-
= – 3Pl 2 . 48
Прогиб середины пролета по уравнению (10.5) равен
EJ v = – |
3 |
|
Pl |
2 l |
+ |
P |
|
l3 |
= – |
Pl3 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
48 |
2 |
2 |
48 |
48 |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
27
Для определения опытного значения прогиба балки в середине пролета проводятся три нагружения с постоянным шагом по нагрузке ΔΡ. Прогиб от нагрузки ΔΡ равен
vэксп. = ∑3 y ,
где v – приращение показаний индикатора на каждом шаге нагружения.
10.4. Постановка опыта
Вращением подвижной шкалы большая стрелка индикатора устанавливается на нуль и записывается показание малой стрелки. Проводится три нагружения балки грузами массой 1 кг, 2 кг, 3 кг, которые создают силу тяжести с шагом по нагрузке ΔΡ = 9,81 Н. На каждом шаге нагружения снимаются показания индикатора.
10.5.Бланк отчета
1.Размеры и необходимые геометрические характеристики балки:
|
|
l = (м), b = |
|
(м), |
h = |
(м), |
J z = |
bh3 |
= |
(м4 ). |
||||||
|
|
|
12 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Модуль упругости стали, из которой изготовлена балка, |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Е = |
|
|
(МПа). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
Таблица результатов опыта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v (м) |
|
|
|
Р(Н) |
|
P(H ) |
|
|
|
|
|
|
v (м) |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
- |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
9,81 |
|
9,81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19,62 |
|
9,81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29,43 |
|
9,81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Экспериментальное значение прогиба в середине пролета от нагрузки P |
|||||||||||||||
|
|
|
vэксп. = |
|
∑ v |
|
= |
|
(м). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Теоретическое значение прогиба в середине пролета от нагрузки |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
vтеор. |
|
|
ΔΡl3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= |
|
|
|
= |
(м). |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
48EJ z |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Сравнение теоретического и экспериментального значений прогиба
vтеор. −vэксп. 100 % = vтеор.
10.6.Контрольные вопросы
1.Какие перемещения получают точки оси балки при изгибе?
2.Какая зависимость между прогибами и углами поворота сечений?
3.При каких прогибах и углах поворота справедлива теория изгиба балок?
4.Какие гипотезы приняты в теории изгиба балок?
5.Как записывается дифференциальное уравнение упругой линии?
6.Как записывается универсальное уравнение упругой линии?
7.Что такое начальные параметры и из каких условий они определяются?
8.Почему при экспериментальном определении прогиба проводится несколько нагружений?
9.Чем объясняется расхождение между теоретическим и экспериментальным значениями прогиба?
10.7.Библиографический список
23.Феодосьев В. И. Сопротивление материалов / В. И. Феодосьев. – М.: Высшая школа, 1989. – 624 с.
24.Дарков А. В. Сопротивление материалов/ А. В. Дарков, Г. С. Шпиро. – М.: Высшая школа, 1989. – 624 с.
25.Александров А. В. Сопротивление материалов / А. В. Александров, В. Д. Потапов, Б. П. Державин. – М.: Высшая школа, 1995. – 540 с.
26.Грибов А. П. Сопротивление материалов: сборник лабораторных работ
/А. П. Грибов, А. М. Стахорский, С. В. Черная. – Ульяновск: УлПИ, 1989.
– 68 с.
27.Манжосов В. К. Лабораторные работы по сопротивлению материалов. Часть 1 / В. К. Манжосов. – Ульяновск: УлГТУ, 2004. – 28 с.
28.Манжосов В. К. Расчет стержней при поперечном изгибе: методические указания / В. К. Манжосов. – Ульяновск: УлГТУ, 1996. – 84 с.
29.Манжосов В. К. Расчет стержней при поперечном изгибе: методические указания / В. К. Манжосов. – Ульяновск: УлГТУ, 2001. – 30 с.
30.Манжосов В. К. Сопротивление материалов. Основные положения и примеры решения заданий. Часть 1: учебное пособие / В. К. Манжосов, О. Д. Новикова. – Ульяновск: УлГТУ, 2004. – 136 с.
29