Основы Теории Цепей
.pdf
|
|
|
|
41 |
|
получаем |
Um |
|
|
||
Z&BX = |
e j(ψU -ψi ) , |
||||
|
|
||||
|
Im |
Um |
|
||
Отношение |
− полное входное сопротивление (модуль); |
||||
|
Im |
||||
|
|
|
|
ψU −ψi − сдвиг фаз между напряжением и током.
Как всякое комплексное число, комплексное сопротивление и комплексная проводимость могут быть представлены в показательной, алгебраической и тригонометрической формах:
Z&BX |
=| Z&BX | e jϕ , |
|
|||
Z& |
BX |
= R |
+ jX |
BX |
, |
|
BX |
|
|
RBX − вещественная, активная составляющая;
X BX − мнимая, реактивная составляющая комплексного сопротивления;
Z&BX =| Z&BX | cosϕ + j | Z&BX | sinϕ .
Очевидно,
| Z&BX | = R2BX + X 2BX , ϕ = arctg |
X BX |
. |
|
||
|
RBX |
Гармонический ток в элементах электрической цепи
1. Гармонический ток в сопротивлении
42
Если пассивный двухполюсник представляет собой активное сопротивление R, то на основании закона Ома
I& = |
U& |
, I& = Ime jψi |
= |
|
Um |
|
e jψU , |
|
|
R |
|||||||
|
R |
|
|
|
||||
т. е. амплитуда тока Im = |
Um |
, |
|
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
R |
|
||
а разность фаз между током и напряжени- |
||||||||
ем |
|
ϕ =ψU −ψi . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.32 |
На векторной диаграмме (рис.32) напряжение и ток совпадают по фазе;
Z& |
BX |
= R = R, X |
BX |
= 0 , |
|
BX |
|
проводимость YBX =1/ R .
Если к сопротивлению подведено напряжение
u(t) =Um cos(ωt +ψU ) ,
то через него потечет ток
i = URm cos(ωt +ψU ) .
Мгновенная мощность, поступающая в сопротивление
PR = ui =Um Im cos2 (ωt +ψ) =UI[1 + cos 2(ωt +ψ)],
т. е. PR изменяется с удвоенной частотой (рис.33).
43
Рис.33
Среднее значение мощности за период
P = |
1 |
T |
P dt = |
1 |
T |
Um Im |
[1 + cos 2(ωt +ψ)]dt =UI = RI 2 . |
|
|
|
|||||
A |
T |
∫0 |
R |
T |
∫0 |
2 |
|
|
|
|
Среднее значение расходуемой мощности называют активной мощностью.
(U = |
Um |
и I = |
Im |
− действующие значения напряжения и тока). |
|
2 |
|||
2 |
|
|
2. Гармонический ток в индуктивности
Если пассивный двухполюсник представляет собой индуктивность, то
UL = L di . |
|
dt |
|
Используя метод комплексных амплитуд, получим |
|
U&L = L d(Ime jψi e jωt ) |
= jωLIme jψi e jωt = Ume jψU e jωt . |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
= jωLIme |
jψi |
|
=ωLIme |
j(ψi + |
π2 ) |
, ( j = e |
jπ2 |
= cos |
π |
|
+ j sin |
π |
) . |
|||||||||
ULm |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отсюда следует, что амплитуда напряжения |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ULm = ωLIm = X L Im , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
где |
X L = |
ωL− индуктивное сопротивление, обратная величина |
|
|
||||||||||||||||||||
b |
= |
1 |
|
называется индуктивной проводимостью. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ωL |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Угол сдвига фаз между напряжением и током, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ϕ =ψU −ψi = π |
|
− ток отстает по фазе от напряжения на |
π |
(рис.34). |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Очевидно, что входное сопротивление |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
индуктивности − чисто мнимая величина: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Z&BX |
|
U& |
|
|
I |
m |
e jψi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
|
= jωL |
|
|
|
|
= jωL |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
& |
|
Ime |
jψi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jπ
=ωL e 2 = jX L ,
линейно изменяющаяся с частотой.
|
|
Рис.34 |
|
|
Пусть через индуктивность протекает ток |
i(t) = Im cos(ωt +ψ). |
|||
Тогда напряжение на индуктивности |
|
|
||
uL = L |
di |
= −ωLIm sin(ωt +ψ) =Um cos(ωt +ψ + |
π ). |
|
|
||||
|
dt |
|
2 |
Мгновенная мощность, поступающая в индуктивность, будет равна:
45
PL = ui = −Um Im sin(ωt +ψ)cos(ωt +ψ) =
= −Um2Im 2sin(ωt +ψ)cos(ωt +ψ) = −UI sin 2(ωt +ψ).
Рис.35
Энергия магнитного поля индуктивности
W |
= |
Li2 |
= |
LI |
2 |
cos2 (ωt +ψ) = |
LI |
2 |
[1 + cos 2(ωt +ψ)], |
|
m |
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||
L |
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т. е. также как и мгновенная мощность колеблется с удвоенной частотой (рис.35) и происходит непрерывный обмен энергии между источником и индуктивностью, причем средняя мощность, поступающая в индуктивность равна нулю.
3. Гармонический ток в емкости
При подключении к источнику гармонического напряжения емкости в цепи потечет ток
iC = C dUdt .
46
Используя метод комплексных амплитуд, получаем
I&C |
= C |
d(Ume jψU e jωt ) |
|
= CUme jψU jω e jωt = Ime jψi e jωt , |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j(ψU |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
& |
= Ime |
jψi |
= |
jωCUme |
jψU |
|
= ωCUme |
+ |
2 ) |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Отсюда следует, что амплитуда тока в емкости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
I |
m |
= ωCU |
m |
|
= b U |
m |
= |
Um |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
XC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
b =ωC − проводимость емкости, X |
C |
= |
|
|
|
− емкостное сопротив- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ωC |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ление. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −π , |
|
|
|
||||||
|
Сдвиг фаз между напряжением и током |
|
|
ϕ =ψU |
−ψi |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
т.е. ток опережает напряжение на |
|
π / 2 (рис.36). |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует отметить, что входное |
со- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
противление емкости является чисто мни- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мой отрицательной величиной: |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z&BX = |
U& |
|
|
|
|
|
|
|
Ume jψU |
1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
ω |
|
|
|
|
jψU |
|
jωC |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
CUme |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Рис.36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − j |
|
|
1 |
|
|
= |
|
|
1 |
|
e- jπ2 , зависящей от |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωC |
ωC |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частоты источника (XC = − |
) . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щC |
||||||||||||||||||||||
|
Мгновенная мощность, поступающая в емкость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
P |
= ui =U |
m |
I |
m |
сos(ωt +ψ)cos(ωt +ψ + π ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −UI sin 2(ωt +ψ).
47
Энергия электрического поля емкости
|
|
CU 2 |
|
CU 2 |
CU 2 |
|
|
W |
= |
|
= |
m |
cos2 (ωt +ψ) = |
|
[1 + cos 2(ωt +ψ)]. |
|
|
|
|||||
C |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Как и в индуктивности, мгновенная мощность и энергия в емкости колеблются с удвоенной частотой, причем средняя мощность, поступающая в емкость, равна нулю.
Лекция 6.
Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме
Согласно первому закону Кирхгофа сумма мгновенных значений токов в узле равна нулю. Представляя мгновенные значения токов как вещественные части комплексных функций
i1(t) = Re(I&m1e jωt ), i2 (t) = Re(I&m2e jωt ), ... , in (t) = Re(I&mne jωt ),
получим
n
∑Re(I&mk e jωt ) = 0.
k =0
Так как сумма вещественных частей комплексных функций равна вещественной части суммы функций, то
n
Re(∑I&mk e jωt ) = 0.
k =0
Это выражение справедливо для любого момента времени, в том числе и для t = 0. Поэтому
n
∑I&mk = 0. k =0
Таким образом, сумма комплексных амплитуд токов в узле равна нулю.
Второй закон Кирхгофа гласит, что сумма мгновенных значений напряжений на пассивных элементах контура равна сумме э. д. с., действующих в контуре.
48
Для электрической цепи (рис.37)
Рис.37
e(t) = Ri + L dtdi + C1 ∫idt .
Пусть E& = E&me jωt , тогда ток может быть представлен в виде I& = I&me jωt ,
где E&m и I&m − комплексные амплитуды источника э. д. с. и тока в контуре.
Тогда последнее уравнение может быть представлено в виде:
& |
jωt |
& |
|
jωt |
|
d |
& |
|
jωt |
|
1 |
|
& |
|
jωt |
|
|||
Re(E e |
|
) = R Re(I |
m |
e |
|
) + L |
|
Re(I |
m |
e |
|
) + |
C ∫ |
Re(I |
m |
e |
|
)dt . |
|
m |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменив операции над действительными частями комплексных функций операциями над самими комплексными функциями с последующим выделением действительных частей от полученного результата, имеем:
|
d |
1 |
∫I&me jωt dt) . |
|
Re(E&me jωt ) = Re(RI&me jωt + L |
|
I&me jωt + |
|
|
dt |
C |
После операций дифференцирования и интегрирования в правой части уравнения получим:
Re(E&me jωt ) = Re(RI&me jωt + jωLI&me jωt + jω1C I&me jωt ).
Проведя деление обеих частей уравнения на e jωt , получим алгебраическое комплексное уравнение:
E&m = RI&m + jωLI&m + jω1C I&m ,
49
из которого следует, что комплексная амплитуда э. д. с. источника равна сумме комплексных амплитуд падений напряжения на элементах
E&m =U&Rm +U&Lm +U&Cm .
Алгебраическое комплексное уравнение может быть представлено и в другой форме:
E&m = (R + jωL + jω1C )I&m = ZI&&m ,
где Z& − комплексное сопротивление цепи.
Последнее уравнение представляет собой закон Ома для комплексных амплитуд.
В общем случае второй закон Кирхгофа в комплексной форме можно записать в виде:
n |
n |
∑Z&k I&k =∑E&k , |
|
k =1 |
k =1 |
где Z&k и I&k − комплексное сопротивление и комплексная амплитуда тока в
k−ой ветви, E&k − комплексная амплитуда э. д. с. k−ой ветви.
Построим векторную диаграмму напряжений для последовательной RLCцепи (рис.38).
а |
б |
Рис.38
50
Изображенные на рис.38 напряжения на элементах равны: |
|
|
|||||||||||||
& |
& & |
|
|
|
& & |
|
1 |
|
& |
1 |
& |
|
|
||
UR = |
RI, UL |
= |
jωLI, UC = |
jωC |
|
I = − j |
ωC |
I . |
|
|
|||||
При |
ωL > |
|
1 |
|
X =ωL − |
|
1 |
|
> 0, |
ϕ = arctg |
X |
> o, |
|||
ωC |
ωC |
R |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
сопротивление цепи имеет индуктивный характер и ток в цепи отстает от
входного напряжения на угол ϕ , зависящий от соотношения сопротивлений индуктивности, емкости и резистора (рис.38, а).
При |
ωL < |
1 |
X =ωL − |
1 |
< 0, |
ϕ = arctg |
X |
< o, |
|
ωC |
ωC |
R |
|||||||
|
|
|
|
|
|
сопротивление цепи имеет емкостный характер, и ток в цепи опережает
входное напряжение на угол ϕ ( рис.38, б).
Векторы, представляющие действующие в цепи э. д. с. и напряжения на элементах, образуют на векторной диаграмме замкнутую фигуру (треугольник напряжений (рис.39, а)).
а |
б |
в |
Рис.39
Треугольник сопротивлений представляет собой геометрическую интерпретацию выражения комплексного сопротивления при Х >0 (рис.39, б) и
X<0 (рис.39, в).
В соответствии с первым законом Кирхгофа для цепи с параллельным со-
единением R, L, C (рис.40) имеем:
I& = I&R + I&L + I&C = UR& + jUω&L + jωCU& =YU& & .