Пример определения величины и направления главных напряжений в Mathcad приведен в электронной книге.

9.3. Виды напряженного состояния

В зависимости от количества неравных нулю главных напряжений различают объемное, плоское и линейное напряженные состояния (рис. 9.3).

Рис. 9.3. Виды напряженного соcтояния

Линейное напряженное состояние — одно главное напряжение не равно нулю

(рис 9.3, а).

Примером линейного напряженного состояния являются растяжение-сжатие и чистый изгиб. При растяжении σ1 ≠ 0 , σ2 = σ3 = 0 . При сжатии σ3 ≠ 0 ,

σ1 = σ2 = 0 .

Плоское напряженное состояние — два главных напряжение не равны нулю

(рис. 9.3, б).

Примером плоского напряженного состояния являются сдвиг, изгиб и кручение длинных и тонких стержней, тонкостенные пластины и оболочки.

Объемное напряженное состояние — все три главных напряжения не равны нулю (рис. 9.3, в).

Примером объемного напряженного состояния является нагружение массивных тел.

Решение объемной задачи на порядок сложнее решения плоской задачи. Однако часто и для массивных тел можно использовать решения, найденные для плоского напряженного состояния.

Разрушение массивных тел чаще всего начинается с поверхности, а на поверхности одно из главных напряжений равно нулю. Следовательно вблизи поверхности можно использовать зависимости, полученные при плоском напряженном состоянии.

Кроме того, на практике часто встречаются частные случаи объемного напряженного состояния: плоское деформированное состояние и осесимметричное нагружение. для этих случаев используют уравнения плоского напряженного состояния с небольшой поправкой. Большинство расчетных программ, составленных для плоского напряженного состояния, как правило решают и задачи плоской деформации и осесимметричного нагружения.

9.4. Плоское напряженное состояние

К плоскому напряженному состоянию относятся большинство рассматриваемых в сопротивлении материалов случаев нагружения стержней, поэтому плоскому напряженному состоянию уделим особое внимание.

Найдем связь между напряжениями на гранях выделенного элемента и напряжениями на наклонной площадке. Рассмотрим прямую и обратную задачи.

9.4.1. Прямая задача

Предположим, что в какой-то точке тела известны главные напряжения σI ≠ 0 ,

σII ≠ 0 , σIII = 0 .

Требуется найти напряжения σα и τα на площадке, наклоненной под углом α к главной площадке (рис. 9.4, a).

Рис. 9.4. Напряжения на наклонной площадке

Условимся, что знак касательного напряжения τ совпадает со знаком поперечной силы. Это не совпадает с правилом знаков для τ , принятым в теории упругости, но необходимо для построения круговой диаграммы Мора, о которой далее пойдет речь.

Расмотрим равновесие части выделенного элемента, отрезанного сечением под углом α (рис. 9.4, б). Спроектируем силы, действующие на отрезанную часть элемента на нормаль к наклонной площадке ν и на касательную к наклонной площадке ν + 90°

Площади граней рассматриваемой части элемента обозначим Aα , Ax , Ay .

∑Fα =σα Aα −σI AxCos(α) −σII Ay Sin(α) = 0 ,

∑Fν +90° =τα Aα −σI Ax Sin(α)+σII AyCos(α) = 0 .

Разделив оба выражения на Aα , получаем

σα =σICos2 (α)+σIISin2 (α) .

τα = (σI −σII )Sin(α)Cοs(α)

Уравнения (9.2) представляют собой параметрическое уравнение окружности типа

x= x0 + RCos(α).

y= y0 + Rsin(α)

Ввыражении (9.2)

круговая диаграмма Мора

Чтобы с помощью круга Мора определить напряжения на площадке, наклоненной на угол α , надо из центра круга провести луч под углом 2α и определить координаты σα ,τα точки пересечения луча с окружностью.

Примечание

Обратите внимание, что точки, соответствующие напряжениям на двух взаимноперпендикулярных площадках, лежат на одном диаметре.

Аналогично строятся круги Мора для площадок, параллельных осям σII и σIII .

Точки, соответствующие напряженному состоянию произвольных площадок лежат в заштрихованной области между тремя кругами.

Анализируя круговую диаграмму Мора для объемного напряженного состояния сделаем важный для последующего изложения вывод о максимальных напряжениях в точке тела.

Максимальные касательные напряжения всегда направлены под углом 45° к максимальным нормальным напряжениям.

9.4.2. Обратная задача

При плоском напряженном состоянии известны напряжения на гранях произвольно

Рис. 9.8. Обратная задача построения круга Мора

Построим круг Мора (рис. 9.8, б).

На площадке А действуют напряжения σx и τ .

На площадке Б действуют напряжения σ y и −τ .

В системе координат σα −τα отложим две точки, соответствующие напряженному состоянию на двух взаимно перепендикулярных площадках А и Б.

Эти две точки лежат на одном диаметре. Проведя прямую АБ, находим центр круга С на оси σα . Зная центр и радиус круга, проводим окружность. Точки пересечения

круга с осью σα дают величину главных напряжений σI и σIII .

Для определения направления главных напряжений через точки А и Б на окружности проведем прямые, параллельные площадкам А и Б до пересечения друг с другом. Точка пересечения Р лежит на окружности и называется полюсом круга.

Прямая, проведенная из полюса до любой точки окружности, будет параллельна площадке, напряженное состояние на которой соответствует точке пересечения с кругом.

Для наглядности по найденным направлениям внутри рассматриваемого элемента (рис. 9.8, а) построены главные площадки и показаны направления главных напряжений на них.

Прямые, проведенные из полюса до точек пересечения круга с осью σα , параллельны главным площадкам. Соответственно перпендикуляры к ним указывают направления главных напряжений σI и σIII на этих площадках.

Обратите внимание, что оси σα −τα необязательно должны быть параллельны граням выделенного элемента.

Наклоните выбранный элемент на некоторый угол. Поменяйте величину и направления действующих на него напряжений. Постройте для него круг Мора и определите величину и направление главных напряжений. Найдите напряжения на произвольно выбранной вами площадке или для любой точки круга найдите направление соответствующей ей площадки.

Рассмотренный метод определения направлений площадок и напряжений прост и элегантен, но...не очень важен. Круги Мора крайне редко используются в инженерной практике.

Воспользуемся кругом Мора, чтобы получить расчетную формулу для определения главных напряжений при плоском напряженном состоянии.

В качестве примера рассмотрим определение главных напряжений при чистом сдвиге

(рис. 9.9).

Рис. 9.9. Круг Мора при чистом сдвиге

На площадке А действуют напряжения σ = 0 и τ .

На площадке Б действуют σ = 0 и −τ . Строим круг Мора, по которому определяем главные напряжения σI =τ и σIII = −τ .

9.5 Связь напряжений и деформаций. Обобщенный закон Гука

В предыдущих главах уже рассматривалась связь напряжений и деформаций при простых видах упругой деформации. Пришло время установить такую связь в общем случае нагружения. Напомним закон Гука при растяжении и при сдвиге

Следует отметить, что линейная деформация не вызывает сдвига. Прямые углы в растянутом элементе остаются прямыми.