Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Мат.Анализ1 / Практ.зан.Мат.анализ.Компл.числ.Предел

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

236.64 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

то мы имеем дело с неопределенностью вида

. Для раскрытия

неопределенности преобразуем выражение

lim

1 sin x

= lim

1 sin x

= lim

1 sin x

1 sin2 x

x! 2

cos2 x

x! 2

(1 sin x)(1 + sin x)

= lim

1 + 1

1 + sin

lim sin x

! 2

1 + x! 2

Раскрытие неопределенностей при вычислении пределов дробно-рациональных функций.

Если дробно-рациональная функция Pn(x) имет неопределен-

Qm(x)

ность вида 0=0 при x ! a, то для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель следует сократить на множитель x a.

Если дробно-рациональная функция Pn(x) имет неопределен-

Qm(x)

ность вида 1=1 при x ! 1, то для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель следует сократить на множитель x.

Пример 8. Найти lim

x2 4

x!1 x2 x 2

Решение. Числитель и знаменатель при x ! 1 являются бесконечно большими функциями, т.е. имеет место неопределенность 1. Поэтому формула (13) о пределе частного неприменима. Раз-

делим числитель и знаменатель на x

x2 4

;

x 2

Так как

lim

= 1;

lim

= 1;

x!1

x!2 1 x

то к полученной функции применим формулу (13). Имеем

xlim

lim

= lim

= 1:

!1 x

!1 1

lim

x x2

x!1 1

Пример 9. Найти lim

xm 1

(m и n – целые положительные

xn 1

x!1

числа).

Решение. При x ! 1 числитель и знаменатель дроби имеют пре-

дел, равный нулю, поэтому мы имеем неопределенность 00. Для раскрытия неопределенности следует числитель и знаменатель разделить на (x 1). Воспользуемся известной формулой

ak bk = (a b)(ak 1 + ak 2b + : : : + abk 2 + bk 1):

Полагая здесь a = x, а b = 1, в нашем случае получим

lim

xn 1

= lim

(x 1)(xm 1

+ xm 2 + : : : + x + 1)

(x 1)(xn 1

+ xn 2 + : : : + x + 1)

x!1

xm 1

x!1

mраз

+ + + 1

{

= lim

xm 1

+ xm 2

+ : : : + x + 1

1 + : : : + 1

xn 1

xn 2

: : : x

1 + : : : + 1

x 1

}

n{z

раз

Раскрытие неопределенности в выражениях, содержащих иррациональности.

Одним из приемов раскрытия неопределенности в выражениях, содержащих иррациональность, заключается в перенесении иррациональности из числителя в знаменатель путем умножение числителя и знаменателя на множитель, сопряженный с числителем, или наоборот.

	p
Пример 10. Найти lim		x + 1 1	.
x!0		x

Решение. Числитель и знаменатель дроби при x ! 0 стремятся к нулю, следовательно мы имеем неопределенность 00. Для

того, чтобы решить вопрос о пределе отношения, перенесем ир-

рациональность в знаменатель, умножив для этого числитель и p

знаменатель дроби на ( 1 + x + 1). Будем иметь

lim

x + 1 1

= lim

(

x + 1 1)(

x + 1 + 1)

x!0

x(px + 1 + 1)

= x!0

x!0

x(px + 1 + 1)

(px + 1 + 1)

lim

= lim

lim p

+ 1

x + 1

x!0

Пример 11. Найти lim	x + 1 3 2x + 1	.
x!0	x

Решение. Прибавим и отнимем в числителе дроби по 1 и затем разобъем предел на сумму двух сходящихся пределов (см. формулу 11) следующим образом

lim

= lim

1 p3

+ 1

x + 1

2x + 1

x + 1

2x + 1

x!0

= lim

lim

x + 1

2x + 1

x 0

x!0

x(px + 1 + 1)

x( 3 (2x + 1)2 + p3 2x + 1 + 1)

= lim

lim

Отметим, что разбиение предела на несколько более простых законно лишь тогда, когда известно, что эти более простые пре-

делы существуют и конечны. В противном случае нам пришлось
бы искать другой способ решения.
Замена переменной при вычислении предела.
Пример 12. Найти lim p5 3x + 5 2.
x!9	x 9

Решение. Числитель и знаменатель дроби при x ! 9 стремятся к нулю, следовательно мы имеем неопределенность вида 00.

Применим метод замены переменной (см. формулу 16). С помо- p

щью замены переменной y = 5 3x + 5 мы можем привести выражение, стоящее под знаком предела, к рациональному виду. Числитель и знаменатель дроби примут вид

p5 3x + 5 2 = y 2; x 9 = 13(y5 32):

При x ! 9 переменная y ! 2, так как lim 5 3x + 5 = 2. После

x!9

замены переменной и сокращения числителя и знаменателя на множитель (y 2), неопределенность в выражении исчезнет, и мы сможем использовать теорему о пределе частного (см. формулу 13), получим

lim

3(y 2)

3x + 5

= lim

y5 32

x!9

x 9

y!2

= lim

3(y 2)

y!2 (y 2)(y4 + 2y3 + 4y2

+ 8y + 16)

= lim

y4 + 2y3 + 4y2

+ 8y + 16

lim(y4

+ 2y3 + 4y2

y!2

+ 8y + 16)

y!2

+ 2

2 + 2

+ 2 + 2

Использование непрерывности функции при вычислении пределов.

lim

7x +

ln(x2

+ 6x

Пример 13. Найти x

Решение. Преобразуем

выражение и воспользуемся непрерывно-

стью логарифма:

lim

7x + 6

ln(x2

+ 6x

= lim ln

x2 7x + 6

x!1

x2 + 6x 7

1)(x

7x + 6

= ln lim

x!1

x2 + 6x

x!1

1)(x + 7)

= ln

= ln lim

x!1

x + 7

Вычисление пределов от степенно-показательной функции.

Рассмотрим, как находится предел от степенно показательной функции

lim [f(x)]g(x) (f(x) > 0):

x!a

Пользуясь непрерывностью показательной функции, получаем

lim [f(x)]g(x)	lim [g(x)		ln f(x)]	:
	= ex!a

x!a

Таким образом, нахождение предела от степенно-показательной функции можно свести к нахождению

lim [g(x) ln f(x)] :

x!a

Перечислим отдельные случаи:

если lim f(x) = A, lim g(x) = B, то lim [f(x)]g(x) = AB;

x!a

если lim [g(x) ln f(x)] = +1, то lim [f(x)]g(x) = 1;

x!a

если lim [g(x) ln f(x)] = 1, то lim [f(x)]g(x) = 0.

x!a	x!a
		x2	ctg2 x
Пример 14. Вычислить предел x!1			.
	x2 + 1
lim

Решение. Пользуясь непрерывностью показательной функции, по-

лучаем

x2 + 1

ctg2( x)

! h

x!1

lim ctg2( x) ln

lim

= ex 1

x2+1 :

Так как

lim ctg2( x) =

lim ln

;

x2 + 1

x 1

то по свойству (e) бесконечно больших функций

lim

ctg2

(

) ln x2 + 1

= 1

Получаем

x!1

ctg2( x)

lim

x!1 x2 + 1

Пример 15. Найти lim xx.

x!+0

Решение. Пользуясь непрерывностью показательной функции, получаем

lim xx =	lim	[x ln x]
lim xx =	lim ex ln x = ex!+0	:
x!+0	x!+0

Необходимо найти где lim [x ln x]. Положим x = 2 y, тогда усло-

x!+0

вие x ! +0 эквивалентно условию y ! +1. Пользуясь результатом примера (4), получаем, что

lim [x ln x] =	lim	y ln 2	= 0;
		2y
x!+0	y!+1
следовательно,
lim [x ln x]
lim xx = ex!+0		= e0 = 1:

x!+0

Задачи

Задача 1. Используя определение предела функции, доказать равенства:

1.	lim(3x + 5) = 11;	3.	lim ax = 0 (a > 1);
	x!2		x! 1
2.	lim sin x = 0;	4.	lim x cos	1	= 0;
2.	lim sin x = 0;	4.	lim x cos	x	= 0;
	x!0		x!0	x

Задача 2. Используя определение предела последовательности, доказать равенства:

1.	lim	( 1)n	= 0;	3.	lim sin		1		= 0;
								n
	n	n			n!1
	!1	n 1
2.	lim		= 1;	4.	lim	1	= 0;

	n!1 n + 1				n!1 n!

Задача 3. Доказать следующие равенства:

1. lim n = 0;

n!1 3n

2. lim ln n = 0;

n!1 n

3. lim n3 = 0;

n!1 2n

4. lim ln2 n = 0;

n!1 n

5.	lim		an		= 0;
5.	lim				= 0;
	n!1 n!
6.	lim		p
6.	lim		n n = 1;
	n!1		p
7.	lim		p
7.	lim		n a = 1 (a > 0);
	n!1
8.			1			= 0;
	n		p
	lim
	lim		n
		!1		n!

Задача 4. Вычислить пределы (a > 0, b > 0):

lim

;

lim

;

lim

;

x!1 e

x!1

x!1 bx

ln x

lim

ln x

;

xlim

;

lim

ln x

;

Задача 5. Вычислить пределы от дробно-рациональной функции:

1. lim x2 3x + 2 ;

x!1 x2 + x 6

2. lim x2 3x + 2 ;

x! 3 x2 + x 6

3. lim x2 3x + 2 ;

x!2 x2 + x 6


4.	lim		x2 3x + 2	;
	x! 1 x2 + x 6
5.	lim	(1 + x)3 (1 + 3x)			.
	x!0		x + x5


6.	lim		x3 3x + 2		.
	x!1	x3 x2 x + 1
7.	lim	x3 5x2 + 8x 4				.
	x!2		x3 3x2 + 4
8.	lim		x4 1	.
	x!1	2x4 x2 1
			x3 + 3x + 2
9.	lim					.
9.	lim					.
	x! 1 x3 + 2x2 x 2
10.	lim	x3 4x2 3x + 18					.
	x!3	x3 5x2 + 3x + 9

Задача 6. Вычислить пределы от выражений, содержащих иррациональности:

lim

x2 + 5

2x 1

3x 2

x 2

4x 3 1

lim

x + 6 3

lim

x!3

x 3 .

x!0

p3 6x 1 + p3 2x + 1.

x + 6

;

lim

x2 + 4

x + 2

x! 2

x!1 h

x2 + 21

10.

x ;

lim

x2 + 2

x 2

x!2

x! 1 h

x!1 h

x!7

x 6

x 7

lim

11.

lim

(x + 1)3

1)3

;

1 + x

3x + 1

lim

12.

lim

(x2

1)3 .

x!0

x! 1 h

Задача 7. Вычислить пределы, используя замену переменных (n; m; p; q 2 N):

1. lim	p7		1		2. lim	p5		2
		2x 1		;			29 + x		;

		x 1
							x 3
x!1					x!2

lim

p7 x 1

(ответ?);

6. lim

px 1 1

;

x 1

x 1 1

lim

x 1

;

lim

x 1

x!7

p7x + 15 2

x 1

;

lim

x!1

pxq

lim

1 + xe x sin x

1 xe x sin x

;

x!0

x sin x

lim

sin2 4x 3 sin 4x + 2

;

x!2 sin2

10 sin

+ 9

x!1

n(1 px) m(1 px)

lim

;

Задача 8. Вычислить пределы от показательно-степенных функций:

4x2 + 1

lim

(ответ

0);

lim

x2 x

(ответ?);

x!1

x!2

lim (arcsin x)tg x (ответ

1);

lim

2x2

lg x

(ответ?);

x!1

x+sin x

x!1

+ 1

(ответ?);

x!0

(ответ?);

(x + sin x)

lim

arctg x

lim

Задача 9. Вычислить пределы:

1.	lim		cos x sin x					.
	x! 4			1 tg2 x
2.	lim		1 4 sin2 x				.
	x! 6				cos 3x
			p			p
	lim		p		tg x		tg a
	lim
3.	x!a	p3 sin x p3 sin a.

	lim			3		tg y	3	tg a
						tg y

4.	y	!	0	p			p .
		!			sin x			sin a

						3					2					4
5.	x!0 1					3					2				.
5.	x!0 1					x2 + x4									.
	lim
	lim					3					2
						3					2
				1				+						.
6.	lim			1			x2	+			x4
6.	lim									1
	x	!	0			1				1
		!
									x4
7.	lim			(1 + x)n 1									(n).
	x!0						x
8.	x!1					1					3						. (-1)
8.	x!1				1 x							1 x3					. (-1)
	lim

9. lim

n!1

10. lim

n!1

11. lim

n!1

12. lim

n!1

13. lim

n!1

(3 n)3

(n + 1)2 (n + 1)3

8n3 2n

(n + 1)4 (n 1)4

(n + 2)3 + (n 2)3

n4 + 2n2 1

(1 n)4 (1 + n)4

(1 + n)3 (1 n)3

(n + 1)3 + (n 1)3

n3 3n

14.

lim

n3 (n 1)3

(n + 1)4 n4

n!1

np4

+ p4

15.

5n2

9n8

+ 1

nlim

!1 (n + n) 7 n + n

6n3 p

16.

lim

n5 + 1

n!1 p4n6 + 3 n

n2 p

17.

lim

n3 + 1

n!1 p3 n6 + 2 n

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Мат.Анализ1

#
10.02.2015363 Кб51АнчиковМатанализ.pdf
#
10.02.2015236.64 Кб49Практ.зан.Мат.анализ.Компл.числ.Предел.pdf