По третьей гипотезе maxσэIII =σI −σIII ≤[σ ]. По четвертой гипотезе
maxσэlV = 12 (σl −σll )2 + (σll −σlll )2 + (σlll −σl )2 ≤ [σ ].
Поскольку принято расставлять главные напряжения "по росту" σl >σll >σlll , то
σl =σt , σll =σm , σlll =σr = 0 .
Тогда по третьей гипотезе прочности
maxσэlll =σt ≤[σ ] |
|
(13.7), |
|
По четвертой гипотезе прочности |
|
||
maxσэlV = σt |
2 +σm |
2 −σtσm ≤[σ ] |
(13.8). |
Из условия прочности, подставив в него найденные значения напряжений, можно определить толщину оболочки при заданном давлении, либо давление для заданной оболочки.
13.2 Расчет распорного кольца
В местах резкого изменения формы оболочки появляется изгибающий момент. Для его компенсации ставят распорное кольцо, принимающее на себя дополнительную нагрузку.
Рассмотрим часть оболочки влево и вправо от места резкого изменения формы (рис. 13.7). Считаем, что левое и правое крайние сечения настолько близки, что радиус обоих сечений одинаков.
β |
β2 |
q1 |
q2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
q |
σm1 |
|
σm2 |
|
|
Р |
δ1 |
δ2 |
|
dx |
Рис. 13.7. Элемент оболочки с резким изменением ее формы
Составим уравнение равновесия вырезанной части оболочки.
∑Fx =σm1 2πrδ1Cos(α1) −σm2 2πrδ2Cos(α2) = 0 . |
Откуда |
|||
σm1δ1Cos(a1) =σm2δ2Cos(α2) . |
|
|
||
Обозначим |
q1 =σm1δ1 и |
q2 =σm2δ2 |
— погонная |
нагрузка на единицу длины |
окружности. |
В результате |
действия |
q1 и q2 появляется радиальная нагрузка |
|
q = q1Sin(α1) + q2Sin(α2) , вызывающая изгиб оболочки.
Если p — внутреннее давление, нагрузка q направлена к центру оболочки (сжимает ее), если p — наружное давление, q направлена от центра оболочки.
Для разгрузки от радиальной нагрузки q ставят распорное кольцо (рис.13.8). В силу
круговой симметрии нагружения, изгибающий момент в кольце отсутствует. При внутреннем давлении кольцо сжато, при наружном давлении растянуто. Из условия равновесия половинки кольца найдем продольное усилие в кольце
∑Fy = 2N − q2r = 0 . Откуда N = qr .
Рис.13.8. Схема нагружения распорного кольца
Из условия прочности найдем площадь поперечного сечения распорного кольца
maxσ = |
Ν |
= |
qr |
≤[σ ] |
A ≥ |
qr |
(13.9). |
|
Α |
A |
[σ ] |
||||||
|
|
|
|
|
Технологически роль распорного кольца может выполнить отбортовка края оболочки, удваивающая толщину оболочки в месте сварки двух ее частей.
13.3 Деформация трубы под давлением
Определим изменение радиуса тонкостенной оболочки под давлением. Для этого запишем окружную (тангенциальную) деформацию оболочки, равную относительному изменению длины окружности,
εt = 2π(r + r) − 2πr = |
r . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
2πr |
|
|
|
r |
|
|
|
С другой стороны из закона Гука |
|
|
|||||||||
εt = |
1 |
(σt − μσm − μσr ). |
|
|
|
||||||
E |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для цилиндрической оболочки |
|
|
|||||||||
εt = |
1 |
pr |
|
pr |
|
r |
|
|
|
||
|
|
|
− 0,3 |
|
|
= |
|
. |
|
(13.10). |
|
E |
|
2δ |
r |
|
|||||||
|
δ |
|
|
|
|
|
|||||
Приращение радиуса |
|
r = 0,85 |
pr2 |
. |
|||||||
|
Eδ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.4 Краевой эффект
Рассмотрим длинную цилиндрическую трубу, две части которой соединены жестким фланцем. Если бы фланцев не было, то под действием давления в трубе ее диаметр увеличился бы по всей длине одинаково. Но фланец жесткий. Его радиус не изменяется, поэтому вблизи фланца оболочка изгибается (рис. 13.9). Это явление носит название краевой эффект.
Для определения изгибающего момента рассмотрим деформацию узкой полоски, вырезанной вдоль образующей оболочки вблизи жесткого фланца (рис. 13.10, а).
Р
Рис. 13.9. Труба с жестким фланцем под давлением
Рис. 13.11 Краевой эффект в оболочке с жестким фланцем
Следует отметить, что в этом расчете не учтено влияние меридионального напряжения σm , которое растягивает вырезанную из оболочки полоску. При этом
поперечный размер полоски уменьшается, что эквивалентно уменьшению упругой реакции оболочки или, что то же самое, уменьшению давления в оболочке.
Учет меридионального напряжения несколько уменьшает краевой эффект, но не меняет характер краевого эффекта.