Добавил:

Mehanik Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Технический Университет им. Р.Е. Алексеева

Предмет:

Сопротивление материалов

Файл:

Макаров - Сопротивление материалов с решением задач в Mathcad / теор-курс.pdf

Скачиваний:

115

Добавлен:

23.02.2023

Размер:

9.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 5629 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

0<x4<L4	F2	-F1L1	-F1x4+F2L2+F3(L3+x4)-		qL22	F4x4-F2L1
0<x4<L4	F2	-F1L1	-F1x4+F2L2+F3(L3+x4)-		2	F4x4-F2L1
	(10/10)	(-4/-4)	(4/5,5)			(-2/3)
			(4/5,5)
По результатам расчета построены эпюры внутренних усилий (рис. 10.2). Эпюра
продольных усилий (горизонтальная) и эпюра крутящих моментов (вертикальная)
показаны на рис. 10.2, а. Эпюры изгибающих моментов, построенные в плоскостях
изгиба, показаны на рис. 10.2, б.
а)	1,0	-4	б)		5,5	-2
	1,0	-4				-2
						4
						2,4
	2	5		-1		-1,6
	2
					-2
			3	-1	-2
				-1

Рис. 10.2. Эпюры внутренних усилий для пространственной рамы

Опасным является сечение в заделке, где действуют:

N=10 кН, Mк = 4 кНм, M y = 5,5 кНм, M z = −3кНм.

Вэтом сечении необходимо произвести расчет на прочность.

10.2 Напряжения

Сложное сопротивление — общий случай нагружения длинных и тонких стержней. Напряженно-деформированное состояние при этом плоское, то есть одно из трех главных напряжений равно нулю. Для получения условия прочности при сложном сопротивлении надо получить выражения для напряжений, действующих в поперечных сечениях стержня, затем найти главные напряжения и, используя гипотезы прочности, составить условие прочности.

Гипотезы

Для упрощения расчетов вводятся гипотезы и допущения.

Примечание

При сложном сопротивлении справедливы все гипотезы из раздела 1.9.

Далее рассмотрим только те гипотезы, которые непосредственно используются в расчетах.

Справедлив закон Гука.

εi =	1	(σi − μσ j − μσk )				(10.1),

	E
где i, j, k = x, y, z . Подставляя индексы x, y, z						по правилу круговой подстановки
получаем три физических уравнения связи деформаций и напряжений.
Волокна друг на друга не давят (рис. 10.3).
Тогда из выражения (10.1)
σ y =σz = 0			εx	σx	или σ = Ε ε как при простом растяжении-сжатии.

				E

Гипотеза плоских сечений. Сечения плоские до деформации остаются плоскими после деформации (рис.10.4).

Линия пересечения сечений до и после деформации является нейтральной осью, так как на ней ε = 0 и σ = 0.

Чем дальше находится рассматриваемая точка от нейтральной оси, тем больше деформация и напряжения в этом волокне.

Наибольшие напряжения действуют в точке наиболее удаленной от нейтральной оси.

Принцип независимости действия сил.

В любой точке поперечного сечения стержня напряжения равны сумме напряжений от действия каждого внутреннего усилия в отдельности.

σx

τ(от Mк)

Рис. 10.3. Напряжения на гранях элемента

σmax

нейтральная ось

Рис. 10.4. Сечение стержня до и после деформации

Определим отдельно нормальные и касательные напряжения.

Нормальные напряжения

σG =σGN +σGM y +σGM z .

Векторы напряжений σGN ,σGM y ,σGM z направлены вдоль одной прямой (рис. 10.5),

следовательно, векторную сумму можно заменить алгебраической

σ=σN +σM y +σM z , где

σN = NA — напряжения при растяжении стержня,

σMy

z — напряжения при изгибе в плоскости

y — напряжения при изгибе в плоскости

Окончательно получаем

σ =

M y

z +

J y

Уравнение нейтральной оси

σ = 0 или

M y

M z

y = 0

J y

xz ,

xy .

(10.2).

(10.3),

где yн, zн — координаты точки, лежащей на нейтральной оси.

y dA

τ		τQy	τQ
τ	Mк		τQ
	Mк		z
			σN	σM y

z	σM	z

			x
Рис. 10.5. Векторы напряжений в сечении стержня
Касательные напряжения
τG =τGQ	y	+τGQ +τGM	к	(10.4).
	y	z	к

Векторы напряжений τGQy ,τGQz ,τGMк расположены в плоскости поперечного сечения

стержня, но в разных направлениях (рис. 10.5), поэтому заменить геометрическую сумму алгебраической уже нельзя.

Слагаемые в выражении (10.4) имеют различный порядок. Касательные напряжения от поперечных сил малы по сравнению с касательными напряжениями от крутящего момента, поэтому в дальнейших расчетах ими пренебрегают.

Тогда τ ≈τMк .
Для стержней круглого поперечного сечения	τ =	Μк ρ .
		J p

Для стержней некруглого поперечного сечения касательные напряжения определяются по формулам, взятым из справочников, или расчетом методом конечных элементов.

Условие прочности

При сложном сопротивлении длинных и тонких стержней в поперечных сечениях действуют только одно нормальное напряжение σx вдоль оси стержня

(σ y =σz = 0 ) и одно касательное напряжение τMк (τQy и τQz малы).

Условие прочности при плоском напряженном состоянии записано в конце предыдущей главы.

По третьей гипотезе прочности


maxσэкв3	=σI −σIII = σ 2 + 4τ			2 ≤[σ ].
По четвертой гипотезе прочности
maxσэкв4	=	1	(σI −σII )2 + (σII −σIII )2 + (σIII −σI )2 = σ 2 + 3τ2 ≤[σ ]
		2

10.3 Расчет на прочность при сложном

сопротивлении

10.3.1. Стержень произвольного сечения

Оценивая прочность стержней при сложном сопротивлении надо: Построить эпюры внутренних усилий и выбрать опасное сечение,

Вопасном сечении построить нейтральную ось.

Вточке наиболее удаленной от нейтральной оси действуют максимальные нормальные напряжения σmax . Эта точка является одной из опасных точек.

Проведите касательную к сечению параллельно нейтральной оси (рис. 10.6). Точка пересечения касательной с контуром сечения — опасная точка. Подставьте координаты этой точки В в формулу (10.2) для нормальных напряжений

σB =σmax =	N	+	M y	zB +	M	z	yB .
	A		J y
					Jz

Касательные напряжения в этой точке в общем случае неизвестны и определяются, как сказано ранее, методом конечных элементов.

Кроме рассмотренной точки в опасном сечении могут оказаться и другие опасные точки. В каждой из них надо определить нормальные σ , касательные τ и эквивалентные напряжения либо по третьей, либо по четвертой гипотезам прочности. Выбрать максимальное эквивалентное напряжение.

Из условия прочности определить какую-либо одну величину: либо размер сечения, либо допускаемую нагрузку.

σmax

не

йтра

осл

ьь

Рис. 10.6. Выбор опасной точки в произвольном сечении

10.3.2. Прямоугольное сечение

В прямоугольном сечении главными центральными осями инерции являются оси симметрии y и z , поэтому определяем изгибающие моменты относительно осей

симметрии y и z . На рисунке 10. 7 показаны эпюры нормальных и касательных

напряжений, вызванных каждым из внутренних усилий отдельно. Из этого рисунка видно, что в прямоугольном сечении есть три точки, которые могут быть опасными. Это точки А, В, и С.