9.6 Гипотезы прочности и пластичности

Для материалов в пластичном состоянии в качестве критерия выхода из строя принимается появление недопустимых пластических деформаций σпред = σт .

В общем случае нагружения в теле возникает 6 компанент напряжений и задача определения критерия выхода из строя становится весьма сложной.

Задачу эту можно немного упростить, если вместо 6 компонент напряжений рассматривать эквивалентные им 3 главных напряжения.

Как экспериментальный факт следует отметить, что момент выхода из строя зависит не только от величины, но и от соотношения действующих напряжений.

Следовательно, в качестве критерия выхода из строя надо рассматривать функцию трех главных напряжений. Введем понятие эквивалентного напряжения.

Эквивалентным напряжением называется некоторая функция трех главных напряжений, которая в момент выхода из строя равна предельному напряжению при простом линейном растяжении.

Условие выхода из строя σэкв = f (σ1,σ2,σ3) =σпред .

В качестве критерия выбрано напряжение σпред при растяжении, потому что эти характеристики есть во всех справочниках.

Чтобы конструкция гарантировано сохраняла работоспособность, надо снизить рабочие напряжения в n раз, где n — коэффициент запаса.

Условие прочности σэкв = f (σ1,σ2,σ3) =σпред n =[σ ].

Различные варианты эквивалентного напряжения получаются на основании гипотез прочности, число которых велико (свыше 20). Ввиду большого многообразия материалов невозможно подобрать гипотезу, справедливую для всех материалов.

Для различных групп материалов, аморфных ,таких как резина, или глина, или лаки и краски, кристаллических, таких как металлы в хрупком состоянии или металлы в пластичном состоянии, применяются свои (кстати тоже многочисленные) гипотезы.

Рассмотрим основные гипотезы.

1. Гипотеза максимальных нормальных напряжений

Конструкция выходит из строя, когда максимальные нормальные напряжения в ней такие же, как про простом линейном растяжении.

Эту гипотезу в литературе называют первой гипотезой прочности.

Применение — для материалов в хрупком состоянии. σпред =σв .

Экспериментальное подтверждение — растяжение чугуна (рис.9.11, а) (напряжение σI действует в плоскости поперечного сечения, кручение чугуна (рис. 9.11, б) (σI

действует по винтовой поверхности, наклоненной под углом 45° к плоскости поперечного сечения). Разрушение в этих случаях происходит под действием максимальных нормальных напряжений.

Мк

Рис. 9.11. Экспериментальное подтверждение первой гипотезы прочности

Примечание

Напомним признаки хрупкого и пластического разрушения.

Хрупкое разрушение вызывается нормальными напряжениями и происходит без видимых пластических деформаций.

Пластическое разрушение вызывается (в основном) касательными напряжениями и сопровождается большой пластической деформацией

2. Гипотеза максимальных линейных деформаций

Конструкция выходит из строя, когда максимальные линейные деформации в ней такие же, как про простом линейном растяжении.

Эту гипотезу в литературе называют второй гипотезой прочности.

Применение — для материалов в хрупком состоянии. σпред =σв .

Экспериментальное подтверждение —сжатие дерева вдоль волокон, камня, хрупкой стали (после закалки без отпуска) (рис.9.12).

F

максимальная растягивающая деформация. Она и является причиной разрушения образцов вертикальными трещинами.

3. Гипотеза максимальных касательных напряжений

Конструкция выходит из строя, когда максимальные касательные напряжения в ней такие же, как про простом линейном растяжении.

Эту гипотезу в литературе называют третьей гипотезой прочности.

Применение — для материалов в пластичном состоянии. σпред =σт .

Экспериментальное подтверждение — растяжение мягкой стали (рис. 9.13, а), кручение стали (рис. 9.13, б), сжатие чугуна (рис. 9.13, в).

Рис. 9.13. Экспериментальное подтверждение третьей гипотезы прочности

При растяжении стали излом в шейке имеет вид чашка – конус с наклоном под 45° по конической поверхности действия максимальных касательных напряжений.

Разрушение образца — сложное. В центре шейки имеется перпендикулярная оси образца трещина, вызванная нормальными напряжениями вследствие объемного трехосного растяжения в центре шейки. Касательные напряжения в центре значительно меньше, чем у поверхности, где напряженное состояние плоское

.τmax = σI −2σIII . У поверхности σIII = 0 , в центре σIII > 0 . Вблизи поверхности

образца происходит пластическое разрушение от касательных напряжений τ , направленных под углом 45° к оси образца.

При кручении стали разрушение происходит от касательных напряжений в плоскости поперечного сечения, где σ = 0 τ ≠ 0.

При сжатии чугуна (в условиях смазки контактных поверхностей для уменьшения трения) разрушение происходит по плоскости действия максимальных касательных напряжений под углом 45° к оси образца при большой пластической деформации (высота образца намного уменьшилась).

4. Энергетическая гипотеза. Поверхность пластичности

Существует целый ряд доказательств приводящих к этой гипотезе. В качестве критерия в них используются такие понятия как максимальная удельная потенциальная энергия изменения формы, максимальные октаэдрические касательные напряжения, интенсивность напряжений, поверхность пластичности.

Рассмотрим используемый в теории пластичности, не требующий математических выводов подход с использованием поверхности пластичности.

Если в системе координат трех главных напряжений σI ,σII ,σIII откладывать точки,

координаты которых соответствуют началу пластической деформации в теле при различных сочетаниях главных напряжений, то эти точки образуют поверхность,

называемую поверхностью пластичности.

Точки внутри поверхности не вызывают пластических деформаций. Точки на поверхности соответствуют началу пластичности. Точки за пределами поверхности быть не может, а сама поверхность с ростом пластических деформаций расширяется так, чтобы точка оставалась на поверхности пластичности.

Равномерное трехосное растяжение или сжатие σI =σII =σIII не вызывает появления касательных напряжений. Круг Мора для этих случаев превращается в точку на оси σα и касательные напряжения τ отсутствуют, а следовательно не может быть пластических деформаций, вызываемых τ .

Аналогом равномерного трехосного растяжения или сжатия является среднее

среднее напряжение не вызывает появления пластических деформаций. Чтобы исключить влияние среднего напряжения на условие пластичности поверхность

пластичности должна представлять собой цилиндр, равнонаклоненный ко всем трем осям (рис. 9.14, а).

σI , σII , σIII равнозначны с точки зрения пластичности, кроме того, принимается, что

пределы текучести при растяжении и при сжатии равны. При одноосной деформации условие пластичности σ = σт , поэтому поверхность пластичности отсекает на всех

осях напряжение σт .

Различными авторами были предложены три формы сечения цилиндрической поверхности пластичности, удовлетворяющие указанным условиям:

Как показали экспериментальные данные лучше всего согласуется с опытом гипотеза Мизеса (окружность). Гипотеза Треска (вписанный шестигранник) дает заниженные значения (увеличивает коэффициент запаса). Гипотеза Ишлинского дает завышенные значения (уменьшает коэффициент запаса).

В практике расчетов гипотеза Ишлинского используется редко, и далее ее не рассматриваем.

Гипотеза Треска с учетом σI >σII >σIII дает условие пластичности, совпадающее с гипотезой максимальных касательных напряжений (третьей гипотезой)

Это же условие было получено другими исследователями при использовании в качестве критерия пластичности удельной потенциальной энергии изменения формы, поэтому и гипотеза получила название энергетическая. По аналогии с другими гипотезами можно записать ее формулировку.

Конструкция выходит из строя, когда удельная потенциальная энергия изменения формы в ней такая же, как про простом линейном растяжении.

Эту гипотезу в литературе называют четвертой гипотезой прочности.

5. Гипотеза Мора

Эту гипотезу в литературе называют пятой гипотезой прочности. Она выведена из рассмотрения огибающей кругов Мора при различных напряженных состояниях и не имеет четкой формулировки.

Условие прочности по гипотезе Мора имеет вид