теория вычислительной сложности / up4

Задание 4.1:

Пусть дана машина Тьюринга M с алфавитом Σ = {0, 1}, алфавитом ленты = {0, 1, 2}, пустым символом 2, начальным состоянием z0, финальным состоянием E = {ze} и функцией переходов δ:

δ(z0, 0) = (z0, 1, N) δ(z0, 1) = (z0, 1, R) δ(z0, 2) = (z1, 1, N) δ(z1, 0) = (z1, 0, L) δ(z1, 1) = (z1, 1, L) δ(z1, 2) = (ze, 2, R)

Задайте последовательность конфигураций M для входной последо-

вательности 1010.

Какую функцию {0, 1} → {0, 1} и какую функцию N → N вычисляет M ?

Определить машину Тьюринга, вычисляющую за меньше число шагов ту же функцию.

Задание 4.2:

1.Определить машину Тьюринга для n −· 1.

2.Определить 2-х ленточную машину Тьюринга для max(m, n).

3.Определить одноленточную машину Тьюринга для max(m, n).

Задание 4.3:

Задайте машины Тьюринга для некоторых (определяемых вами наиболее просто) функций f1, f2, f3, f4, f5 : N → N со следующими свойствами

1.f1 всюду определена,

2.f2 всюду неопределена,

3.f3 не всюду определена и неопределена только для конечного множества аргументов,

4.f4 определена для бесконечного множества аргументов и неопределена для бесконечного множества аргументов,

1

5. f5 не всюду определена, а f5−1 всюду определена.

Задание 4.4:

Пусть f : N → N 1-местная ТМ-вычислимая функция. Пусть M - машина Тьюринга, вычисляющая f. Покажите, что следующая функция g : N × N → N также ТМ-вычислима:

g(n, m) =

1, если M для данного n делает не более m шагов 0, в противном случае

Задание 4.5:

Читающая (read-only) машина Тьюринга (roTM) может лишь читать, но не может менять содержимое входной ленты. Язык L(M), распознаваемый roT M M - это множество всех слов w, после чтения которых M попадает в финальное состояние: L(M) = {w Σ | z0w `M 2uzev2 для финального состояния ze и uv = w}.

Верно ли, что roTM распознают в точности регулярные языки ?

2