Добавил:

Mehanik Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Технический Университет им. Р.Е. Алексеева

Предмет:

Сопротивление материалов

Файл:

Методички, лабы, задачи, РГР / Манжосов [УлГТУ] - Изгиб с кручением стержня круглого поперечного сечения. Методические указания

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2023

Размер:

552 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

В. К. Манжосов

ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ СТЕРЖНЯ КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Методические указания

Ульяновск 2002

УДК 539.3

ББК М 23

Рецензент: д.ф.-м.н., профессор Грибов А. П.

Манжосов В. К.

М 23 Изгиб с кручением стержня круглого поперечного сечения: Методические указания. − Ульяновск: УлГТУ, 2002. – 31 с.

Методические указания составлены в соответствии с учебными программами по дисциплине «Сопротивление материалов» для направлений «Машиностроительные технологии и оборудование», «Транспортные машины и транспортно-технологические комплексы», «Эксплуатация транспорта и транспортного оборудования».

Методические указания предназначены для студентов при изучении раздела «Расчет стержня при сложном нагружении», выполнении контрольных и расчетнопроектировочных заданий по данной теме, самостоятельной работе.

Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета

Ульяновский государственный технический университет, 2002

3
СОДЕРЖАНИЕ
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ........................................................................	4
1. СОСТАВЛЕНИЕ РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ СТЕРЖНЯ...............................	4
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В
ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЯХ СТЕРЖНЯ..................................................	10
2.1. Нагружение стержня в плоскости y – x..........................................	10
2.2. Нагружение стержня в плоскости z – x..........................................	12
2.3. Нагружение стержня моментами M1 и M 2 , плоскость действия
которых перпендикулярна продольной оси стержня............................	13
3. НАПРЯЖЕНИЯ В ТОЧКАХ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ	ПРИ
ИЗГИБЕ С КРУЧЕНИЕМ ...........................................................................	14
4. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ С КРУЧЕНИЕМ
СТЕРЖНЯ КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ................................	24

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ……………………………………………………………….. 26

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ...........................................................................

ПРИЛОЖЕНИЕ ………………………………………………………………. 27

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Изгиб с кручением стержня возникает тогда, когда внешние силы (вклю-
чая и реакции внешних связей) создают на участках стержня моменты сил от-
носительно продольной оси стержня (примем за продольную ось – ось х) и ко-
ординатных осей y и	z, лежащих в плоскости рассматриваемого поперечного
сечения. Для круглого поперечного сечения стержня любые оси поперечного
сечения, проходящие через его центр тяжести – главные центральные оси. По-
этому оси y и z являются главными центральными осями инерции поперечно-
го сечения.				α 2
			P
		y		2
	1			2
			K2
				α
	α к1				к2
A		O 1		O 2	B
					x

P1 α 1 Рис. 1

Характерный вид такого нагружения показан на рис. 1. Стержень (вал), установленный на опорах А и В, имеет жесткие диски 1 и 2, плоскость которых перпендикулярна продольной оси стержня х. В плоскости этих дисков соответственно в точках К1 и К2 приложены силы Р1 и Р2

Положение точки К1 на окружности радиуса О1 К1 зададим углом α К1 между осью y и радиусом O1K1 . Положение точки К2 на окружности радиуса О2 К2 зададим углом α К 2 между осью y и радиусом O2 K2 . Если ось y до совмещения с радиусом Oi Ki поворачивается против часовой стрелки, то угол α Кi считается положительным, если по часовой стрелке – то отрицательным.

Предположим, что линии действия сил Р1 и Р2 составляют с касательными к окружностям в точках К1 и К2 соответственно углы α 1 и α 2 . Полагаем

также, что под действием сил Р1 и Р2 стержень находится в состоянии покоя или равномерного вращения (состоянии статического равновесия). Покажем, что стержень при таком нагружении будет испытывать изгиб с кручением.

1. СОСТАВЛЕНИЕ РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ СТЕРЖНЯ

При составлении расчетной схемы стержня силы Р1 и Р2 , приложенные в точках К1 и К2 вне продольной оси стержня, необходимо привести к продоль-

ной оси стержня, выбрав в качестве центра приведения для силы Р1 точку О1, а для силы Р2 – точку О2 . Точки О1 и О2 – это точки пересечения плоскости дисков 1 и 2 с продольной осью стержня.

При приведении силы P1 из точки K1 в точку O1 необходимо добавить момент силы P1 относительно центра приведения (момент M1 ). Модуль мо-

мента M1 равен											D1
M	1	= O K	1	P cosα	1	,	M	1	= P		D1	,	(1.1)
M		= O K		P cosα		,	M		= P			,	(1.1)
		1		1					1t	2
где P1t = P1 cosα 1 – модуль окружной составляющей силы P1													(модуль проек-
ции силы P1 на касательную к окружности в точке K1); D1 –													диаметр окруж-
ности с радиусом O1K1 .

Процедура определения сил и моментов в ряде задач может быть обратной. По постановке задачи вначале может быть определен модуль момента силы P1 относительно точки O1 (момент M1). Затем при известном значении

диаметра D1 может быть определен модуль проекции силы P1

на касательную

в точке K1 и модуль силы P1

2M1

= P

/ cosα

2M1

(1.2)

D1 cosα

При приведении силы P2 из точки K2 в точку O2 необходимо добавить

момент силы P2

относительно центра приведения (момент M 2 ). Модуль мо-

мента M 2 равен

O K

= P

(1.3)

где P2t = P2 cosα

2 – модуль окружной составляющей силы P2

(модуль проек-

ции силы P2 на касательную к окружности в точке K2 ); D2 – диаметр окружности с радиусом O2 K2 .

Если по условию задачи вначале удается определить модуль момента си-

лы P2 относительно точки O2

(момент M 2 ), то при известном значении диа-

метра D2 может быть определен модуль проекции силы P2

на касательную в

точке K2 и модуль силы P2 , т. е.

2M 2

= P

/ cosα

2M 2

(1.4)

D2 cosα

На рис. 2, а в плане показан диск 1 (если смотреть на диск 1 со стороны продольной оси х), точки K1 и O1 , сила P1, приведенная к точке O1 , и момент

M1 , равный модулю момента силы P1 относительно точки O1 .

		6
На рис. 2, б	в плане показан диск 2 (если смотреть на диск 2 со стороны
продольной оси х), точки K2 и O2 , сила P2 , приведенная к точке O2 , и момент
M 2 , равный модулю момента силы P2		относительно точки O2 .
	y			y
α	y
α	P1	K2
	1	K2		P2
	1			P2
	M 1				2
	M 1	α P2
		α P2		O 2
				O 2
z	O 1	z		M 2
K1				M 2
	P1
	а)			б)
	Рис.2
Так как силы P1 и P2 могут быть расположены к оси y под разными уг-
лами α p1 и α p2 (рис. 2), целесообразно эти силы после приведения их к точ-
кам O1 и O2 разложить на составляющие P1y ,			P2 y и P1z , P2 z ,		линии действия
которых параллельны соответствующим осям			y и z . В этом случае мы при-
ходим к единым плоскостям нагружения стержня (нагружение в плоскости
y − x , нагружение в плоскости z − x ).
На рис. 3, а в плане показан диск 1, силы P1y				и P1z , а также момент M1.
	y			y
	1			2
	P1y		P2y
	M 1	P2z
P1z		P2z
z	O 1	z		O 2
	O 1	M 2
	а)			б)
	Рис.3
Проекции сил P1y	и P1z на координатные оси y и z могут быть найдены как
	P1y = P1 cosα p1,	P1z = P1 sinα p1 .			(1.5)
		6

						7
На рис. 3, б	в плане показан диск 2, силы P2 y и P2 z , а также момент M 2 .
Проекции сил P2 y и P2 z на координатные оси y и z могут быть найдены как
		P2 y = P2 cosα p2 ,						P2 z = P2 sinα		p2 .	(1.6)
Естественно возникает вопрос: а как определить углы α p1 и α p2 (углы
между осью y и линиями действия сил P1 и P2 ), если заданы положения точки
K1 (угол α k1) и точки K2 (угол α k 2 ), линии действия силы P1 относительно
касательной в точке K1 (угол α				1 ), линии действия силы P2							относительно каса-
тельной в точке K2		(угол α	2 ).
Рассмотрим для этого возможные схемы приложения произвольной силы
P в точке K под углом α			к касательной (рис. 4, а, б).								y
		y							α p		y
									α p
α	к							α	α к
α	к	O							α к	O
		O								O
z		P					z		P
K		P
K
α P									K
	α								K
		а)							б)
					Рис.4
Ограничимся случаем, когда сила P направлена в зону между точкой О и
касательной к точке K . Здесь возможно рассмотрение двух схем:
1) сила P , приложенная в точке K , стремится повернуть диск вокруг точки О
против часовой стрелки (рис 4, а);
2) сила P , приложенная в точке K , стремится повернуть диск вокруг точки О
по часовой стрелке (рис 4, б).
В первом случае (рис.4, а) угол α						p определится как
			α	p =α	k	+ (π	+	α	) ,		(1.7)
во втором случае (рис.4, б)						2
во втором случае (рис.4, б)						–(π
			α	p =α	k	–(π	+	α	) .		(1.8)
						2
Общей формулой, описывающей оба случая, является
			α	p =α	k ± (π		+	α	) ,		(1.9)
						2
						7

где знак «плюс» принимается в случае, если сила P в точке K стремится повернуть диск против часовой стрелки; знак «минус» принимается в случае, если сила P в точке K стремится повернуть диск по часовой стрелке.

Так как в построенной нами схеме (рис. 1) сила P1 стремится повернуть диск 1 по часовой стрелке, значение угла α p1 определится по формуле (1.8)

	α p1=α k1		–(	π		+ α ) .	(1.10)

			2
На схеме, изображенной на рис. 1, сила P2 стремится повернуть							диск 2
против	часовой стрелки.	Поэтому значение угла α p2 определится по
формуле (1.7)					π
	α p2 =α k 2		+ (			+ α ) .	(1.11)

			2
Заметим, что значения угла α ki			(i =1,2) берутся с учетом его знаков. Если
ось y	до совмещения с радиусом-вектором ОК поворачивается против часо-

вой стрелки, то угол α ki считается положительным. Если ось y до совмещения с радиусом-вектором ОК поворачивается по часовой стрелке, то угол α ki

считается отрицательным.

Изобразим расчетную схему стержня с действующими на него силами на рис. 5.

A	M 1	P	1z	M 2	P	2z	B
		P		M 2	P

							X
a			b		c
	P1y				P2y
			Рис. 5

Так как стержень находится в состоянии статического равновесия, то из условий равновесия следует, что сумма моментов сил относительно продольной оси x должна быть равна нулю:

∑

M x (Pi ) =

0 .

Если пренебречь трением в опорах А и В стержня, то

∑ M x ( Pi ) = − M1 + M 2 .

Из условия равновесия следует

− M

+ M

= 0 , M

= M

= P

(1.12)

P1t

откуда

(1.13)

т. е. в условии статического равновесия отношение окружных составляющих

сил	P1t и P2t обратно пропорционально отношению диаметров окружностей
D1	и D2 , на которых лежат точки приложения сил (точки K1 и K2 ).
	Равенство (1.13) при известных значениях D1						и D2 позволяет определить
P2t (если найдено значение P1t ) или, наоборот, определить P1t									(если найдено
значение P2t ):			D1				D2
	P	= P		,	P	= P		.	(1.14)

	2t	1t	D		1t	2t	D
			2				1

Используя принцип независимости действия сил, расчетную схему стержня (рис.6, а) можно представить в виде следующих расчетных схем:

A		M	1	P1 z	M 2	P2 z B
A				P1 z	M 2	P2 z B
							x
	a				b	c
			P1 y			P2 y
	а) расчетная схема нагружения стержня
A							B
							x
	a				b	c
			P1 y			P2 y
	б) расчетная схема нагружения стержня
				в плоскости y - x
A	P	1 z			P2 z		B
							x
	a				b	c
	в) расчетная схема нагружения стержня
				в плоскости z - x
A			M	1		M 2	B
A							B
							x
	a				b	c

г) расчетная схема нагружения стержня при кручении

Рис. 6

	10
−	расчет стержня на изгиб при его нагружении в плоскости y −	x (рис. 6, б);
−	расчет стержня на изгиб при его нагружении в плоскости z −	x (рис. 6, в);
−	расчет стержня на кручение при его нагружении моментами M1 и M 2 ,

плоскости действия которых совпадают с плоскостями дисков 1 и 2 и перпендикулярны продольной оси стержня (рис. 6, г).

2.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ

ВПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЯХ СТЕРЖНЯ

Для каждой схемы нагружения стержня (рис. 6, б, в, г) определяются внутренние силовые факторы в поперечных сечениях.

2.1. Нагружение стержня в плоскости y – x

Схема нагружения стержня в плоскости y − x представлена на рис. 7, а. В поперечных сечениях стержня возникают поперечные силы Qy и изгибающие моменты M z .

A				B
				X
a		b		c
	P1y			P2y
	а) расчетная схема нагружения стержня
		в плоскости y - x
YA				YB
				X
a		b		c
	P1y			P2y
	б) расчетная схема стержня с учетом
	опорных реакций YA		и YB
		Рис. 7
Для их определения необходимо вначале найти опорные реакции YA и YB
(рис. 7, б), используя уравнения равновесия вида				v
∑	v	0 ,	∑	v
∑	M A (Pi ) =	0 ,	∑	M B (Pi ) = 0 .

Из первого уравнения, которое можно представить как

− YB (a + b + c) + P1y a + P2 y (a + b) = 0 ,

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Методички, лабы, задачи, РГР