Добавил:

Mehanik Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Технический Университет им. Р.Е. Алексеева

Предмет:

Сопротивление материалов

Файл:

Методички, лабы, задачи, РГР / Манжосов [УлГТУ] - Изгиб с кручением стержня круглого поперечного сечения. Методические указания

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2023

Размер:

552 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

M 2

+ M 2

Mизг

, M

M 2

+ M 2

(1.36)

max

изг

где Mизг – модуль полного изгибающего момента.

Тогда опасным по нормальным напряжениям будет то поперечное сечение стержня, в котором Mизг достигает наибольшего значения.

Итак, в точках круглого поперечного сечения, удаленных от центра тяжести на расстоянии, равном радиусу круга, возникают максимальные по моду-

лю нормальные напряжения σ max =

Mизг

и максимальные по модулю каса-

тельные напряжения от действия крутящего момента M x

τ max (M x )

M x

(1.37)

В центре тяжести поперечного сечения возникают максимальные каса-

тельные напряжения от действия поперечной силы

τ max (Q) =

Q =

Qy2 + Qz2 .

(1.38)

Как правило, более опасными являются периферийные точки круга. Проанализируем напряженное состояние в этих опасных точках.

Выделим в окрестности опасной точки элементарный объем (рис.16, а), по граням которого действуют нормальные напряжения σ x и касательные напря-

жения τ xt (по граням, совпадающим с поперечным сечением стержня).

τ xt

τ tx

d x

d	f

τD

					D 1
σ xd r	σ 3				C 1	σ 1
	σ 3			σ	C 1	σ 1	σ
	A	O	O 1		x	B	σ
r	A					B

D 2

б)

Рис. 16

По перпендикулярным граням, плоскость которых проходит через продольную ось х, действуют только касательные напряжения τ t x (первый индекс

соответствует направлению нормали к грани, а второй индекс – направлению

самого касательного напряжения). На рис. 16, а напряжения на невидимых гранях условно не показаны, чтобы не загромождать рисунок.

Решение обратной задачи при анализе напряженного состояния в опасной точке (определение главных напряжений σ 1 и σ 3 ) при известных нормальных

(σ x ≠ 0 , σ t = 0) и касательных τ xt и τ t x напряжений в двух взаимно перпен-

дикулярных гранях элементарного объема осуществим путем построения круга Мора (рис. 16, б).

Для этого проведем координатные оси σ и τ (рис. 16, б). На оси σ отложим отрезок OC1, соответствующий в определенном масштабе нормально-

му напряжению σ x . Из точки C1 построим отрезок C1D1, соответствующий в масштабе значению касательного напряжения τ xt . Так как во взаимно перпен-

дикулярной грани нормальные напряжения σ t = 0 (изображающая это напря-
жение точка на оси σ совпадает с началом координат – точкой О) и действуют
только касательные напряжения τ t x , то из точки О строим отрезок ОD2 , соот-
ветствующий в масштабе касательному напряжению τ t x .
	По закону парности касательных напряжений следует, что τ t x = τ xt . По-
этому отрезки ОD2 и C1D1 равны между собой. Соединим точки D1 и D2 . Пе-
ресечение отрезка D1D2 с осью σ							произойдет в точке О1 , причем ОО1 =
=О С =		σ	х	. Радиусом	О D из точки		О проведем окружность, которая пере-

1	1		2		1	1	1

сечет ось σ в точках А и В. Отрезок ОА в масштабе соответствует главному

напряжению σ

3 , а отрезок ОВ – главному напряжению σ

1 .

Радиус О1D1 окружности равен

1 − σ

О D = σ

3 .

(1.39)

С другой стороны О1D1 −

гипотенуза прямоугольного треугольника О1С1D1 и

О D =

(O C )2 + (C D )2 =

2 .

(1.40)

Приравнивая равенства (1.39) и (1.40), получим

−

x2 + 4τ xt2 .

τ xt2

или

1 −

σ 3

(1.41)

Отрезок ОВ = ОО1 +О1В . Переходя к напряжениям, имеем

τ xt2 .

(1.42)

Отрезок ОА = О1О – О1 А. Переходя к напряжениям и учитывая, что

σ 3 < 0,

получим

τ xt2 .

3 =

–

(1.43)

Mизг

Если учесть, что в опасной точке поперечного сечения σ х = σ max =

, а ка-

сательные напряжения τ

xt = τ max (M x )

M x

, то при изгибе с кручением

стержня круглого поперечного сечения в опасных точках сечения

изг

M 2

изг

x ,

(1.44)

2Wy

изг

M 2

–

изг

x .

(1.45)

2Wy

Если учесть, что для круглого поперечного сечения полярный момент сопротивления Wp = 2Wy , то последние равенства можно преобразовать к виду

σ 1	=	1	(M изг +	Mизг2	+ M 2х ) ,			(1.46)
		2Wy
σ 3	=	1	(M изг −	Mизг2	+ M 2х ) .			(1.47)
		2Wy
Если теперь учесть, что Мизг2		= М y2 + M z2 , то
M 2	+ M 2		= M 2	+ M 2+	M 2 = M	0	,	(1.48)
изг		х	x	y	z	0

где M 0 − модуль главного момента внутренних сил в поперечном сечении при

приведении их к центру тяжести сечения. Тогда

σ 1	=		1		M изг +	М0	,		(1.49)
		Wy		2

σ 3	=		1		Mизг −	М0		.	(1.50)
			Wy	2

4. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ С КРУЧЕНИЕМ СТЕРЖНЯ КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

При расчете на прочность в опасных точках опасного сечения анализиру-

ется неравенство

σ экв ≤ [σ ],

(1.51)

где σ экв −

эквивалентные нормальные напряжения,

учитывающие главные на-

пряжения

σ 1 , σ

2 , σ

3 по главным площадкам в опасной точке;

[σ

] −

допус-

каемые напряжения для материала стержня.

Для вычисления σ экв можно воспользоваться формулами соответствую-

щих теорий прочности. По третьей теории прочности

(σ

экв )3 = σ 1 − σ 3 .

(1.52)

Учитывая выражения для σ 1

и σ

3 , получим

(σ экв )3 =

M х2 + M 2y+ M z2

(М пр )3

(1.53)

где (М

пр

)

= M

2 + M 2+

M 2 – приведенный момент в поперечном се-

чении, вычисленный по третьей теории прочности.

По четвертой теории прочности

(σ

экв )4

[(σ

1 −

σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 +

(σ 1 − σ 3 )2] .

(1.54)

При изгибе с кручением стержня круглого поперечного сечения в окрестности опасной точки одна из главных площадок элементарного объема находится на боковой поверхности стержня и нормальные напряжения там отсутствуют . Тогда, принимая, что σ 2 = 0, получим

(σ

экв

)

1 (2σ

2 + 2σ

− 2σ σ

) =

+ σ

− σ σ

Так как с учетом выражений (1.49) и (1.50) для σ 1

и σ

12 + σ

M изг2 +

М02

σ 1 σ

Mизг2

−

М02

Wy2

то

σ 12 +

32 – σ

1 σ

M изг2 +

М02

–

Mизг2

−

М02

и после

Wy2

преобразований получим

12 +

32 – σ 1 σ

(Mизг2

+ 3 М х2 ).

Wy2

Тогда эквивалентные напряжения по 4-й теории прочности

(σ

экв )4

0,75М

(М пр )4

(1.55)

изг +

где

(Мпр )4 =

Мизг2 +

0,75М х2

М y2 +

M z2 + 0,75М х2

– приведенный мо-

мент в поперечном сечении, вычисленный по 4-й теории прочности.

Вернемся теперь к условию прочности (1.51) σ экв ≤

[σ

], которое с учетом

(1.53) и (1.55) запишем как

(M пр )i

≤ [σ

] ,

i = 3

или i = 4

(1.56)

где

индекс

i = 3 означает, что приведенный момент (Мпр )i вычисляется по

третьей теории прочности с использованием формулы (1.53),

(М

пр

)

M 2

M 2+ M 2 ,

(1.57)

а индекс i = 4 означает, что приведенный момент (Мпр )i

вычисляется по чет-

вертой теории прочности с использованием формулы (1.55),

(Мпр )4 =

Мизг2 +

0,75М х2

М y2 + M z2 +

0,75М х2 .

(1.58)

Расчет на прочность может проводиться

как поверочный и связан с ана-

лизом выполнения неравенства (1.56) при известных значениях Мпр , осевого момента сопротивления поперечного сечения Wy и допускаемого напряжения [σ ] . Расчет на прочность может проводиться как проектировочный и связан, как правило, либо с определением Wy , либо с определением [σ ] и выбором

материала.

При проектировочном расчете, когда неизвестной величиной является

Wy , из формулы (1.56) следует

(M пр )i

≥

, i =

3 или

i =

(1.59)

[σ ]

Для круглого кольцевого сечения стержня

−

Wy =

π (Dc

dc )

π Dc

[1−

] ,

(1.60)

где Dc − диаметр внешней

окружности

кольцевого сечения; dc −

диаметр

внутренней окружности кольцевого сечения.

Если задано соотношение

k , то диаметр D

может быть определен из

(1.59) с учетом (1.60) как Dc

≥

32(М пр )i

]

, а диаметр dc = kDc .

(1.61)

π (1− k 3 )[σ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В методических указаниях изложены основные положения расчета стержня круглого поперечного сечения при изгибе с кручением. Показана особенность составления расчетной схемы стержня, когда точки приложения внешних сил лежат вне продольной оси стержня. Приведены формулы для вычисления угла α p , определяющего положение линии действия силы Р относи-

тельно координатных осей и позволяющего легко находить составляющие этой силы, параллельных координатным осям y и z поперечных сечений

стержня.

На основе принципа независимости действия сил схема нагружения стержня, испытывающего изгиб с кручением, представляется в виде трех независимых схем нагружения: изгиб стержня при нагружении его в плоскости y − x , изгиб стержня при нагружении его в плоскости z − x , кручение

стержня.

Показана процедура расчета стержня при нагружении его в плоскости y − x , при нагружении его в плоскости z − x , при кручении стержня, которая

предполагает определение реакций в опорах и определение внутренних силовых факторов в поперечных сечениях стержня.

Даны формулы для расчета нормальных напряжений в точках поперечного сечения стержня от действия изгибающих моментов M y и M z , касатель-

ных напряжений от действия крутящего момента M x в поперечном сечении, от действия поперечных сил Qy и Qz . Определено положение опасных точек в

поперечном сечении стержня, а также опасное сечение.

На основе построения круга Мора показана процедура определения главных напряжений в опасных точках поперечного сечения. Приведена последовательность расчета на прочность круглого стержня , испытывающего изгиб с кручением.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. − М.: Наука, 1986.− 512 с.

2.Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивлеие материалов. − М.: Высшая школа, 1989. − 624 с.

3.Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивлеиие ма-

териалов. − М.: Высшая школа, 1995. − 540 с.

4.Манжосов В. К. Изгиб с кручением стержня круглого поперечного сечения: Методические указания. − Ульяновск: УлГТУ, 1997. − 40 с.

5.Манжосов В. К. Определение внутренних силовых факторов в стерж-

невых системах: Методические указания. − Ульяновск: УлГТУ, 1998. – 44 с. 6. Манжосов В. К. Расчет стержней при сложном нагружении. Косой из-

гиб: Методические указания. − Ульяновск: УлГТУ, 1999. − 40 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Задание : Изгиб с кручением стержня круглого поперечного сечения

Техническое задание:

Для передачи мощности N служит зубчатая передача (ведущий вал − I, ведомый вал − III, промежуточный вал − II). Частота вращения промежуточного вала nII, направление вращения показано на схемах рис. 17 − 19 Приложения. Силы взаимодействия зубчатых колес направлены по линиям зацепления, расположенным под углом α =20° к касательной сопряженных окружностей зубчатых колес. Каждую из этих сил можно разложить на окружную Pt и ра-

диальную Pr составляющие, причем Pr ≈0,4 Pt . Диаметры сопряженных

окружностей зубчатых колес промежуточного вала равны D1 и D2. Потерей мощности на трение в подшипниках и в зацеплении пренебречь. Схемы зубчатых передач изображены на рис. 17 − 19 Приложения.

Требуется:

1. Определить величины и направления сил, действующих на зубчатые колеса промежуточного вала II и привести их к центрам тяжести соответствующих сечений вала .

2.Построить эпюры крутящего Mх и изгибающих My и Mz моментов.

3.Построить эпюру суммарного изгибающего момента, пользуясь

формулой M = M y2+ M z2 .

4.Найти положение опасного сечения и определить максимальный приведенный момент Мпр по третьей теории прочности .

5.Подобрать диаметр вала d при заданном значении [σ ] и округлить это значение до ближайшего большего.

Исходные данные, определяющие значения мощности N, частоты вращения nII , диаметров сопряженных окружностей зубчатых колес D1 и D2, длин участков промежуточного вала a, b и c , представлены в табл.1

	28
1	2

Рис. 17

	29
11	12

Рис. 18

	30
21	22

Рис.19

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Методички, лабы, задачи, РГР