теория вычислительной сложности / up1

Задание 1.1:

Какие из следующих утверждений ложны, какие истинны:

1.Каждый алгоритм описывает функцию.

2.Каждая функция: описывается некоторым алгоритмом.

3.Каждая функция, описываемая конечным текстом, вычислима.

4.Существуют больше невычислимых функций, чем вычислимых.

Задание 1.2:

Докажите следующие утверждения:

a)Множество конечных текстов (рациональных чисел) перечислимо.

b)Множество бесконечных слов (вещественных чисел в интервале [0, 1]) неперечислимо.

c)Множество Pascal-программ перечислимо.

d)Для множеств A и B верно, если A B и B перечислимо, то A - перечислимо.

Задание 1.3:

Множества A и B равномощны, если существует биекция f : A → B между ними. Какие из следуюших множеств равномощны.

{n | 1 ≤ n ≤ 5, n IN} {q | 1 ≤ q ≤ 5, q Q} {r | 1 ≤ r ≤ 5, n R}

{f | f : IN → {0, 1}, f вычислима Паскаль-программой}

Задание 1.4:

Для проверки корректности программы ее запускают с определенным

1

входом i и проверяют совпадает ли ее выход с заранее известным правильным результатом j. Если не совпадает, программы работает неправильно. Этот процесс соответствует вычислению функции test:

(

1, если алгоритм p со входом i выдает j

test(p, i, j) =

0, в противном случае

Вычислима ли функция test (интуитивно)?

Задание 1.5:

Пусть gr : IN → {0, 1, . . . , 9} - такая функция, что gr(m) = “m-я позиция десятичного представления дроби r”. Например, g2 13 (0) = 2 и g2 13 (123456) = 3.

Покажите:

1.Для каждого рационального числа q функция gq вычислима.

2.Существует вещественное число r, для которого gr невычислима.

Опишите алгоритм, который для данного n определяет n-ю позицию десятичного представления числа π = a0.a1a2a3 . . . an . . ..

Задание 1.7:

Покажите вычислимость функции f : IN → {0, 1}:

1, если в десятичном представлении числа π встречается

f(n) = последовательность из n подряд идуших 7-ок

0, в противном случае.

2

Задание 1.8:

Опишите вещественное число r, которое интуитвно невычислимо, то есть функция gr (задание 1.5) интуитивно невычислима. Для этого можно использовать функцию H, определенную в лекции, и биекцию b между программами и множеством IN . . .

Задание 1.9:

Показать, что функция mm : IN → IN невычислима.

Множество An состоит из всех алгоритмов, описываемых текстом длины не более n. Пусть a(m) - результат, который выдает алгоритм a при входе m.

Функция mm с аргументом n равна наименьшему натуральному числу, которое невычислимо никаким алгоритмом длины не более n при входе n:

mm(n) = min(IN − {aj (n) | aj An})

Задание 1.10:

(Парадокс Берри (Berry).) Рассмотрим следующее высказывание.

Это предложение описывает наименьшее натуральное число, которое нельзя описать никаким предложением, содержащим не более 200 символов.

Описывает ли это предложение в действительности натуральное число? Каково максимальное число натуральных чисел, описываемых предложениями длины 200 ?

Задание 1.11:

Какова функция Z → N, вычислимая следующим алгоритмом?

input x ; while x 6= 0 do

x := |x| − 2 ;

3

end (* of while *) ; output 1

Задание 1.12:

Обоснуйте, что следующая функция a вычислима.

(

1, если w L(G) для w Σ и контекстно-свободной грамматики G

a(w, G) =

0, в противном случае

Обоснуйте также, что функция

(

neq(G1, G2) =

1, G1 и G2 - контекстно-свободные грамматики и L(G1) 6= L(G2) не определена , в противном случае

вычислима. Возможно ли задать алгоритм для вычисления функции

Задание 1.13:

1.Докажите, что следующая функция r2 : N × N → N является биекцией:

r2(x, y) = 12 · ((x + y)2 + x + 3y).

Указание: покажите сначала, что r(x + 1, y) = r(x, y) + (x + y + 1)

и r(x, y + 1) = r(x, y) + (x + y + 2).

2.Используя биекцию r2 постройте биекцию r3 : N × N × N → N. Обобщите идею для определения биекции rk+1 : Nk+1 → N.

4