18.3. Уравнение Шрёдингера
Поведение волны должно описываться волновым уравнением, и таким уравнением для микрочастицы является уравнение Шрёдингера.
При решении уравнения мы ограничимся лишь плоскими волнами и потому запишем его в виде:
.
В этом уравнении m - масса частицы, i - мнимая единица и U - потенциальная энергия частицы. Функция называется волновой функцией или просто -функцией.
Согласно гипотезе
де Бройля, полная энергия частицы связана
с частотой соотношением E=ћ.
Поэтому, если U
не зависит от времени, волновая функция
может быть представлена как произведение
некоторой функции
,
зависящей от координаты, и функции
времени
:
.
Выполнив
дифференцирование по времени и сократив
на множитель
,
мы получим уравнение Шрёдингера
в виде
;
.
Выражение в скобках по смыслу представляет собой кинетическую энергию частицы.
Как следует из уравнения, движение свободное электрона может быть описано плоской волной вида
;
;
;
.
В общем, обыкновенная волна. Не совсем обыкновенным и совсем неясным остается только физический смысл волновой функции . И об этом нам предстоит еще большой разговор. А пока - несколько слов о фазовой и групповой скоростях.
Групповая скорость
представляет собой скорость электрона в самом обычном смысле этого слова. А вот с фазовой скоростью не все так просто, как хотелось бы.
Казалось бы, здесь не должно возникнуть никаких проблем. Фазовая скорость
.
Но в это выражение входит потенциальная энергия, которая определяется в физике с точностью до произвольного слагаемого. Следовательно, и частота определена с точностью до произвольного слагаемого. И у нас нет средства экспериментально определить, например, для электрона справедливость выражения или измерить фазовую скорость.
Лекция 20
18.4. Стоячая волна
Как и всякая другая волна, электронная волна xt может быть стоячей волной. Для этого нам необходимо сложить две волны с одинаковыми амплитудами, движущиеся навстречу друг другу:
.
Волна как волна,
с узлами и пучностями, но вместо, скажем,
закрепленных концов струны в точках с
координатами x=-l/2
и x=+l/2
нам при значениях координат x-l/2
и x+l/2
нужно иметь U=
- правее и левее выделенного интервала
возможно решением будет
.
Используя условие непрерывности
-функции,
можно определить значение (комплексной)
амплитуды 0.
Для простоты внутри интервала будем считать U=0. Ведь потенциальная энергия определена с точностью до произвольной константы.
Для существования
стоячей волны необходимо выполнение
условия
и, следовательно, при U=0
будет:
;
.
Мы получили весьма важный результат: электрон в состоянии стоячей волны может иметь лишь вполне определенные дискретные значения энергии En. Энергия электрона квантуется! И при этом минимальное значение его энергии определяется линейными размерами потенциальной ямы, что существенно для дальнейшего.
0
x
U=
U=0 U=
U=0 U=
U=0
Любопытно провести такое исследование полученного результата. Подсчитаем силу, с которой электрон действует на стенку потенциальной ямы.
Очевидно,
.
А теперь попробуем получить выражение для силы Fx на основе корпускулярных представлений. При отражении электрона от стенки последней будет передан импульс 2p. При этом частота ударов определяется временем движения электрона между ударами
.
Выражение для силы мы получим, если разделим переданный импульс на это время:
.
Мы получили для силы то же значение, но это не означает, что в этой задаче волновой и корпускулярных подходы равноправны. При корпускулярном рассмотрении энергия электрона E произвольна, при волновом - она квантуется.
Поэтому, хотя волновое представление для нас, может, в чем-то не до конца понятно, корпускулярное представление следует назвать просто непонятным. При его использовании мы не сможем объяснить квантование энергии электрона.
К задаче о стоячих волнах -функций мы еще вернемся, а сейчас просто необходимо поговорить о смысле этой функции.