Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Мат.Анализ1 / АнчиковМатанализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

363 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

4. Пусть

= xx22

+1¡1 :

Ïðè

x ! 2

имеем

y ! 53 :

Каково

должно быть

чтобы из

jx ¡ 2j < ±

следовало

¯y ¡

53 ¯ <

0; 1? [ ± < 2

x¡1

5. Пусть

Ïðè

x ! 3

имеем

y !

Каково

y =

4 :

2(x+1) :

41 ¯ <

должно быть

чтобы из

jx ¡ 3j < ±

следовало

¯y ¡

0; 01?

[ ± < 13

¼ :

6. Доказать, что

sin x

стремится к единице при

x !

Каким условиям должен удовлетворять

x в окрестности

точки

x = ¼2 ;

чтобы имело место неравенство 1 ¡ sin x <

0; 01?

[ ¯ x ¡ ¼2

¯ < ¼2 ¡ arcsin 0; 99 = 0; 133 ]:

7. Ïðè¯

неограниченном¯

возрастании

функция

y = x2+1

стремится к нулю:

Каково должно быть

xlim!1

= 0:

A";

x2+1

чтобы].èç

[ A" ¸ q

jxj > A"

следовало

y < "?

1" ¡ 1;

ïðè

" < 1

8. Åñëè

x ! +1;

òî

y =

+3¡1

! 1:

Каково должно быть

A"; чтобы из

jxj > A"

следовало

jy ¡ 1j < "?

A" ¸ q

4" ¡ 3

;

ïðè " < 34

i :

x); b) lim (p

9. Вычислить: a)

lim

+ 1 + x);

!¡1

3p3

¡ 4p4

! 1

¡ p5

lim

1 + x

+ 1

;

d) lim

x2 + 1

x5 + 2

;

x!0

2 ¡ 2p1 ¡ x ¡ x

x!+1

4 ¡ p

;

lim

21 ¡ x

x!5

p3 x ¡ 13 + 2

lim

¡ 1´

) x!1 ³

+ 1 ¡

[ a)

b) ¡ 21 ;

: Указание: положить x = t12 ¡1; d) 0;

;

2 ]:

Замечание: Здесь мы не рассматриваем примеры на два за-
мечательных предела: lim sin x = 1 è	lim	³	1 + 1	´	x	= e: Ïðè-
x!0 x	x!1	³	x	´

меры на эти замечательные пределы имеются в большом коли-

честве в "Сборнике задач и упражнений по математическому анализу" Б. П. Демидовича.

4.3.Непрерывность функции.

À.Основные понятия.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки x0 2 fXg: Функция f(x) называется непрерывной в точке x0;

åñëè lim f(x) = f(x0); òî åñòü åñëè 8" > 09 ±"(x0) > 0 такое, что

x!x0

ïðè jx ¡ x0j < ±" выполняется неравенство jf(x) ¡ f(x0)j < ": Заметим, что в этом определении предполагается, что f(x)

определена в некоторой окрестности и в самой точке x0; ïðåä-

полагается также существование предела в этой точке и равенство этого предела значению функции в этой точке. Если

нарушено хотя бы одно из указанных условий, то точка x0

называется точкой разрыва функции						f(x):
Функция f(x); определ¼нная на						(a; x0]	([x0; b)) называет-
ся непрерывной слева (справа) в точке x0;							åñëè lim f(x) =
( 0)	µx!x0+0		(		0)¶		x!x0¡0
( 0)	µx!x0+0		(		0)¶
f x	lim	f(x) = f		x	:
Åñëè f(x)		непрерывна в каждой точке множества fXg; òî
она называется непрерывной на fXg:
Точки разрыва бывают:
					62

1) устранимого разрыва, если существует				lim f(x) = b íî
				x!x0
ëèáî f(x)	не определена в точке	x0;	ëèáî	f(a) 6= b ; (åñëè
положить	f(a) = b; то функция	f(x)	станет непрерывной в
точке x0;	то есть разрыв будет устран¼н).

2) разрыва первого рода, если существуют f(x0+0) è f(x0¡

0); íî f(x0 + 0) 6= f(x0 ¡ 0);

3) разрыва второго рода, если в точке x0 не существует по крайней мере один из односторонних пределов функции.

Имеют место следующие теоремы.
Если функции f(x) è g(x)	непрерывны в точке	x0; òî
функции f(x)§g(x); f(x)¢g(x);	f(x)/g(x) также непрерывны
в точке x0 (частное при условии, что g(x0) 6= 0 ).
Пусть функция y = '(x) непрерывна в точке x0;		à ôóíê-

öèÿ u = f(y) непрерывна в точке y0 = '(x0): Тогда сложная функция u = f['(x)] непрерывна в точке x0:

Б. Контрольные вопросы и задания.

1.Сформулируйте необходимые и достаточные условия непрерывности функции в точке.

2.Найдите точки разрыва функции Дирихле. Укажите типы этих точек разрыва.

3.Укажите тип точки разрыва функции f(x) : a) f(x) =

=sgnx; b) f(x) = jxj/x:

4.Пусть f(x) § g(x); f(x) ¢ g(x); f(x)/g(x) непрерывны в точке x0: Следует ли отсюда, что f(x) è g(x) непрерывны в

точке x0? Приведите примеры.

5. Что можно сказать о непрерывности в точке		x0	функций
f(x) + g(x); f(x) ¡ g(x); è f(x) ¢ g(x); åñëè
а) функция f(x)	непрерывна в точке x0; à g(x)		разрывна
в этой точке.
б) функции f(x)	è g(x) разрывны в точке	x0: Рассмот-
рите примеры:

1±: f(x) =

2±: f(x) =

sgn x; g(x) = 2sgn x:

8 arctg 1/x;		x 6= 0;
<	0;	x = 0;
:

< 0; x =6 0 g(x) = : 1; x = 0:

	6. Привести пример ограниченной в некоторой окрестности
x0	функции, для которой					lim f(x)		не существует, а lim f(x)
					x!+0			3	x!¡0
существует. 2f(x) = 8 sin 1/x; x > 0
	4	< cos x;					x < 0	5
	7. Можно ли утверждать,:						что квадрат разрывной функции
есть также разрывная функция?									3
2Íåò. f(x) = 8		1;	x ¡ рациональное
4	<	1;	x	¡		иррациональное			5
	: ¡

В. Примеры решения задач.

Пример 49. С помощью "" ¡ ±""	рассуждений доказать
непрерывность следующих функций:	a) p3		; b) arctg x:
		x

Доказательство.

=	3	jx¡x0j				3
							2
		3	2				2
	( px+1/2¢px0)			+3/4¢px0
jx ¡ x0j <		3/4 ¢ q				¢ " =
jx ¡ x0j <		3/4 ¢ q			x02	¢ " =
				3

x x0

j x

¡x0

åñëè

j ¡3

<¯

(x0

= 0);

+ px¢x0+ px0

3/4¢p

±"(x0):

Пусть

jx0j > 0

jhj

jx ¡ x0j

< jx0j :

Åñëè

arctg (x0 ¡ h) ¡ arctg x0 = t;

òî

Òàê êàê

j t j <

tg t =

1+x02+hx0 :

j tg t j

ïðè j t j < ¼2 ;

òî

j arctg (x0 ¡ h) ¡ arctg x0 j < j t j <

tg t

2h j

< ";

åñëè

j = j

0 j

j(1+x2)j" = ¯ 1+x0+hx0

1+x0+hx0

Непрерывность¯

ïðè

x0 = 0

следует

1+j x0 j"

= ¯±"(x0):

arctg x

из неравенства j arctg x ¡ arctg 0 j · j arctg x j < j x j :

Пример 50. Исследовать на непрерывность функцию f(x) =

= sin x1 ;

åñëè x 6= 0

f(0)

произвольно.

Решение. Рассмотрим две последовательности

fxng

fxn0 g ãäå xn

;

xn0

;

(n = 1; 2; :::):

Òàê êàê

¼n

¼(1+4n)

ïðè n ! +1 xn ! 0;

xn0 ! 0; à

f(xn) ! 0;

f(xn0 ) ! 1; òî

предел

lim sin

f(x) терпит

x!0

x не существует. Это значит, что

разрыв второго рода при x = 0: Åñëè x =6 0; то непрерывность очевидна.

Пример 51. Определить точêè ðàçðыва и исследовать ха-

рактер этих точек, если

f(x) = ³x1

¡ x+11 ´.³

¡ x1

x¡

Решение. Функция не определена при

x = ¡1; 0; +1:

Òàê

êàê

lim f(x) =

lim

x¡1

= ¨ 1

;

lim f(x) =

lim

x¡1

x!¡1§0

x!¡1§0 x+1

x!0

x+1

1; lim f(x) = lim x¡1

= 0

;

òî

= 0

= + 1

x!1

x!1 x+1

устранимые точки разрыва, а x = ¡ 1 точка бесконечного разрыва.

Пример 52. Исследовать на непрерывность сложные функ-

öèè f(g(x)) è g(f(x)) åñëè f(x) = sgnx è g(x) = x ¢ (1 ¡ x2):

Решение. f(g(x)) = sgn[x ¢ (1 ¡ x2)] =

	8	1; åñëè	¡ 1 < x < 0 èëè 1 < x < 1;
=	>	åñëè	x = 0; x = 1; x = 1;
=	>	0;	x = 0; x = 1; x = 1;
	>				¡
	<	¡1; åñëè	¡ 1 < x < ¡1;
	>	¡1; åñëè	¡ 1 < x < ¡1;		èëè 0 < x < 1:
	>
	:			x = 1; x = 0; x = +1		являются
Отсюда следует, что точки				¡		являются
				¡

точками разрыва первого рода.

Èç òîãî, ÷òî g(f(x)) = sgn (1 ¡ sgn2x) ´ 0; следует непрерывность функции g(f(x)) íà (¡1; 1):

Пример 53. Исследовать на непрерывность функцию f(x) =

x[x]:

Решение. Åñëè n < x < n + 1 ãäå n = 0; §1; §2; :::

òî f(x) = nx: Следовательно, при этих значениях аргумента

функция непрерывна. Для исследования на непрерывность в точках x = n положим x = n ¡ h; ãäå 0 < h < 1: Поскольку

f(n) = n[n] = n2; f(n¡0) = lim f(n¡h) = lim (n¡h)[n¡h] =

n!+0 n!+0

= n(n¡1); то точки x = n являются точками разрыва первого рода.

òû.Г. Задачи и упражнения для самостоятельной рабо-

1. С помощью "" ¡ ±""	рассуждений доказать непрерыв-
ность следующих функций: a) x3;		b) p
			x; c) sin x; d) cos x:
2. Исследовать на непрерывность следующие функции:
a) f(x) = x sin x1 ; åñëè x 6= 0 è		f(0) = 0:
[ Непрерывна.]
b) f(x) = 1.(1 + e1/(x¡1));	åñëè	x 6= 1 è f(1) ¡ произволь-

íà.

[ Разрывна при x = 1 ].

c) f(x) = x ¡ [x] [ x = k (k = 0; §1; §2; ::: - точки разрыва

первого рода ].

d) f(x) = 1 ¡ e¡1/x2 : [ x = 0 ¡ устранимая точка разрыва ].

e) f(x) = ln (x + 1)(x ¡ 3): [ x = ¡1 è x = 3 - точки

бесконечного разрыва ].

< x2 f) f(x) = : 2 ¡ x

ïðè

0 · x · 1;

1 < x · 2: [ Непрерывна ].

g) f(x) =	8 ctg2¼x				для нецелого x;
	<		0		для целого x:
[ x = k; (k = 0:;		1;	§	2; :::) - точки бесконечного разрыва ].
	§		§

СОДЕРЖАНИЕ.

Ÿ1. Метод математической индукции. . . . . . . . . . . . . . . . . 4 А. Основные понятия и теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Б. Контрольные вопросы и задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 В. Примеры решения задач.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 Г. Задачи и упражнения для самостоятельной работы.. . .13 Ÿ2. Комплексные числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 А. Основные понятия и теоремы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Б. Контрольные вопросы и задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 В. Примеры решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Г. Задачи и упражнения для самостоятельной работы.. . .25

Ÿ3. Числовая последовательность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1. Предел последовательности.

Предельные точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 А. Основные понятия и теоремы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Б. Контрольные вопросы и задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 В. Примеры решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Г. Задачи и упражнения для самостоятельной работы.. . .37 3.2. Критерий Коши.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 А. Основная теорема. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Б. Контрольные задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 В. Примеры решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Г. Задачи и упражнения для самостоятельной работы.. . .40

3.3. Монотонные последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. . . . 40

А. Основные понятия и теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Б. Контрольные задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

В. Примеры решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Г. Задачи и упражнения для самостоятельной работы.. . .43

3.4. Свойства сходящихся последовательностей. . . . 44 А. Основные теоремы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Б. Контрольные вопросы и задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 В. Примеры решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Г. Задачи и упражнения для самостоятельной работы.. . .47

3.5. Предел последовательности комплексных чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

А. Основные понятия.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 Б. Контрольные вопросы и задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 В. Примеры решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Г. Задачи и упражнения для самостоятельной работы.. . .50 Ÿ4. Функция и е¼ предел.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

4.1. Понятие функции. Предел функции.. . . . . . . . . . .51 А. Основные понятия.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 Б. Контрольные вопросы и задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 В. Примеры решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Г. Задачи и упражнения для самостоятельной работы.. . .57

4.2. Раскрытие неопределенностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 А. Основные понятия.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58 В. Примеры решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Г. Задачи и упражнения для самостоятельной работы.. . .60 4.3. Непрерывность функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 А. Основные понятия.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 Б. Контрольные вопросы и задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 В. Примеры решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Г. Задачи и упражнения для самостоятельной работы.. . .66

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Соседние файлы в папке Мат.Анализ1

#
10.02.2015363 Кб51АнчиковМатанализ.pdf
#
10.02.2015236.64 Кб49Практ.зан.Мат.анализ.Компл.числ.Предел.pdf