2.2.5. Главные оси и главные моменты инерции
Определим положение главных осей, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю Juv = 0 .
J |
|
= |
Jz − Jy |
sin(2α) + J |
|
cos(2α) |
= 0 . |
|||
uv |
|
zy |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда |
|
tg(2α0 ) = − |
2 Jzy |
|
(2.8), |
|||||
|
Jz − Jy |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Где α0 — угол, на который надо развернуть оси, чтобы они стали главными.
Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции. Чтобы определить их, надо в выражения (2.6) подставить значение α0 ,
найденное по формуле (2.8).
Докажем, что относительно главных осей осевые моменты инерции имеют экстремальные значения. Вычислим первую производную от выражения Ju и
приравняем ее нулю.
|
dJ |
u |
= |
|
Jz − Jy |
2 sin(2α) − 2 Jzy cos(2α) = 0 . |
||
|
|
|
|
2 |
||||
|
dα |
|
|
|
||||
Откуда |
|
tg(2α) = − |
2 Jzy |
(2.9). |
||||
|
Jz − Jy |
|||||||
Сравнивая выражения (2.8) и (2.9), |
делаем вывод, что угол наклона главных осей α0 |
|||||||
равен |
углу наклона осей |
α , относительно которых моменты инерции принимают |
||||||
экстремальные значения. |
|
|
||||||
Теперь можно уточнить формулировку главных осей.
Главными осями называются оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения.
Для определения главных моментов инерции существует и более простая формула. Для ее получения нужно найти из выражения (2.8) угол α0 , подставить его в
выражение (2.6). Затем исключить α0 ,используя выражения для cos(2α) и tg α |
. |
|||||||
После упрощения получаем |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
||||||
Jmax |
= |
Jz + Jy |
± |
1 |
( Jz − Jy )2 |
+ 4 Jzy2 |
(2.10). |
|
|
|
|
||||||
2 |
2 |
|
||||||
min |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знак плюс перед вторым слагаемым относится к максимальному моменту инерции, знак минус — к минимальному.
Формула (2.10) (в отличие от формулы (2.6)) не позволяет сразу сказать относительно какой оси момент инерции максимальный. Для этой цели полезно использовать подсказки, основанные на результатах расчета:
Ось, относительно которой момент инерции максимальный
•проходит через более узкую часть сечения (″поперек живота″),
•проходит через II– IV четверть поперечного сечения, если центробежный момент положительный и через I – III четверть, если центробежный момент отрицательный.
2.2.6. Радиус инерции сечения
Понятие радиус инерции встретится в разделе устойчивость сжатых стержней. Радиусом инерции называется математическое выражение следующего вида
iz = |
Jz |
. |
|
||
|
A |
|
Радиус инерции можно представить как расстояние от оси z до точки, в которой нужно сосредоточить всю площадь сечения, чтобы момент инерции этой точки был равен моменту инерции всего сечения.
Радиусы инерции, соответствующие главным осям, называются главными радиусами инерции
i |
= Jmax |
i |
= Jmin . |
|||
max |
A |
min |
A |
|
||
|
|
|
|
|||