Глава 4. Растяжение-сжатие
При растяжении и при сжатии в поперечных сечениях стержней действует только продольное усилие, определение которого рассмотрено в разделе 3.1. Расчетные формулы для растянутых и сжатых стержней одинаковы. Различаются только знаком продольного усилия.
Правило знаков
Растягивающее продольное усилие — положительное, сжимающее — отрицательное.
4.1 Внутренние усилия и напряжения
Рассмотрим стержень, нагруженный силой F (рис. 4.1). Внутренние усилия в поперечных сечениях стержня определяются методом сечений. Из уравнений равновесия отсеченной части стержня продольное усилие N = F , поперечная сила Q = 0 , изгибающий момент M = 0 .
1 1/
F
1 |
1/ |
|
|
L |
L |
Рис. 4.1. Растяжение стержня
Продольное усилие F для рассматриваемого стержня не зависит от выбранного сечения и эпюра продольных усилий (график распределения продольного усилия по длине стержня) представляет собой прямоугольник.
Укажем на стержне произвольное поперечное сечение 1-1. Под действием силы F стержень удлинился на величину l . При этом сечение 1-1 переместилось в положение 1/-1/ , но в силу гипотезы плоских сечений осталось плоским и параллельным своему исходному положению. Перемещения всех точек поперечного сечения одинаковы, а, следовательно, деформации и напряжения (в силу закона Гука) также одинаковы.
Так как напряжение — это внутреннее усилие N , приходящееся на единицу площади A , формула для нормальных напряжений σпри растяжении
σ = |
N |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A |
|
|
|
|
|||
Поперечная |
|
сила при |
растяжении Q = 0 , следовательно, вызываемые |
ею |
||||
касательные напряжения τ = 0 . |
|
|||||||
При растяжении σ > 0, при сжатииσ < 0. |
|
|||||||
Условие прочности при растяжении-сжатии |
|
|||||||
max σ = |
|
N |
|
≤[σ]. |
|
|
||
|
|
|
|
|||||
A |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражения для maxσ |
взято по модулю, так как допускаемое напряжение |
[σ] |
||||||
всегда положительное. |
|
|
||||||
4.2 Деформации
На рисунке 4.2 показан стержень до и после растяжения. Его длина увеличилась, а поперечный размер уменьшился. Введем понятия абсолютной и относительной деформации.
F
b b1
L |
L1 |
Рис.4.2. Деформации при растяжении стержня
l = l1 −l |
— абсолютная продольная деформация, |
|
b = b1 −b |
— абсолютная поперечная деформация, |
|
ε = |
l |
—относительная продольная деформация, |
|
l |
|
ε/ = |
b |
— относительная поперечная деформация. |
|
b |
|
Относительные поперечная и продольная деформации связаны между собой эмпирической зависимостью
ε/ = −μ ε , |
где μ |
|
|
— коэффициент Пуассона, определяемый опытным путем. |
||
Знак минус |
показывает, что при растяжении стержня его поперечное сечение |
|||||
сужается. |
μ = |
|
ε |
/ |
|
. |
|
|
|||||
|
ε |
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент Пуассона является упругой константой материала. В дальнейшем будет показано, что при упругой деформации 0 < μ < 0,5 . Значения коэффициента
μ для различных материалов приводятся в справочниках. Например,
для пробки μ ≈ 0,
для стали μ ≈ 0,3, для резины μ = 0,49.
4.3 Закон Гука
По закону Гука перемещения прямо пропорциональны нагрузкам.
F = K ,
где F — сила, — перемещение от этой силы, K — жесткость тела, зависящая не только от свойств материала, но и от формы и размеров тела.
На графике прямая пропорциональность изображается прямой линией (рис 4.3).
σ = F
P A
|
|
Aвнеш |
|
|
|
|
П0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctgE |
|
|
|
|
|
|
|
|
dL |
|
|
ε |
= |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Рис. 4.3. Закон Гука при растяжении |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Поскольку напряжения σ = |
|
N |
и деформации ε = |
l |
есть нагрузка и перемещение, |
||||||
|
A |
l |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
деленные на |
константы |
A |
и l , то и напряжения |
прямо пропорциональны |
|||||||
деформациям На графике (рис. 4.3) зависимость |
σ |
от |
ε |
изображается прямой |
|||||||
линией. Следовательно, можно записать |
|
|
|
|
|
|
|||||
σ = Eε , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где E |
— коэффициент пропорциональности, называемый |
модулем продольной |
|||||||||
упругости или модулем Юнга. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Модуль |
Юнга |
E — константа материала (как |
и |
коэффициент Пуассона μ ) |
|||||||
приводится в справочниках. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для стали E = 2 106 Мпа, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для чугуна E =106 Мпа,
Для дерева E =104 Мпа.
На практике часто необходимо найти удлинение стержня под действием растягивающих или сжимающих нагрузок. По закону Гука σ = Eε . Подставим в это
выражение σ = NA и ε = ll , тогда NA = E ll , откуда
l = EANl .
Эта формула справедлива в случае действия одной сосредоточенной силы, то есть продольное усилие N постоянно по длине стержня.
Если на стержень действует несколько сосредоточенных сил, то стержень разбивается на несколько участков (от силы до силы) и полное удлинение равно сумме удлинений каждого участка в отдельности
n |
N l |
|
l = ∑ |
i i |
, |
|
||
= |
EA |
|
i 1 |
i |
|
где i — номер участка, n — количество участков.
В общем случае, если продольное усилие на некоторых участках величина переменная, то есть действует распределенная нагрузка, то удлинение
пропорционально площади эпюры продольных усилий ∫N (x)dx
l
n |
|
l = ∑∫ Ni (x)dx . |
|
i=1 l |
EAi |
4.4 Потенциальная энергия упругой деформации
Для определения потенциальной энергии воспользуемся, известным из теоретической механики началом возможных перемещений
Начало возможных перемещений
Если тело находится в состоянии равновесия, то сумма работ внешних Wвнеш и внутренних сил Wвнутр равна нулю на любых возможных (согласованных со связями) перемещениях.
Заметим, что реальные перемещения — всегда возможные.
W внеш +W внутр = 0 .
При упругой деформации, потенциальная энергия П равна работе внутренних сил
П=W внутр = −W внеш .
Потенциальная энергия не бывает отрицательной и численно равна площади диаграммы нагружения стержня (при упругой деформации площади треугольника
(рис. 4.3)
П= |
|
W внеш |
|
= ∫ |
N d( |
l) = |
N |
l |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
С учетом |
|
l = |
|
Nl |
получаем П = |
|
N 2l |
. |
||||||
|
|
EA |
2EA |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вобщем случае нагружения ( N ≠ Const )
П= ∑n ∫ Ni (x)dx .
i=1 l 2EAi
Подсчитаем удельную потенциальную энергию упругой деформации П0 , то есть энергию П, накопленную в единице объема V .
П0 |
= |
П |
= |
N l |
, |
но |
N |
= σ и |
l |
= ε , тогда |
|
V |
2Al |
A |
l |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
П0 = |
σε |
= |
σ 2 |
(с учетом σ = Eε ) |
2 |
2E |
4.5 Напряжения на наклонных площадках
Пусть стержень растягивается силой F . В поперечных сечениях стержня нормальные напряжения σ = FA , где площадь поперечного сечения A = b h Найдем напряжений, действующие на площадке, наклоненной под углом α к поперечному
сечению (рис. 4.4). Площадь наклонной площадки Aα = b h . cos α
|
|
|
A |
A |
|
|
|
|
|
|
A |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
F |
|
|
|
b |
|
|
N |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
F |
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
F |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.4. Усилия в наклонном сечении стержня при растяжении
Согласно методу сечений мысленно рассекаем стержень по наклонному сечению, отбрасываем правую часть и рассматриваем равновесие левой части. Неизвестное внутреннее усилие в наклонном сечении раскладываем на 2 составляющие: вдоль
нормали к сечению |
|
Nα = F cos α и по касательной к сечению Qα = F sin α. Из |
||||||||||||||||||
условия равновесия отсеченной части их геометрическая сумма равна F . |
||||||||||||||||||||
Напряжения на наклонной площадке |
|
|
|
|||||||||||||||||
σα = |
Nα |
|
= |
|
F cosα |
|
= |
F |
cos |
2 |
α = σ cos |
2 |
α |
|
||||||
Aα |
|
|
A/ cos α |
A |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
и |
|
τa |
= |
Qα |
= |
|
F sin α |
|
= |
|
F |
sin α cos α = |
σsin 2α. |
|||||||
|
|
|
A/ cos α |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Aα |
|
|
A |
|
|
2 |
||||||||
При α = 0 |
σα = σ = σmax |
при α = 45° |
σα = σ |
|
2 |
при α = 90° |
σα = 0 = σmin |
τα = 0 ,
τα = σ2 = τmax ,
τα = 0 = τmin .
В дальнейшем будет показано, чтоτmax всегда действует на площадках, наклоненных под углом 45°, к площадкам, где действует σmax и σmin .
4.6. Закон парности касательных напряжений
Найдем касательные напряжения, действующие на двух взаимно перпендикулярных площадках (рис. 4.5)
τ=σ sin 2α
α2 a
τα+90° = σ2 sin(2α +180°) = −σ2 sin 2α .
α+900 
F |
τα+900 |
τα |
F |
|
Рис. 4.5. Касательные напряжения на взаимно перпендикулярных сечениях
Закон парности касательных напряжений
На взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения равны по величине и противоположны по направлению.
Этот закон часто используется в сопротивлении материалов при исследовании напряженного состояния в окрестностях некоторой точки тела.